원을 공부했으니까 이제는 원의 위치관계에 대해서 알아볼 거예요. 점, 선, 면을 공부할 때 점, 선, 면의 위치관계에 대해서 알아봤잖아요.
평면에서 점과 직선의 위치관계, 두 직선의 위치관계
공간에서 두 직선의 위치관계, 평면과 직선의 위치관계
간단하게 정리해볼까요?
점과 직선의 위치관계: 직선이 점을 지난다. 지나지 않는다의 두 가지
평면에서 두 직선의 위치관계: 한 점에서 만난다. 평행, 일치의 세 가지
공간에서 두 직선의 위치관계: 평면에서 두 직선의 위치관계 + 꼬인위치
공간에서 평면과 직선의 위치관계: 직선이 평면에 포함, 한 점에서 만난다. 평행
이번에 위치관계가 나와요. 다음 글에서도 위치관계가 하나 더 나오죠. 위치관계가 많이 나와서 헷갈릴 수 있어요. 그러니까 주의 깊게 보세요.
원과 직선의 위치관계
원과 직선의 위치관계에는 만나지 않을 때, 한 점에서 만날 때, 두 점에서 만날 때의 세 가지 경우가 있어요. 세 점 이상에서 만나는 경우는 없어요.
원의 반지름의 길이를 r, 원의 중심과 직선사이의 거리를 d라고 하고, r과 d의 크기를 비교해볼까요?
점과 직선 사이의 거리를 구할 때 어떻게 했죠? 점과 직선 사이의 거리 중에 가장 짧은 거리, 즉 점에서 직선으로 내린 수선의 길이를 구했어요. 원의 중심과 직선 사이의 거리도 마찬가지 방법으로 구해요.
원과 직선이 두 점에서 만날 때를 생각해보세요. 원과 직선이 두 점에서 만나려면 원의 중심과 원 사이에 직선이 있어야 해요. 따라서 원의 중심과 직선 사이의 거리는 반지름보다 짧을 수밖에 없죠. d < r이 되어야 하죠.
한 점에서 만날 때는 원의 중심과 직선 사이의 거리와 반지름이 같아야 해요. 원은 기본적으로 원의 중심에서 같은 거리에 있는 점들로 이루어져 있어요. 이 점 중의 하나가 바로 직선위의 점인 경우죠. d = r이에요.
서로 만나지 않을 때는 원보다 직선이 바깥에 있어야 해요. 원의 중심과 직선 사이의 거리가 반지름보다 길어야겠죠? 따라서 d > r이에요.
| 위치 관계 | 두 점에서 만난다 | 한 점에서 만난다 | 만나지 않는다 |
|---|---|---|---|
| d, r의 관계 | d < r | d = r | d > r |
할선과 접선, 접점
원과 직선의 위치관계는 세 가지가 있다고 했어요. 이 위치관계에 따라 직선의 이름을 다르게 불러요. 어떻게 부르는지 알아보죠.
원과 직선이 두 점에서 만날 때, 이 직선을 할선이라고 해요. 분할하는 선이라는 뜻이죠. 원을 둘로 나누는 선이라서 할선이라고 불러요.
또 원과 직선이 한 점에서 만날 때, 이 직선을 접선이라고 해요. 원과 접촉하는 선이라는 뜻이죠. 그리고 이때 원과 직선이 만나는 그 한 점을 접점이라고 해요. 반지름과 접선은 접점에서 항상 수직이에요.
원과 직선이 만나지 않는 경우에는 따로 생각할 게 없네요.
원의 반지름을 r, 원의 중심과 직선사이의 거리를 d라고 할 때, 아래 경우에서 원과 직선의 위치관계를 말하여라.
(1) r = 5cm, d = 3cm
(2) r = 5cm, d = 5cm
(3) r = 5cm, d = 7cm
(4) r = 14cm, d = 15cm
(1)에서 r > d 에요. d가 더 짧으니까 원안에 직선이 있다는 뜻이죠. 이 때는 두 점에서 만나는 경우겠네요.
(2)는 r = d네요. 원의 반지름과 직선과의 거리가 같을 때요. 따라서 원과 직선이 한 점에서 만나는 경우가 되겠군요.
(3)은 r < d에요. 원의 중심과 직선의 거리가 반지름보다 크기 때문에 원 밖에 직선이 있어요. 이 때는 원과 직선이 만나지 않는 경우죠.
(4)는 r < d네요. (3)처럼 원과 직선이 만나지 않는 경우입니다.
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