위치관계 또 나오네요.

이번에는 두 원의 위치관계에요.

위치관계 마지막이니까 정신 바짝 차리고 따라오세요.

원과 직선의 위치관계, 원의 할선과 접선, 접점에서 했던 것처럼 두 원이 어떤 관계가 있는지 그때 반지름과 두 원 사이의 거리는 어떻게 되는지 알아보죠.

또, 외접과 내접이라는 용어도 나오는데, 어떤 용어인지 그 뜻도 알아보자고요.

두 원의 위치관계

원과 직선의 위치관계, 원의 할선과 접선, 접점에서는 원의 반지름과 원과 직선 사이의 거리를 이용해서 위치관계를 알아봤죠?

이번에도 같은 방법으로 두 원의 위치관계를 알아볼 꺼에요. 원과 원 사이의 거리는 두 원의 중심 사이의 거리(중심거리)를 이용하고, 두 원의 반지름은 모두 이용합니다. 정확히 말하면 반지름의 합과 차를 이용해요.

두 원을 각각 O, O'이라고 해볼까요? 그리고 원 O의 반지름을 r, 원 O'의 반지름을 r', 두 원의 중심 사이의 거리를 d라고 해보지요.

두 원의 위치관계

두 원의 위치관계 - 두 점에서 만나는 경우

첫 번째로 두 원이 두 점에서 만나는 경우가 있어요. 원이 두 점에서 만난다는 얘기는 서로 겹친다는 거지요? 두 원이 서로 겹치려면 작은 원의 반지름보다 가까운 거리에서 만나야 해요. 그래서 두 원의 반지름을 더한 값이 중심거리보다 커야 하지요. r + r' > d가 되어야 해요.

그럼 r + r' > d만 되면 될까요? 자 (5)번 그림을 한 번 보세요. (5)번은 r + r' > d에요. 그런데 두 점에서 만나지 않죠? 따라서 두 점에서 만나는 경우에는 r + r' > d말고 다른 조건이 또 필요해요. 어떤 조건이냐면 r' - r < d라는 조건이에요. 큰 원의 반지름에서 작은 원의 반지름을 뺀 것이 중심거리보다 작아야 한다는 거에요.

결과적으로 두 원이 두 점에서 만나려면 r' - r < d < r + r'가 되어야 해요.

두 원의 위치관계 - 한 점에서 만나는 경우, 내접, 외접

두 번째는 두 원이 한 점에서 만나는 경우예요. 한 점에서 만나는 경우는 두 가지가 있는데, 하나는 (2)번처럼 작은 원이 큰 원의 바깥에 있으면서 한 점에서 만나는 경우가 있어요. 이때는 두 원의 반지름을 더한 것이 중심거리와 같은, r + r' = d가 되어야 해요. 이때를 서로 바깥에서 만난다고 해서 외접이라고 해요.

다른 경우는 (3)번처럼 작은 원이 큰 원의 안쪽에 들어있으면서 한 점에서 만나는 경우예요. 이때는 큰 원의 반지름에서 작은 원의 반지름을 뺀 것이 중심거리와 같아야 하죠. 즉, r' - r = d가 되어야 해요. 이때는 큰 원의 안에서 만난다고 해서 내접이라고 해요.

두 원의 위치관계 - 만나지 않는 경우, 외부에 있을 때, 내부에 있을 때, 동심원

세 번째는 만나지 않는 경우예요. 만나지 않는 경우는 세 가지가 있어요.

(4)번처럼 두 원이 완전히 떨어져서 만나는 않는 경우예요. 이때는 두 원의 반지름의 합보다 중심거리가 더 길어야겠죠? r + r' < d에요.

(5)번은 작은 원이 큰 원의 안에 있으면서 서로 만나지 않는 경우예요. (3)번과 다르죠? 이때는 큰 원의 반지름에서 작은 원의 반지름을 뺀 것이 중심거리보다 커야 해요. d < r' - r이죠.

(6)번은 아주 특이한 경우인데요. 두 원의 중심이 같고 반지름이 다른 경우예요. 두 원의 중심이 같으니까 중심거리가 0이에요. d = 0, r ≠ r' 인 경우죠. 두 원의 위치관계에서는 특별히 얘기하지 않으면 두 원의 반지름이 다른 것으로 보기 때문에 d = 0만 써도 크게 상관은 없어요.

이처럼 중심이 같고, 반지름이 다른 원을 동심원이라고 합니다.

아래 표처럼 정리할 수 있어요.

두 원의 위치관계
위치관계 두 점에서 만난다 한 점에서 만난다 만나지 않는다
외접 내접 외부에 있다 내부에 있다 동심원
r'-r<d<r'+r r+r'=d r'-r=d r+r'<d d<r'-r d=0
차 < d < 합 합 = d 차 = d 합 < d d < 차 d = 0

표를 다 외울 필요는 없어요. 이걸 외우는 건 정말 멍청한 짓이에요. 왜 이런 표가 나왔는지를 이해하면 됩니다. 특히 두 점에서 만날 때 r' - r 가 왜 나오는지에 대해서 이해하세요.

두 원의 위치관계 찾기

두 원의 위치관계를 알고 싶을 때는 두 원의 반지름의 합과 차를 미리 구하세요. 그리고 중심거리가 합과 차의 사이에서 어디에 있는지를 보면 돼요.

만약 중심거리가 차보다 작으면 내부에, 차와 같으면 내접, 차와 합 사이면 두 점에서 만나고, 합과 같으면 외접, 합보다 크면 외부에 있어요. 아래 그림이 무슨 내용인지 이해하겠죠? 위 표를 이해하는 것보다는 훨씬 쉬울 거에요.

두 원의 위치관계 정리표

중심선, 중심거리, 공통현

중심선, 중심거리, 공통현

두 원의 중심 사이의 거리를 중심거리라고 한다고 했어요.

이외에도 두 원의 위치관계에서 사용하는 용어에는 중심선과 공통현이라는 게 있어요.

중심선은 두 원의 중심을 연결한 직선이에요.

공통현은 두 원이 두 점에서 만날 때에만 생겨요. 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 현은 원에서 두 점을 연결한 직선이라고 했어요. 두 원이 만나는 두 점을 연결하면 현이 생기는데 이 현은 두 원 양쪽 모두에 공통으로 들어있어서 공통현이라고 불러요.

여기서도 두 원이 한 점에서 만날 때 그 점을 접점이라고 해요. 주의할 건 접점은 한 점에서 만날 때(내접, 외접)만 사용하는 용어에요. 두 점에서 만날 때는 접점이라는 용어를 사용하지 않아요.

중심선은 공통현을 수직이등분해요. 참고로 알아두면 문제 푸는 데 도움이 될 거에요.

반지름의 길이가 3cm, 5cm인 두 원이 있다. 중심거리 d가 아래와 같을 때 두 원의 위치관계를 말하여라.
(1) d = 4cm
(2) d = 8cm
(3) d = 12cm

이 문제를 풀 때는 큰 원의 반지름과 작은 원의 반지름의 합과 차를 미리 구하세요. 그리고 중심거리와 비교하면 쉬워요.

r + r' = 3cm + 5cm = 8cm, r' - r = 5cm - 3cm = 2cm입니다.

(1) d = 4cm이면 2cm보다는 크고 8cm보다는 작죠? 반지름의 차보다 크고 합보다 작을 때는 두 원이 두 점에서 만나는 경우였죠?

(2) d = 8cm이면 두 원의 반지름의 합과 같네요. 합과 같으면 외접, 즉 한 점에서 만나는 경우에요.

(3) d = 12cm이면 두 원의 반지름의 합보다 커요. 따라서 두 원은 외부에 있으면서 만나는 않는 경우가 되겠네요.

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원과 직선의 위치관계, 원의 할선과 접선, 접점
공통접선, 공통내접선, 공통외접선
원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각

정리해볼까요

두 원의 위치관계

  • 두 점에서 만난다: 반지름의 합과 차 사이
  • 한 점에서 만난다.
    • 외접: d = 반지름의 합
    • 내접: d = 반지름의 차
  • 만나지 않는다.
    • 외부에 있다.: 반지름의 합 < d
    • 내부에 있다.: d < 반지름의 차
    • 동심원: d = 0
 
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