두 원의 위치관계, 내접, 외접에서 내접과 외접이라는 용어와 그 뜻을 알아봤어요. 원과 직선의 위치관계, 원의 할선과 접선, 접점에서는 접선이라는 걸 알아봤고요.
두 원이 있을 때 두 원에 모두 접하는 선이 있을 수 있겠지요? 이 글에서는 이처럼 두 개의 원에 공통으로 접하는 접선과 그 종류에 대해서 알아볼 거예요.
그리고 두 원에 공통으로 접하는 접선이 두 원의 위치관계에 따라 어떻게 바뀌는 지와 그러한 접선이 몇 개나 생기는지도 알아볼 거고요.
공통접선
접선은 접선인데 두 원에 공통으로 접하는 접선을 공통접선이라고 해요.
접선은 접점에서 원의 반지름에 수직이라고 했어요. 따라서 공통접선은 두 원 모두에 수직이죠.
두 원이 공통접선을 기준으로 같은 쪽에 있을 때의 접선은 공통외접선, 두 원이 접선을 기준으로 반대방향에 있으면 공통내접선이라고 해요. 두 원 사이를 지나는 접선이 공통내접선이고 그게 아닌 게 공통외접선이죠.
아래 그림은 두 원의 위치관계에 맞게 공통접선을 그린 그림이에요. 파란색은 공통외접선, 빨간색은 공통내접선이에요.
첫 번째 그림에서 파란색의 공통접선 l을 기준으로 두 원이 모두 오른쪽에 있지요? 또 두 번째 그림에서 두 원이 모두 공통접선 m보다 아래쪽에 있어요. 이처럼 두 원의 공통접선을 기준으로 같은 방향에 있으니까 이 공통접선은 공통외접선이에요.
왼쪽 아래의 세 번째 그림에 보면 빨간색 n이라는 공통접선이 있죠? 이 공통접선 n을 기준으로 작은 원은 공통접선의 왼쪽에 큰 원은 공통접선의 오른쪽에 있어요. 둘이 반대방향에 있죠? 그래서 이 공통접선은 공통내접선이 되는 거예요. 아니면 큰 원과 작은 원 사이를 지나니까 공통내접선이라고 생각해도 돼요.
공통접선, 공통내접선, 공통외접선의 개수는 두 원의 위치관계에 따라 달라져요. 작은 원이 큰 원의 안에 있다가 점점 바깥으로 움직인다고 생각하고 그 순서대로 구해보죠.
| 두 원의 위치관계 | 내접 | 두 점에서 만날 때 | 외접 | 외부에 있을 때 |
|---|---|---|---|---|
| 공통내접선의 개수 (개) | 0 | 0 | 1 | 2 |
| 공통외접선의 개수 (개) | 1 | 2 | 2 | 2 |
| 합계 (개) | 1 | 2 | 3 | 4 |
두 원의 위치관계에는 총 6가지가 있었어요. 그중에 만나지 않는 경우인 내부에 있을 때와 동심원일 때는 공통접선이 없어요. 그래서 위 그림과 표에는 4가지만 있는 겁니다.
두 원의 위치관계와 마찬가지로 그 개수를 외우려고 하지는 마세요. 그냥 그림을 보고 (혹은 그림을 상상하고) 공통접선을 그리고, 공통내접선인지 공통외접선인지 구별할 줄 알면 돼요.
반지름의 길이가 5cm, 8cm인 두 원이 있다. 중심거리 d가 아래와 같을 때 공통접선은 몇 개인지 구하여라.
(1) d = 1cm
(2) d = 11cm
(3) d = 21cm
(4) d = 13cm
공통접선이 몇 개인지 구하려면 두 원의 위치관계부터 알아야겠죠? 두 원의 위치관계를 알아볼 때는 먼저 두 원의 반지름의 합과 차를 구하면 쉽다고 했어요. 두 원의 반지름의 합은 5cm + 8cm = 13cm, 반지름의 차는 8cm - 5cm = 3cm네요.
(1) 번은 d = 1cm로 반지름의 차보다 작아요. 중심거리가 반지름의 차보다 작으면 작은 원이 큰 원의 내부에 있는 경우이고, 이때는 공통접선이 없어요. 따라서 0개에요.
(2) 번은 d = 11cm로 반지름의 차와 합 사이에 있네요. 이때는 두 점에서 만나는 경우로 공통외접선만 2개가 있어요.
(3) 번은 d = 21cm로 반지름의 합보다 크니까 두 원은 외부에 있는 경우이죠. 이때는 공통내접선이 2개, 공통외접선이 2개 해서 총 4개의 공통접선이 있어요.
(4) 번은 d = 13cm로 반지름의 합과 같네요. 이때는 외접하는 경우로 공통내접선 1개, 공통외접선 2개, 총 3개의 공통접선을 가져요.
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