앞에서는 평면에서의 여러 가지를 배웠어요. 평면에서 점과 직선의 위치 관계, 평면에서 두 직선의 위치 관계를요. 이제는 공간에서 같은 내용을 배울 거예요.

점이 모이면 선이 되고, 선이 모이면 평면이 돼요. 그렇죠? 그럼 공간은 뭐가 모여서 된 걸까요? 바로 평면이 모여서 된 거예요.

그래서 평면에서 점과 직선의 위치 관계, 평면에서 두 직선의 위치 관계는 공간에서도 그대로 적용됩니다. 평면에서의 위치 관계에 추가로 몇 개 더 배우는 거예요.

공간에서 두 직선의 위치 관계

점과 직선의 위치관계, 두 직선의 위치관계에서 평면 위의 두 직선은 한 점에서 만나는 경우, 평행한 경우, 일치하는 경우가 있었어요. 일치하는 경우는 여러 점에서 만나는 경우니까 한 점에서 만나는 경우와 일치하는 경우를 합쳐서 두 직선이 만나는 경우라고 할 수 있죠.

공간에서는 여기에 한 가지가 더해지는 데요. 바로 꼬인 위치라는 거예요. 꼬인 위치는 쉽게 말해서 위 세 가지가 아닌 경우예요. 그러니까 만나지도 않으면서 평행하지도 않은 경우죠.

공간에서 두 직선의 위치 관계

그림에서 왼쪽과 가운데 그림에는 "한 평면 위"라고 쓰여 있죠? 이 두 가지가 바로 평면에서 두 직선의 위치관계에도 있던 내용이에요. 그림에는 없지만 일치하는 경우도 한 평면 위에 있을 때에요. 반대로 꼬인 위치는 서로 다른 평면에 있는 경우고요.

꼬인 위치에 대해서는 잘 이해가 안 될 수 있는데요. 아래 직육면체 그림을 보세요.

직육면체

선분 AB와 선분 CD, 선분 EF, 선분 HG는 서로 평행이에요. 그리고 선분 AB와 선분 AD, 선분 AE는 한 점 A에서 만나죠? 선분 AB와 선분 BC, 선분 BF는 한 점 B에서 만나요. 그럼 선분 AB와 선분 EH는 어떤 사이일까요? 만나지도 않고 평행하지도 않아요. 이런 관계를 바로 "꼬인 위치에 있다."라고 합니다.

평면과 직선의 위치관계

이번에는 공간에서 평면과 직선의 위치 관계에요.

직선이 평면에 포함되는 경우가 첫 번째에요. 평면에서 두 직선의 위치 관계에서 직선은 모두 평면에 포함되어 있었어요. 직선이 평면에 포함되는 경우는 다른 말로 평면 위의 직선이라고 표현하고 이때 직선과 평면이 만나는 점이 매우 많아요.

위 직육면체 그림에서 면ADHE에 선분 AD, DH, HE, EA가 포함되어 있어요.

두 번째는 평면과 직선이 한 점에서 만나는 경우예요. 마치 화살이 과녁에 박혀있는 것처럼 생겼죠? 직육면체 그림에서 면ADHE와 세로로 된 선분 AB는 점 A에서 만나죠. 또 선분 DC와는 점 D에서, 선분 HG와는 점 H, 선분 EF와는 E에서 만나요.

마지막은 직선이 평면과 만나지 않는 경우에요. 점이 직선위에 있지 않는 경우와 비슷한 모양이에요. 직육면체 그림의 면ADHE는 선분 BC, 선분 CG, 선분 GF, 선분 BF와 평행이에요.

공간에서 직선과 평면의 위치관계

공간에서 평면과 직선의 수직

평면과 직선이 한 점에서 만날 때 특이하게 만나는 경우가 있어요. 바로 직각으로 만나는 경우요. 두 직선이 한 점에서 만날 때, 수직으로 만나는 경우가 있잖아요. 여기서도 그런 경우예요.

평면을 P, 평면 P와 한 점에서 만나는 직선을 직선 m이라고 해보죠. 평면 P와 직선 m이 만나는 점을 점 O라고 하고요. 그리고 평면 P에 포함되고 점 O를 지나는 직선을 l이라고 하지요.

평면 P와 직선 m이 직교하니까 직선 m은 수선이고, 기호로 P ⊥ m으로 나타낼 수 있어요. 이때 점 O는 수선의 발이에요. (수직과 직교, 수선, 수선의 발, 점과 직선 사이의 거리)

공간에서 직선과 평면이 서로 수직일 때는 한 가지 특징이 있는데, 평면 P와 직선 m이 수직이면 평면 P위의 직선 l과 직선 m도 점 O에서 수직이에요.

아래 그림을 보고 선분 AB와 꼬인 위치에 있는 선분을 모두 찾으시오.
직육면체

꼬인 위치는 만나지도 않고 평행하지도 않은 위치에 있는 걸 말해요.

선분 AB와 평행한 선분을 찾아볼까요? 선분 CD, 선분 EF, 선분 GH가 있네요.
선분 AB와 만나는 선분을 찾아보죠. 선분 AD, 선분 AE, 선분 BC, 선분 BF이고요.

그럼 이제는 평행하지도 않고, 만나지도 않는 꼬인 위치에 있는 선분을 찾아보죠. 직육면체에서 찾을 수 있는 선분 중에 위에서 적지 않은 선분을 다 적으면 돼요. 선분 EH, 선분 DH, 선분 FG, 선분 CG가 되겠네요.

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평면의 결정 조건
점과 직선의 위치 관계, 두 직선의 위치 관계
수직과 직교, 수선, 수선의 발, 점과 직선 사이의 거리

정리해볼까요

공간에서 두 직선의 위치관계

  • 한 평면에 있을 때
    • 한 점에서 만나다.
    • 일치
    • 평행
  • 다른 평면에 있을 때
  • 꼬인 위치: 만나지도 평행하지도 않은 경우

공간에서 평면과 직선의 위치관계

  • 직선이 평면에 포함
  • 직선과 평면이 한 점에서 만난다
  • 직선과 평면이 평행

직선과 평면의 수직

  • 직선과 평면이 한 점에서 만날 때
  • 평면을 P, 평면과 한 점에서 만나는 직선을 m, 평면과 직선이 만나는 점을 O, 점 O를 지나는 평면 위의 직선을 l이라고 할 때
    • P ⊥ m → 점 O에서 l⊥m
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