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최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법을 이해했나요? 대부분의 경우에 최대공약수와 최소공배수는 소인수분해를 이용하는 방법으로 구해요. 이 방법은 초등학교 때 많이 해봤던 방법이니까 자신 있죠? 그리고 새로 배운 지수를 이용하는 방법은 숫자가 거듭제곱 꼴로 나왔을 때만 사용하세요.

이번에는 최대공약수와 최소공배수를 다른 방법으로 구하는 걸 공부할 거예요. 물론 문제에 따라서는 최대공약수와 최소공배수가 아니라 자연수를 구하는 경우도 있을 수 있어요.

공식은 하나고요, 문제를 어떻게 내느냐에 따라 구하는 게 달라지는 거예요. 아주 짧은 공식이니까 걱정하지 마세요.

최대공약수와 최소공배수의 관계

최대공약수는 영어로 하면 Greatest Common Measure인데, 첫 글자를 따서 알파벳 G로, 최소공배수는 Least Common Multiple의 첫 글자를 따서 L로 표시해요.

두 자연수 A, B의 최대공약수를 G, 최소공배수를 L이라고 하면 아래처럼 표시할 수 있죠? 여기서 a, b는 서로소이고요.

최대공약수 = G
최소공배수 L = G × a × b
A × B = L × G

A를 G로 나눈 몫이 a니까 A = G × a로 쓸 수 있어요. 마찬가지로 B = G × b가 되겠죠. 최대공약수는 G고, 최소공배수는 L = G × a × b에요.

2 × 3과 3 × 2은 6으로 서로 같지요? 곱하기에서는 부호 바로 양쪽에 있는 숫자나 문자끼리 서로 자리를 바꿔도 결과가 같아요. 더 자세한 건 나중에 따로 공부할 거예요. 일단 곱하기에서는 자리를 바꿔도 값이 같다는 것만 알아두세요. B = G × b와 인데 B = b × G라고 써도 되는 거죠.

A × B = G × a × b × G로 쓸 수 있겠죠?
A × B = L × G      (앞에 있는 G × a × b = L이므로)

두 수를 곱했더니 최대공약수와 최소공배수를 곱한 것과 같아졌어요. 그러니까 최대공약수 구하는 방법과 최소공배수 구하는 방법에서 공부했던 두 가지 방법 말고도 최대공약수와 최소공배수를 구할 수 있어요. 또 최대공약수와 최소공배수, 한 자연수를 알 때 다른 자연수도 구할 수 있고요.

다음 물음에 답하여라.
(1) 두 자연수 A, 30의 최대공약수가 6, 최소공배수가 120일 때, A를 구하여라.
(2) 두 자연수의 곱이 256, 최소공배수가 32일 때, 두 자연수의 최대공약수를 구하여라.

먼저 (두 자연수의 곱) = (최대공약수) × (최소공배수)인 것만 기억해두세요.

(1) 두 자연수가 A, 30이면 둘의 곱은 A × 30이고, 최대공약수 × 최소공배수 = 6 × 120 = 720이에요. A × 30 = 720, 어떤 자연수 A와 30을 곱했더니 720이 되려면 어떤 자연수 A는 24가 되어야겠네요.

(2) 최대공약수를 구하라고 했으니까 □라고 해보죠. 두 자연수의 곱이 이미 나와 있네요. 256 = □ × 32에요. □에 32를 곱해서 256이 되어야 하니까 □ = 8이에요. 즉 최대공약수는 8이에요.

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최대공약수와 최소공배수를 배웠으니 이제 그 활용법에 대해서 공부해보죠.

최대공약수와 최소공배수를 활용하는 문제 유형이 정해져 있어요. 그 유형만 잘 파악하면 문제 푸는 데 어려움이 없을 거예요. 물론 문제를 읽고 유형을 파악하는 게 쉬운 건 아니지만요.

최대공약수와 최소공배수의 활용 문제는 서술형으로 나오는 경우가 많아서 문제를 잘 읽어야 해요. 문제에 몇 가지 힌트를 주는데 이 힌트를 잘 조합해보면 문제 유형을 파악할 수 있어요.

문제에서 어떤 힌트를 주는지 지 그리고 힌트들을 어떻게 조합하는지를 알아보고, 최대공약수와 최소공배수 중 어떤 걸 이용해야 하는지도 알아보죠.

최대공약수의 활용

최대공약수, 최대공약수 구하는 방법

최대공약수를 활용하는 문제를 알아보는 힌트는 세 가지 경우로 나눠서 생각할 수 있어요. 첫 번째는 문제 유형이에요. 가지고 있는 물건을 여러 사람에게 나눠주거나 그 크기를 쪼개거나 개수를 나누는 경우에는 최대공약수를 이용해요.

또 최대공약수를 이용하는 문제에는 "가장 큰", "가능한 한 많이"라는 표현이 있어요. 가장 큰, 가능한 한 많이는 바로 "최대"라는 단어로 바꿀 수 있겠죠?

최대공약수는 원래의 수보다 작아요. 개수를 나누거나 크기는 쪼개는 건 원래의 것보다 작아지는 거죠? 따라서 문제에서 처음에 주어졌던 숫자보다 결과로 나오는 숫자가 더 적어지는 경우에도 최대공약수를 이용해요.

문제 유형: 똑같이 나누는 문제, 크기를 쪼개는 문제
표현: 가장 큰, 가능한 한 많은
문제에 주어진 숫자보다 더 작은 수를 구하는 경우

가로 길이가 180cm, 세로 길이가 200cm인 벽에 남는 부분이 없도록 크기가 같은 타일을 붙이려고 한다. 가능한 한 큰 정사각형 모양의 타일을 사용하려고 할 때, 타일의 한 변의 크기를 구하여라.

문제 속에 "가능한 한 큰"이라는 표현이 있어요. 바로 최대공약수를 이용하라는 뜻이에요. 또 타일의 크기는 문제에서 주어진 벽의 가로, 세로 길이보다 작아야 하죠? 그래서 최대공약수를 이용하는 거예요.

180과 200의 최대공약수를 구해보죠.
180 = 2² × 3² × 5
200 = 2³ × 5²

최대공약수는 공통인 것 중에서 지수가 작은 걸 쓰니까, 2² × 5 = 20가 되겠네요. 한 변의 길이가 20cm인 정사각형 모양의 타일이 남는 공간이 없이 붙일 수 있는 가장 큰 타일이에요.

가로, 세로, 높이가 각각 40cm, 48cm, 24cm인 나무를 남김없이 잘라서 가능한 한 큰 정육면체 모양의 나무토막을 만들려고 한다. 크기가 같은 나무토막을 몇 개 만들 수 있는지 구하여라.

큰 나무토막을 "쪼개는" 유형이에요. 그리고 "가능한 한 큰"이라는 표현이 들어있고요. 나무토막을 자르면 당연히 문제에서 주어진 원래 크기보다 작아지겠죠? 이런 이유로 이 문제에서는 최대공약수를 이용해야 하는 거예요.

세 수의 최대공약수를 구해보죠.
40 = 2³ × 5
48 = 2⁴ × 3
24 = 2³ × 3

따라서 최대공약수는 2³이에요. 여기서 최대공약수는 나무토막의 개수가 아니라 원래 나무토막을 잘라서 만들 수 있는 가장 큰 정육면체 모양의 나무토막의 가로, 세로, 높이의 길이에요.

가로 방향으로 만들 수 있는 나무토막의 개수는 40 ÷ 8 = 5(개)
세로 방향으로 만들 수 있는 나무토막의 개수는 48 ÷ 8 = 6(개)
높이 방향으로 만들 수 있는 나무토막의 개수는 24 ÷ 8 = 3(개)

총 만들 수 있는 나무토막의 개수는 5 × 6 × 3 = 90(개)

최소공배수의 활용

최소공배수, 최소공배수 구하는 방법

최소공배수를 활용하는 문제도 비슷한 유형이 있어요.

이번에도 세 가지 경우로 나눠서 생각해보죠. 첫 번째 문제 유형이에요. 작은 물건들 여러 개를 붙이거나 쌓는 경우예요. 혹은 기차나 톱니바퀴 같은 게 동시에 출발해서 다시 만나는 경우를 묻는 문제 유형이 있지요.

최소공배수를 이용하는 문제에는 "가장 작은", "가능한 한 작게"라는 표현이 있어요. 가장 작은, 가능한 한 작게는 바로 "최소"라는 단어로 바꿀 수 있겠죠?

최소공배수는 원래의 수보다 커요. 어떤 물건을 여러 개 붙이거나 쌓아서 만든 결과물은 원래의 것보다 크기나 길이가 커지겠죠? 따라서 문제에서 처음에 주어졌던 숫자보다 결과로 나오는 숫자가 더 커지는 경우에도 최소공배수를 이용해요.

문제 유형: 동시에 출발, 가장 작은 도형, 연결, 쌓기
표현: 가장 작은, 가능한 한 작게, 동시에
문제에 주어진 숫자보다 더 큰 수를 구하는 경우

가로 길이가 10cm, 세로 길이가 6cm인 색종이를 빈틈없이 붙여서 가능한 한 크기가 작은 정사각형을 만들려고 할 때 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.

문제에서 "가능한 한 크기가 작은" 이라는 표현이 들어있어요. 그리고 정사각형의 한 변의 길이는 문제에서 주어진 색종이의 크기보다 크겠죠? 따라서 최소공배수를 이용하는 문제에요.

10 = 2 × 5
6 = 2× 3

두 수의 최소공배수는 2 × 3 × 5 = 30이므로 정사각형의 가로, 세로 길이는 30cm네요.

A 시내버스는 버스 노선을 한 바퀴 도는 데 60분이 걸리고, B 버스는 노선을 한 바퀴 도는 데 50분이 걸린다고 한다. A, B 두 버스가 오전 10시에 C 정류장을 동시에 출발한다고 했을 때, 두 버스가 C 정류장에서 처음으로 다시 만나는 시각을 구하여라.

두 버스가 "동시에" 출발하죠. 그리고 버스가 노선을 몇 바퀴 돌든지 한 바퀴 도는 시간보다는 많겠죠? 따라서 이 문제도 최소공배수를 이용하는 문제에요.

60 = 2² × 3 × 5
50 = 2 × 5²

두 수의 최소공배수는 2² × 3 × 5² = 300

A, B 두 버스는 300분 뒤에 C 정류장에서 다시 만나요. 300분이면 5시간 뒤니까 오후 3시에 C 정류장에서 처음으로 만나게 되겠군요.

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최대공약수에 이어 최소공배수에요. 최소공배수가 뭔지는 다 알고 있죠?

최대공약수와 최소공배수 구하는 방법은 한 끗 차이에요. 기본적인 방법은 같으니까 그 차이만 기억한다면 어렵지 않은 부분이죠. 대신 둘을 헷갈리면 안 돼요.

또 어떤 친구들은 최대공배수, 최소공약수라는 표현을 쓰기도 하는데, 이는 잘못된 내용이니까 틀리지 않도록 주의하세요.

최소공배수 구하는 방법을 하기 전에 최대공약수, 최대공약수 구하는 방법을 미리 한번 읽어보면 더욱더 잘 이해가 될 거예요.

최소공배수

공배수는 2개 이상의 자연수의 공통된 배수죠. 이 공배수 중에서 가장 작은 공배수를 최소공배수라고 해요.

공배수를 구할 때는 두 수의 배수를 죽 쓰고, 그중에 공통으로 들어있는 걸 찾았죠? 이제부터는 다른 방법을 이용할 거예요. 공배수는 최소공배수의 배수라는 성질을 이용하는 거죠.

5와 6의 공배수를 찾아볼까요?
5의 배수: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, ….
6의 배수: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120, …
5과 6의 공배수: 30, 60, 90, …

5와 6의 최소공배수는 30이에요. 30의 배수는 30, 60, 90, 120, … 이죠. 바로 5와 6의 공배수와 같아요. 즉 어떤 자연수의 공배수는 최소공배수의 배수라는 걸 알 수 있어요.

이제부터 공배수를 구할 때는 최소공배수만 구하고, 그 최소공배수의 배수를 구하면 되는 거예요.

최소공배수: 공배수 중 가장 작은 공배수
둘 이상의 자연수의 공배수 = 최소공배수의 배수

최소공배수 구하는 방법

최소공배수를 구하는 방법은 두 가지에요. 하나는 공약수로 나누는 거고, 다른 하나는 지수를 이용하는 방법이에요.

공약수로 나누기

방법은 최대공약수 구하는 방법과 같아요. 두 수를 적고, 서로소가 나올 때까지 계속 공약수로 나누는 거지요. 차이가 있다면 최대공약수에서는 공약수들만 곱했는데, 최소공배수는 공약수에 서로소까지 곱하는 거예요.

60과 48의 최소공배수를 구해볼까요?

위처럼 됐는데, 최대공약수는 왼쪽에 있는 2² × 3 = 12이에요.
최소공배수는 2² × 3에 아래에 있는 서로소(5, 4)까지 곱해서 2² × 3 × 5 × 4 = 2⁴ × 3 × 5 = 240이지요.

만약에 세 자연수의 최소공배수를 구하려 한다면 조금 달라져요.

③에 보면 15, 12, 10이라는 숫자가 있는데, 세 숫자의 공약수가 아닌 2로 나눴지요? 세 수에서 공약수를 찾을 수 없을 때는 두 수를 선택해서 둘의 공약수로 나눠주는 거예요. 그럼 두 수는 공약수로 나누고, 나뉘지 않는 다른 한 수는 그냥 그대로 쓰면 돼요. 15, 12, 10을 2로 나눴더니 15는 그대로 12는 6, 10은 5로 되었지요?

④에서도 마찬가지예요. 15, 6, 5라는 세 숫자는 공약수가 없어요. 그래서 15와 6만 공약수인 3으로 나눠주고 5는 나뉘지 않으니까 그대로 5에요.

⑤ 5, 2, 5에서는 5로 나눈 거지요.

숫자가 세 개일 때는 세 수에서 모두 서로소가 나올 때까지 계속 나누는 거예요.

60, 48, 40의 최소공배수는 2⁴ × 3 × 5 = 240이네요.

지수이용

지수를 이용할 거니까 숫자를 소인수분해를 해서 지수가 나오게 수를 바꿔야 해요.

최대공약수는 공통인 소수를 쓰되, 지수가 작은 걸 썼죠? 최소공배수는 달라요. 공통이든 아니든 모든 소수를 다 쓰되, 공통인 건 지수가 큰 걸 써요.

60과 48의 최소공배수를 지수를 이용하여 구해보죠.

일단 두 수를 지수가 있는 꼴로 바꾸려면 소인수분해를 해야 해요. 60 = 2² × 3 × 5, 48 = 2⁴ × 3이죠.

이제는 소수별로 비교해볼게요.

2라는 소수는 60과 48 모두에 들어있어요. 60에는 2²이고 48에는 2⁴에요. 48에 있는 2의 지수가 더 크네요.
3이라는 소수도 60과 48 모두에 들어있어요. 지수는 둘 다 1이고요.
5는 60에만 있고, 48에는 없어요.

최소공배수는 두 수에 공통인 소수 중에서 지수가 더 큰 걸 쓰고, 공통이 아닌 소수는 모두 다 써요. 2는 양쪽 모두에 들어있는데 이 중 2⁴이 지수가 크죠. 3도 양쪽 모두에 들어있는데 지수가 1로 같으니까 그냥 3으로 하면 되겠네요. 5는 48에는 들어있지 않지만 60에는 들어있으니까 5도 쓰고요. 최종적으로 60과 48의 최소공배수는 2⁴ × 3 × 5네요.

첫 번째 공약수로 나누는 방법은 숫자를 그대로 준 경우에 사용해요. 두 수를 소인수분해해서 지수를 이용하는 건 번거롭잖아요. 두 번째 지수를 이용한 방법은 숫자가 이미 소인수분해가 되어 있을 때 사용해요.

최소공배수 구하는 방법
공약수로 나누기 - 서로소가 나올 때까지 공약수로 나누고, 나온 공약수와 서로소를 모두 곱함. 수가 그냥 나왔을 때 사용
지수 이용 - 공통된 소수 중 지수가 높은 수들과 공통되지 않은 모든 소수 곱. 소인수분해가 된 형태로 나왔을 때 사용

다음의 두 수의 최소공배수를 구하여라. (1) 72, 126       (2) 2² × 5³ × 7, 2³ × 7²

(1)번은 그냥 두 수가 나와 있으니까 공약수로 나눠서 구해보죠.

최소공배수는 왼쪽에 있는 공약수와 아래에 있는 소수들의 곱이므로 2 × 3² × 4 × 7 = 2³ × 3² × 7

(2)번은 소인수분해가 이미 되어 있으니까 지수를 이용하는 방법으로 구하는 게 더 쉽겠네요.
2라는 소수는 양쪽 모두에 들어있는데, 2²과 2³중 지수가 큰 건 2³
5는 한쪽에만 들어있으니까 쓰고요
7은 양쪽 모두에 있는데, 7과 7²이니까 지수가 큰 7²을 골라야겠네요.
결국 두 수의 최소공배수는 2³ × 5³ × 7²이에요.

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이번에는 최대공약수에 대해서 더 알아볼 거예요.

이제까지는 최대공약수를 구할 때 일단 약수를 모두 구해놓고 그중에서 가장 큰 걸 찾았잖아요. 약수를 모두 구해야 하는 아주 귀찮은 방법이죠. 약수를 다 찾지 못했거나 공약수를 잘 골라내지 못하면 틀리게 되는 방법이기도 하고요.

공약수와 최대공약수를 구할 때 아주 편리한 방법이 있어요. 이 방법을 이용하면 귀찮은 과정도 줄어들고, 공약수를 빼먹을 확률도 줄어들죠.

최대공약수의 성질과 최대공약수를 구하는 방법에 대해서 알아보죠.

최대공약수

최대공약수의 뜻과 성질

공약수는 두 개 이상의 자연수의 공통된 약수에요. 이 공약수 중에서 가장 큰 공약수를 바로 최대공약수라고 하지요.

최대공약수를 알면 공약수를 쉽게 구할 수 있어요. 최대공약수의 약수가 공약수거든요. 최대공약수를 먼저 구하고 그다음 최대공약수의 약수를 구하는 방법을 알아보죠.

예를 들어 12와 18의 최대공약수를 알아볼까요?
12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12
18의 약수: 1, 2, 3, 6, 9, 18

두 수의 공약수는 1, 2, 3, 6이고 이 중 가장 큰 공약수, 최대공약수가 6이에요. 그런데 이 6의 약수가 바로 1, 2, 3, 6이지요. 이 네 숫자는 12와 18의 공약수와 같아요. 어떤 두 수의 공약수는 두 수의 최대공약수의 약수와 같다는 걸 알 수 있어요.

이제까지는 약수를 구하고, 공약수를 찾은 다음 최대공약수를 찾았죠. 지금부터는 반대로 최대공약수를 먼저 찾고, 최대공약수의 약수를 구해서 공약수를 찾아요.

최대공약수에서 또 하나 알아야 할 건 서로소에요. 두 수의 공약수가 1밖에 없을 때 이 두 수를 서로소라고 합니다. 이때는 공약수가 1밖에 없으니까 최대공약수가 1이라고도 표현하지요.

최대공약수: 공약수 중 가장 큰 공약수
최대공약수의 약수 = 공약수
서로소: 공약수가 1뿐인 2개 이상의 자연수, 최대공약수가 1

최대공약수 구하는 방법

최대공약수를 구하는 방법은 두 가지가 있어요. 하나는 공약수로 나누는 거고, 다른 하나는 지수를 이용하는 거예요.

최대공약수 구하는 방법 첫 번째 - 공약수로 나누기

소인수분해 어떻게 했나요? 수를 쓰고, 소수가 나올 때까지 소수로 계속 나눴잖아요. 최대공약수를 구할 때도 이와 비슷하게 해요. 나뉘는 수가 2개 이상이라는 게 다르죠. 나누는 수는 꼭 공약수여야만 하는 게 제일 중요해요.

바로 이 나누는 수들의 곱이 최대공약수입니다.

60과 48의 최대공약수를 구해보죠.

60과 48의 공약수인 2로 두 수를 나눴더니 30, 24가 됐어요. 다시 2로 나누니까 15, 12가 됐고요. 15와 12의 공약수인 3으로 나눴더니 5, 4가 됐어요. 5와 4는 공약수가 1밖에 없는 서로소에요. 더는 나눌 수가 없으니 멈추세요.

왼쪽에 쓰여 있는 나누는 수가 2, 2, 3인데요. 이 세 수를 곱한 2 × 2 × 3 = 2² × 3 = 12가 60과 48의 최대공약수에요.

한 가지 좋은 건 소인수분해와 달리 나누는 수는 소수가 아니어도 상관없어요.

60과 48의 공약수 중 6을 이용했더니 계산이 조금 더 짧아졌죠? 마찬가지로 공약수는 왼쪽에 있는 나누는 수의 곱이므로 6 × 2 = 12에요. 소수로 나누지 않아도 최대공약수는 똑같죠?

최대공약수 구하는 방법 두 번째 - 지수이용

두 번째는 지수를 이용하는 방법이에요. 지수를 이용할 거니까 소인수분해해서 지수가 나오게 수를 바꿔야 해요.

60과 48의 최대공약수를 지수를 이용하여 구해보죠.

일단 두 수를 지수가 있는 꼴로 바꾸려면 소인수분해를 해야 해요. 60 = 2² × 3 × 5, 48 = 2⁴ × 3이죠.

이제는 소수별로 비교해 볼게요.

2라는 소수는 60과 48 모두에 들어있어요. 60에는 2²이고 48에는 2⁴이에요. 60에 있는 2의 지수가 더 작네요.
3이라는 소수도 60과 48 모두에 들어있어요. 지수는 둘 다 1이고요.
5는 60에만 있고, 48에는 없어요.

최대공약수는 두 수에 공통인 소수 중에서 지수가 더 작은 걸 써요. 2는 양쪽 모두에 들어있는데 이 중 2²이 지수가 더 작죠. 3도 양쪽 모두에 들어있는데 지수가 같으니까 그냥 3으로 하면 되겠네요. 5는 60에는 들어있지만 48에는 없으니까 빼고요. 최종적으로 60과 48의 최대공약수는 2² × 3이에요.

첫 번째 공약수로 나누는 방법은 숫자를 그대로 준 경우에 사용해요. 두 수를 소인수분해해서 지수를 이용하는 건 번거롭잖아요. 두 번째 지수를 이용한 방법은 숫자가 이미 소인수분해가 되어 있을 때 사용해요.

최대공약수 구하는 방법
공약수로 나누기 - 서로소가 나올 때까지 공약수로 나누고, 나온 공약수를 모두 곱함. 수가 그냥 나왔을 때 사용
지수 이용 - 공통된 소수 중 지수가 낮은 수들의 곱. 소인수분해된 형태로 나왔을 때 사용

다음의 두 수의 최대공약수를 구하여라.
(1) 72, 126      (2) 2² × 5³ × 7, 2³ × 7²

(1)번은 그냥 두 수가 나와 있으니까 공약수로 나눠서 구해보죠.

최대공약수는 왼쪽에 있는 공약수들의 곱이므로 2 × 3²

(2)번은 소인수분해가 이미 되어 있으니까 지수를 이용하는 방법으로 구하는 게 더 쉽겠네요.
2라는 소수는 양쪽 모두에 들어있는데, 2²와 2³중 지수가 작은 건 2²
5는 한쪽에만 들어있으니까 건너뛰고요
7은 양쪽 모두에 있는데, 7과 7²이니까 지수가 작은 7을 골라야겠네요.
결국 두 수의 최대공약수는 2² × 7이에요.

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초등학교에서는 약수를 구할 때, 곱하기를 이용해서 구했어요. 중학생이니까 조금 더 세련된 방법으로 약수를 구해야겠죠?

약수를 구하는 것뿐 아니라 약수의 개수를 구하는 방법도 공부할 거예요. 약수를 모두 구하지 않고도 약수의 개수를 구하는 방법이요.

두 가지 모두 소인수분해를 통해서 구하는 거예요. 소인수분해를 한 후에 거듭제곱으로 나타내는데, 거듭제곱과 약수와의 관계를 잘 이해해야 해요.

소인수분해를 이용하여 약수 구하기

72의 약수를 구해보죠. 72 = 1 × 72 = 2 × 36 = 3 × 24 = 4 × 18 = 6 × 12 = 8 × 9

72의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72이고, 12개네요.

그런데 만약에 72가 아니라 100이 넘어가는 수라면 하나씩 찾기가 너무 어렵겠죠? 이럴 때 소인수분해를 이용하면 약수를 쉽게 구할 수 있어요.

일단 72를 소인수분해하면 2³ × 3²이 나와요.

72는 2³과 3²이 곱해진 걸 알 수 있어요. 2³의 약수를 따로 구하고, 3²의 약수를 따로 구해서 각각을 서로 곱해주면 72의 약수가 되는 거예요. 2³의 약수는 직접 계산할 필요없이 지수를 이용해서 구할 수 있어요.

거듭제곱으로 된 수의 약수는 지수를 하나씩 늘려가면서 구할 수 있어요. 예를 들어 2¹⁰⁰의 약수는 2, 2², 2³, 2⁴, … 이렇게 쭉 나가다가 2⁹⁹, 2¹⁰⁰이 되는 거죠. 그리고 모든 수의 약수인 1도 함께 써주면 돼요.

2³의 약수는 1, 2, 2², 2³이에요.

3²의 약수는 뭘까요? 일단 1을 쓰고, 3, 3²이에요.

1, 2, 2², 2³과 1, 3, 3²을 각각 곱하면 돼요. 표를 이용해서 곱해보죠.

표를 잘 보면 곱하기를 이용해서 구했던 약수들과 똑같죠? 처음이라 이 방법이 복잡해 보일 수 있지만 어느 정도 숙달만 되면 곱하기를 이용해서 구하는 것보다 더 정확하고 빨리 약수를 구할 수 있어요.

소인수분해를 이용해서 약수 구하기
주어진 수를 소인수분해 → 거듭제곱의 약수를 모두 구하여 서로 곱한다.

135의 약수를 모두 구하여라.

먼저 135를 소인수분해부터 해야겠죠?

135 = 5 × 3 × 3 × 3 = 3³ × 5

135의 약수는 1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135네요.

이번에는 150의 약수를 구해볼까요? 150을 소인수분해하면 150 = 2 × 3 × 5²이죠.

소인수가 3개인데, 이때는 먼저 소인수 2, 3의 약수를 이용해서 150의 약수를 구하고, 이렇게 구한 약수와 남은 소인수 5의 약수들을 곱해서 150의 약수를 구해요.

2와 3을 이용해서 약수를 구했더니 위 표처럼 나왔네요. 이 표에서 구한 약수 1, 2, 3, 6과 소인수 5의 약수 1, 5, 5²을 각각 곱해서 150의 약수를 구해보죠.

150의 약수는 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150으로 총 12개네요.

소인수분해를 이용하여 약수 개수 구하기

이번에는 약수를 구하는 게 아니라 약수의 개수만 구하는 거예요.

물론 약수를 모두 구하면 약수의 개수도 알 수 있죠. 하지만 약수를 구하지 않고도 약수의 개수를 구할 수 있어요.

위 예제의 표를 보세요. 135의 약수의 개수는 8개에요. 표의 칸 수가 몇 개인가요? 8개죠. 바로 이걸 이용해서 약수의 개수를 구하는 거예요.

135 = 3³ × 5에요. 3³의 약수의 개수는 1, 3, 3², 3³이므로 4개, 5의 약수의 개수는 1, 5이므로 2개죠. 각각의 약수의 개수인 4와 2를 곱하면 8이고 이게 바로 135의 약수의 개수에요.

소인수분해를 이용해서 약수의 개수를 구하는 방법은 지수를 이용하는 거에요.

거듭제곱으로 된 수의 약수는 지수를 하나씩 늘려가면서 구한다고 했어요. 3³의 약수는 3, 3², 3³과 모든 수의 약수 1을 해서 4개죠. 그럼 약수의 개수는 지수의 개수보다 1개 더 많죠? 바로 이걸 이용하는 거지요.

135 = 3³ × 5에서 3의 지수 3에 1을 더하고, 5의 지수 1에 1을 더해요. (3 + 1) × (1 + 1) = 8

72 = 2³ × 3²이에요. 약수의 개수는 2의 지수 3에 1을 더한 것과 3의 지수 2에 1을 더해서 곱한 (3 + 1) × (2 + 1) = 12(개)가 되는 거죠.

소인수분해를 이용해서 약수 개수 구하기: 각 소인수의 지수에 1을 더해서 서로 곱함
소인수분해 → a^m × bⁿ → (m + 1) × (n + 1)

다음 수의 약수의 개수를 구하여라.
(1) 36         (2) 2³ × 3 × 5²

(1)번 36을 소인수분해하면 2² × 3²이 나오네요. 약수의 개수는 각 소인수의 지수에 + 1해서 곱하는 거니까 (2 + 1) × (2 + 1) = 9(개)에요.

(2)번은 소인수분해를 한 게 3개의 소인수로 되어 있어요. 소인수의 개수가 2개든 3개든 상관없어요. 각 소인수의 지수에 + 1 해서 곱해주는 건 똑같아요. 소인수 3에는 지수가 안 쓰여 있는데 이건 지수가 1이란 걸 말하죠? (3 + 1) × (1 + 1) × (2 + 1) = 24(개)

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소인수분해는 이름 그대로 어떤 자연수를 소인수로 분해하는 거예요. 소인수분해를 이용하면 약수를 구하기도 쉽고, 약수의 개수를 구하기도 아주 쉬워요. 그리고 최대공약수와 최소공배수를 구하기도 쉽고요.

이 글에서는 소인수가 뭔지 어떻게 소인수로 나누는지 알아볼 거예요. 나눗셈을 응용해서 소인수분해를 하는데, 일반적인 나눗셈과 살짝 달라요. 오히려 더 쉬울 수도 있어요.

이 글에서 나오는 수는 모두 자연수예요.

소인수분해

약수와 인수, 소인수

나눗셈은 이렇게 표현할 수 있죠?

(나눠지는 수) ÷ (나누는 수) = (몫) + (나머지)

여기서 나머지가 0일 때 (나누는 수)를 (나눠지는 수)의 약수라고 해요.

12 ÷ 1 = 12,   12 ÷ 12 = 1
12 ÷ 2 = 6,   12 ÷ 6 = 2
12 ÷ 3 = 4,   12 ÷ 4 = 3

12를 1이나 12로 나누면 나머지가 0이잖아요. 그래서 1과 12는 12의 약수예요. 2, 3, 4, 6도 마찬가지고요.

인수는 어떤 수나 식을 곱하기만으로 표현했을 때 곱해지는 각각의 것들을 말해요.

1 × 12 = 12
2 × 6 = 12
3 × 4 = 12

12는 1과 12의 곱으로 표현할 수 있죠? 다른 거 없이 곱하기만 했잖아요. 이때, 1과 12가 12의 인수예요. 2, 3, 4, 6도 12의 인수고요.

그러니까 약수는 나눗셈을, 인수는 곱셈을 기준으로 한다고 생각하면 쉬워요.

12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12고 12의 인수는 1, 2, 3, 4, 6, 12죠? 약수와 인수는 의미는 다르지만 실제 값을 구해보면 같다는 걸 알 수 있어요

인수 중에서 소수인 것들을 소인수라고 해요. 소수인 인수죠. 12의 인수 중 소수는 2, 3이니까 소인수는 2, 3이에요.

다음 수의 인수 중 소인수를 모두 구하여라.
(1) 10       (2) 25

(1) 10의 인수 1, 2, 5, 10에서 소수는 2, 5이므로 소인수는 2, 5

(2) 5의 인수 1, 5, 25 에서 소수는 5뿐이므로 소인수는 5

소인수분해

소인수분해는 자연수를 소인수들의 곱으로 표현하는 걸 말해요. 그렇다고 해서 12의 소인수는 2, 3이니까 2 × 3 이렇게 쓰면 안 돼요.

소인수분해는 합성수가 없어질 때까지 계속해서 소수들의 곱으로 바꾸면 돼요

60을 소인수분해보죠.

60 = 2 × 30
    = 2 × 2 × 15            (∵ 30 = 2 × 15)
    = 2 × 2 × 3 × 5        (∵ 15 = 3 × 5)
    = 22 × 3 × 5            (∵ 2가 두 번 곱해져 있으므로 거듭제곱으로)

1. 60은 2 × 30으로 나타낼 수 있죠?
2. 소수인 2는 그대로 두고, 합성수 30을 2 × 15로 나타냈어요.
3. 소수들의 곱인 2 × 2는 그대로 두고, 합성수 15를 3 × 5로 나타냈어요.
4. 합성수가 없어서 소인수분해가 끝났는데, 2가 2번 곱해져있어서 거듭제곱으로 나타냈어요.

아래 그림처럼 할 수도 있어요.

곱하기가 아닌 나누기를 이용하는 방법도 있어요. 합성수를 몫이 소수가 나올 때까지 계속 소수로 나누는 거지요.

1. 합성수 60을 가장 작은 소수 2로 나눠요.
2. 몫 30은 합성수니까 또 소수 2로 나눠요.
3. 몫 15는 합성수지만 2로 나누어지지 않아서 다음으로 큰 소수인 3으로 나눠요.
4. 15를 3으로 나눴더니 몫이 5가 나왔죠? 5는 소수이므로 여기서 끝

왼쪽에 있는 세 수 2, 2, 3과 마지막 나온 몫 5가 모두 소인수예요

60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5

어떤 방법으로 해도 결과는 같아요.

81로 한 번 더 해보죠.

81 = 3 × 27
    = 3 × 3 × 9
    = 3 × 3 × 3 × 3
    = 3⁴

소인수분해 하는 법
합성수가 없어질 때까지 계속해서 소수들의 곱으로 나타낸다.
몫이 소수가 나올 때까지 계속해서 소수로 나눈다.

다음을 소인수분해하여라.
(1) 135       (2) 36

(1)은 아래처럼 나와요.

135 = 3 × 45
   = 3 × 3 × 15
   = 3 × 3 × 3 × 5
   = 3³ × 5

윗쪽에서는 3을 먼저, 아랫쪽에서는 5를 먼저 계산했지만, 3과 5 모두 소수라서 어떤 걸 먼저 계산해도 상관없어요.

135 = 3³ × 5

(2) 36은 한 번 해보죠.

36 = 2 × 18
  = 2 × 2 × 9
  = 2 × 2 × 3 × 3
  = 2² × 3²

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지금까지 우리가 알고 있는 수는 1, 2, 3, 4 같은 자연수, ½, ¼같은 분수, 0.1, 0.01 같은 소수예요.

이 글에서는 새로운 수의 개념을 공부할 거예요. 위 세 가지 수가 아닌 다른 수를 공부하는 게 아니고, 짝수와 홀수처럼 자연수를 어떤 특징에 의해서 구별하는 거예요.

뒤에 이어질 내용에서 사용할 수와 단어의 개념이니까 잘 이해하고 있어야 해요. 이 글에서 설명하는 단어의 뜻을 모르면 다음 단원으로 넘어갈 수 없어요.

소수와 합성수가 뭔지 알아보죠.

소수와 합성수

소수가 뭐죠? 1의 자리보다 작은 자릿수를 가진 수들 예를 들면 0.1, 0.01처럼 소수점이 있는 수를 소수라고 하죠? 여기서 공부하는 소수는 다른 소수예요.

여기서 다루는 소수와 합성수는 모두 자연수예요. 분수나 우리가 기존에 알고 있는 소수는 다루지 않아요. 문제나 설명에서 따로 얘기하지 않더라도 모두 자연수입니다.

소수

1은 약수가 몇 개 있나요? 1은 약수가 1 하나밖에 없어요.
2는 1, 2
3은 1, 3
4는 1, 2, 4
5는 1, 5
6은 1, 2, 3, 6

2, 3, 5처럼 약수가 1과 자기 자신만 있는 자연수를 소수라고 해요. 약수가 1하고 자기 자신 밖에 없으니 약수의 개수가 2개죠? 그래서 소수를 약수가 2개밖에 없는 자연수라고 말하기도 해요. 또는 1과 자기 자신으로만 나누어떨어지는 수라고도 하고요. 표현은 다르지만 결국 다 같은 얘기예요.

2를 뺀 나머지 소수는 모두 홀수예요. 2가 아닌 짝수는 적어도 1과 2, 자기 자신은 무조건 약수로 갖으니까 소수가 될 수 없어요. 2를 제외한 소수가 모두 홀수라고 해서 모든 홀수가 다 소수인 건 아니에요. 9는 홀수지만 1, 3, 9라는 세 약수를 갖고 있어서 소수가 아니에요.

• 2를 뺀 나머지 소수는 모두 홀수 → ○
• 모든 홀수는 소수 → ×

소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … 등이 있어요.

합성수

합성수는 약수의 개수가 3개 이상인 자연수예요. 4는 약수가 1, 2, 4로 세 개고요, 6은 1, 2, 3, 6으로 네 개예요. 두 수는 약수의 개수가 3개 이상이니까 합성수죠.

합성수를 다른 말로 1보다 큰 자연수 중에서 소수가 아닌 수라고도 해요. 1은 약수가 1개고, 소수는 약수가 2개니까 결국 약수가 1, 2개가 아닌 수라는 뜻이죠.

2가 아닌 모든 짝수도 합성수예요. 짝수는 최소한 1, 2, 자기 자신의 세 수를 약수로 갖거든요. 홀수는 숫자마다 다르고요.

합성수는 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, … 등이 있어요.

그러면 1은 뭘까요? 약수의 개수가 2개면 소수, 3개 이상이면 합성수인데, 1은 약수의 개수가 1개잖아요. 그래서 1은 소수도 아니고 합성수도 아니에요. 그냥 1이에요.

자연수를 종류별로 나눈다면 1, 소수, 합성수의 세 가지로 나눌 수 있겠죠?

1: 소수도 합성수도 아님
소수: 약수의 개수가 2개인 자연수, 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 자연수
합성수: 약수의 개수가 3개 이상인 자연수, 1보다 큰 자연수 중 소수가 아닌 자연수

다음 수를 소수와 합성수로 나누어라.
1, 2, 9, 11, 24, 36, 40, 57, 63, 71

소수와 합성수를 구분할 때는 약수의 개수를 세면 돼요. 약수가 2개면 소수, 3개 이상이면 합성수니까요. 대신 약수를 모두 구할 필요는 없어요. 3개까지만 구하고 그 이상은 구하지 않아도 돼요. 또 2보다 큰 짝수는 약수의 개수를 구할 필요도 없이 무조건 합성수예요.

1은 약수의 개수가 1개라서 소수도 아니고 합성수도 아니에요.
2는 약수가 1, 2로 두 개뿐이니까 소수고요.
9는 약수가 1, 3, 9로 세 개여서 합성수네요.
11은 약수가 1, 11로 2개여서 소수네요.
24, 36, 40은 2보다 큰 짝수니까 약수의 개수를 구할 필요없이 합성수고요.
57은 1, 57, 3, 19로 약수의 개수가 4개여서 합성수예요.
63은 1, 63, 7, 9, … 약수를 벌써 네 개나 찾았어요. 약수를 더 찾을 필요없이 합성수네요.
71은 1, 71뿐이라서 소수고요.

1
소수: 2, 11, 71
합성수: 9, 24, 36, 40, 57, 63

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2를 네 번 더하면 2 + 2 + 2 + 2고 이걸 곱하기 기호를 쓰면 2 × 4로 쓸 수 있어요. 곱하기는 똑같은 수를 여러 번 더하는 걸 간단히 표현할 수 있지요.

2 + 2 = 2 × 2
2 + 2 + 2 = 2 × 3
2 + 2 + 2 + 2 = 2 × 4

그러면 2를 네 번 곱한다고 생각해보죠. 2 × 2 × 2 × 2예요. 이것도 간단하게 표현할 방법이 있으면 좋겠죠? 물론 쉽게 쓰는 방법이 있어요.

이 글에서는 곱하기를 여러 번 했을 때 좀 더 쉽고 간단하게 표시하는 방법인 거듭제곱에 대해서 공부할 거예요.

거듭제곱

거듭제곱

우선, 2를 4번 곱한 걸 부르는 이름이 있겠죠? 똑같은 수나 문자를 여러 번 곱한 걸 거듭제곱이라고 해요. 3을 3번 곱하거나 4를 10번 곱하는 것도 거듭제곱이라고 하지요.

2 × 2 = 2²
2 × 2 × 2 = 2³
2 × 2 × 2 × 2 = 2⁴

위 단락의 마지막 줄 오른쪽을 보면 4는 2보다 조금 더 위에 작게 썼지요? 거듭제곱은 이렇게 표현합니다.

(곱하는 수)는 보통 크기로 쓰고, (곱한 횟수)는 (곱하는 수)의 오른쪽 위에 작게 써요.

거듭제곱: 같은 수나 문자를 거듭하여 곱한 것
같은 수를 여러 번 더하기 → (더하는 수) × (더한 횟수)
같은 수를 여러 번 곱하기 → (곱하는 수)^{(곱한 횟수)}

만약에 3을 5번 곱하면 3 × 3 × 3 × 3 × 3이죠. 이걸 거듭제곱으로 써보면 3이 곱하는 수고, 5가 곱한 횟수니까 3⁵으로 쓸 수 있는 거예요.

숫자를 여러 번 곱한 것뿐 아니라 문자를 여러 번 곱한 것도 표시할 수 있어요. a라는 문자를 10번 곱해볼까요? 여기서 곱하는 문자는 a이고, 곱한 횟수는 10이니까 a¹⁰이라고 쓸 수 있어요.

거듭제곱으로 표시했을 때 아래에 있는 (곱한 숫자)를 밑이라고 부르고, 오른쪽 위에 있는 (곱한 횟수)를 지수라고 불러요.

(곱하는 수)^{(곱한 횟수)} → 밑^지수

위 그림에서는 밑이 2고 지수가 4죠.

3⁵에서는 밑이 3이고, 지수가 5예요.

2⁴은 2의 4제곱이라고 읽어요. 3¹⁰은 3의 10제곱이라고 읽고요. 그리고 5², 6²처럼 2제곱은 5의 2제곱, 6의 2제곱이 아니라 2를 빼고 그냥 5의 제곱, 6의 제곱이라고 읽어요.

다음을 거듭제곱으로 나타내어라.
(1) 5 × 5 × 5 × 5
(2) 10 × 10 × 10 × 10 × 10

(1)번은 5를 4번 곱했으니까 5⁴이고, (2)번은 10을 5번 곱했으니까 10⁵이에요.

분수와 소수의 거듭제곱

분수와 소수의 거듭제곱에서는 괄호를 사용해요.

예를 들어서 로 쓰면 마치 분자인 2만 3번 곱하고 분모 5는 곱하지 않은 거라고 오해할 수 있어요. 그래서 괄호로 묶어서 으로 써야 합니다.

소수도 마찬가지예요. 0.1 × 0.1 × 0.1 = 0.1³으로 쓸 수 있어요. 소수에서는 괄호를 쓰지 않아도 틀린 건 아니에요. 하지만 괄호를 쳐주면 식이 조금 더 명확해지죠. 0.1³으로 쓰지 말고, (0.1)³으로 쓰도록 버릇을 들이세요.

여러 수의 거듭제곱

하나의 수만 여러 번 곱한 게 아니라 여러 수가 여러 번 곱해져 있는 경우를 볼까요? 여러 수가 섞여 있을 때는 같은 수끼리만 거듭제곱으로 표시해요. 서로 다른 숫자끼리는 거듭제곱으로 표현할 수 없어요. 거듭제곱은 같은 수나 문자를 거듭 곱한 것을 말하니까 당연한 얘기죠.

3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5에서 3이 곱해진 부분과 5가 곱해진 부분을 나눠보죠. 그러면 3을 4번 곱한 부분과 5를 2번 곱한 부분으로 나눌 수 있죠? 각각을 거듭제곱으로 표현해서 3⁴ × 5²으로 쓸 수 있어요.

주의해야 해요. 3과 5가 곱해져 있다고 3⁵ 이렇게 쓰면 안 돼요.

a × a × a × b × b = a³ × b²으로 쓸 수 있지요.

다음을 거듭제곱으로 나타내어라.
(1) 4 × 4 × 4 × 4 × 10 × 10 × 10
(2)

(1)번은 4가 4번, 10이 3번 곱해져 있으니까 4⁴ × 10³

(2)번은 가 3번, 0.5가 2번 곱해져 있으니까 

이 글에서 공부할 내용은 구의 부피와 구의 겉넓이입니다.

구의 부피와 구의 겉넓이

구는 축구공, 배구공처럼 둥근 공 모양을 구하고 하지요? 구는 밑면, 옆면 구분이 없어요. 그래서 전개도로 펼쳐서 구하지 않아요.

구의 부피부터 구해보죠.

원뿔의 부피는 원기둥의 부피의  이었어요. 구는 원기둥 부피의  입니다.

원기둥의 부피의 인데, 이때의 원기둥의 높이는 얼마일까요? 구의 반지름이 r이라고 하면 원기둥의 높이는 2r, 즉 구의 지름의 길이와 같아요.

원기둥의 부피 공식에서 높이에는 2r을 넣어주고, 를 곱해주면 구의 부피를 구할 수 있어요.

πr²h                    →     πr² × 2r
                                = πr³

구의 겉넓이는 구의 부피와 각뿔의 부피를 이용해서 구하는데, 그 과정이 조금 어려워요. 공식 구하는 과정은 고등학교 올라가면 자연스럽게 알게 될 거니가 여기서는 그냥 결과만 얘기할게요.

구의 겉넓이는 4πr²입니다.

구의 반지름이 r일 때
구의 부피 = πr³
구의 겉넓이 = 4πr²

잘 보세요. 구의 부피는 마지막이 r의 세제곱이고, 구의 겉넓이는 r의 제곱이에요. 착각하지 마세요.

반지름이 6cm인 반구가 있다. 이 반구의 겉넓이와 부피를 구하여라.

반구는 구가 반으로 잘린 걸 말해요.

먼저 부피를 구해보죠. 반구는 원래 구의 반이니까 부피도 절반이겠죠?

반구의 부피 = 구의 부피 ÷ 2
= πr³ ÷ 2
= π6³ ÷ 2
= 144π(cm³)

반구의 겉넓이는 구의 겉넓이의 절반이에요. 그런데 반구에서 잘린 면이 있지요? 이 면의 넓이를 더해줘야 해요. 이 잘린 면은 원이네요.

반구의 겉넓이는 = 구의 겉넓이 ÷ 2 + 잘린 면의 넓이
= 4πr² ÷ 2 + πr²
= 4π6² ÷ 2 + π6²
= 72π + 36π
= 108π(cm²)

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이제 중1 수학도 막바지에 다랐어요. 얼마 남지 않았으니까 조금 더 힘내세요.

이번 글에서는 각뿔과 원뿔의 겉넓이와 부피에 대해서 알아볼 거예요.

각뿔과 원뿔의 겉넓이는 각기둥과 원기둥의 겉넓이, 부피, 부채꼴의 넓이 구하는 공식 등에 대해서 알고 있어야 이해할 수 있어요.

혹시 잘 기억이 안 난다면 원기둥의 부피와 겉넓이, 각기둥의 부피와 겉넓이와 부채꼴 넓이를 얼른 보고 오세요.

각뿔의 겉넓이와 부피

각기둥의 겉넓이를 구할 때 전개도로 펼쳐서 구했어요. 그리고 (밑면의 넓이) + (옆면의 넓이)로 구했고요. 각뿔도 마찬가지예요.

각뿔이 각기둥과 다른 점은 밑면이 한 개뿐이고, 옆면은 모두 삼각형이라는 거예요.

밑면은 각뿔의 형태에 따라 다르지만 다각형의 넓이 구하는 방법으로 구할 수 있잖아요.

각기둥에서는 옆면이 직사각형이라서 하나의 큰 직사각형으로 구할 수 있었는데, 각뿔에서는 옆면이 삼각형인 데다 삼각형의 넓이도 제각각이어서 하나씩 구해서 다 더해줘야 하는 불편함이 있어요. 하지만 실제 문제에서는 옆면이 이등변삼각형으로 합동인 경우가 많으니까 하나 구해서 × 4하면 돼요.

주의해야 할 게 있는데, 각뿔의 높이와 옆면인 삼각형의 높이를 잘 구별하세요.

각뿔의 부피는 밑면이 합동이고 높이가 같은 각기둥의 부피의 이니까 각기둥의 부피에 을 곱해서 구해요.

각뿔의 높이가 h일 때
각뿔의 겉넓이 = (밑넓이) + (옆넓이)
각뿔의 부피 =   × (밑넓이) × (높이) = Sh

원뿔의 겉넓이와 원뿔의 부피

원뿔을 전개도로 펼쳐보면 아래 그림처럼 부채꼴인 옆면 한 개와 원인 밑면 한 개로 되어 있어요.

원뿔의 넓이도 (밑넓이) + (옆넓이)니까 (원의 넓이) + (부채꼴의 넓이)하면 되겠지요.

밑면은 반지름이 r인 원이니까 넓이는 πr²이에요.

옆넓이인 부채꼴 넓이는 중심각의 크기를 알 때와 부채꼴 호의 길이를 알 때 두 가지 방법으로 구할 수 있는데, 여기서는 부채꼴 호의 길이를 이용한 공식으로 부채꼴의 넓이를 구합니다.

부채꼴의 넓이 = rl

여기서 r은 부채꼴의 반지름, l은 부채꼴 호의 길이를 말해요. 위 전개도에 나온 r, l과 서로 다른 r, l이죠. 이 부분을 주의하세요.

부채꼴의 반지름은 모선의 길이 l이에요. 부채꼴 호의 길이는 밑면인 원의 둘레와 같아요. 밑면의 반지름이 r이라면 부채꼴 호의 길이는 2πr이죠. 공식에 대입해서 옆면인 부채꼴의 넓이를 구하면 × l × 2πr = πrl이 나와요.

각뿔의 부피가 각기둥의 부피의 이라고 했지요? 원뿔의 부피도 밑면의 반지름과 높이가 같은 원기둥의 부피의 이에요.

원기둥의 부피는 πr²h였으니까 여기에 을 곱해서 구할 수 있어요.

밑면의 반지름이 r, 높이가 h, 모선의 길이가 l일 때
원뿔의 겉넓이 = (밑넓이) + (옆넓이) = πr² + πrl
원뿔의 부피 =  × (밑넓이) × (높이) = πr²h

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사각형의 넓이는 (가로) × (세로)예요. 삼각형의 넓이는 ½ × (가로) × (세로)고요.

그렇다면 직육면체의 넓이는 얼마일까요? 이 글에서는 직육면체 같은 각기둥과 원기둥의 겉넓이를 구하는 방법과 부피 구하는 방법을 공부할 거예요.

원기둥의 부피와 겉넓이는 따로 구하는 게 아니라 각기둥의 부피와 겉넓이 구하는 방법과 똑같아요. 다만 밑면이 원이라서 밑면의 넓이와 밑면의 둘레 길이 구하는 방법에 차이가 있을 뿐이에요. 각기둥의 부피와 겉넓이 구하는 방법에 원의 넓이 공식만 대입하는 거니까 서로 다른 거로 생각하지 마세요.

각기둥의 겉넓이와 부피

기둥의 겉넓이는 입체도형을 펼쳤을 때 얻어지는 기둥의 전개도의 전체 넓이를 말해요. 기둥의 전개도는 밑면 두 개와 옆면들로 되어 있어요. 각각의 넓이를 구해서 서로 더하면 되겠죠.

(기둥의 겉넓이) = (밑면의 넓이) × 2 + (옆면의 넓이의 합)

각기둥은 밑면이 두 개니까 밑면 한 개의 넓이를 구해서 두 배하면 되고요.

옆면의 넓이를 구할 때 옆면의 넓이를 하나씩 구해서 다 더하기보다는 옆면 전체를 하나의 직사각형으로 보고, 한 번에 구하는 게 더 쉬워요. 큰 직사각형의 가로의 길이는 밑면의 둘레의 길이와 같으니까 여기에 높이만 곱해주면 돼요.

직육면체의 부피는 (밑넓이) × (높이)라는 걸 초등학교 때 공부했어요. 직육면체는 대표적인 각기둥이죠? 직육면체뿐 아니라 모든 각기둥의 부피는 (밑넓이) × (높이)에요.

각기둥의 부피와 겉넓이 공식을 정리해보죠.

각기둥의 겉넓이와 부피
각기둥의 겉넓이 = 2 × (밑넓이) + (옆넓이)
각기둥의 부피 = (밑넓이) × (높이) = Sh

원기둥의 겉넓이와 원기둥의 부피

원기둥도 기둥의 한 종류에요. 그래서 겉넓이나 부피를 구하는 방법은 각기둥과 같아요.

원기둥의 겉넓이도 밑면의 넓이와 옆면의 넓이를 더해서 구해요.

밑면이 원이니까 원의 넓이 구하는 공식을 이용해야겠지요? 원의 넓이 공식은 원주율, 원의 둘레, 원의 넓이, 부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이에서 해봤어요. 원의 넓이는 πr²이에요.

옆면은 직사각형 하나니까 (가로) × (세로)고요. 위 각기둥의 겉넓이에서 옆면은 (밑면의 둘레 길이) × (높이)로 구했잖아요. 여기서도 같은 방법으로 구하는데, 밑면의 둘레의 길이가 원의 둘레의 길이와 같아요. 반지름이 r인 원의 둘레는 2πr이에요.

원기둥의 부피도 (밑넓이) × (높이)로 구해요. 밑넓이는 πr²이니까 여기에 높이를 곱해주면 되겠네요.

원기둥 밑면의 반지름이 r, 높이가 h일 때
원기둥의 겉넓이 = 2 × (밑넓이) + (옆넓이) = 2πr² + 2πrh
원기둥의 부피 = (밑넓이) × (높이) = πr²h

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입체도형에서 다면체를 공부했어요. 입체도형은 크게 두 가지로 나눌 수 있는데, 하나는 다면체고, 다른 하나는 이 글에서 다룰 회전체에요.

회전체와 다면체를 정확하게 구별할 줄 알아야 해요. 다면체는 밑면을 포함하여 모든 면이 다각형이고 회전체는 밑면이 곡선을 포함하고 있으니까 이거 하나면 알아도 회전체와 다면체를 구별할 수 있을 거예요.

회전체는 한 직선을 축으로 하여 평면도형을 1회전 시킬 때 생기는 입체도형을 말해요.

회전체에서 축이 되는 한 직선을 회전축이라고 하고, 회전체에서 회전하여 옆면을 이루는 선분을 모선이라고 합니다.

회전체는 우리가 잘 아는 원기둥, 원뿔, 구가 있어요. 그리고 원뿔대라는 것도 있고요.

원기둥은 직사각형을, 원뿔은 직각삼각형을 구는 반원을 회전해서 생기는 입체도형이에요.

각뿔대는 각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라서 생기는 도형 중에 아랫부분을 말하죠? 원뿔대는 원뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라서 생기는 두 입체도형 중에서 원뿔이 아닌 걸 말해요.

회전체의 성질

회전체에는 중요한 성질이 있어요.

첫 번째는 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자르면 단면은 항상 원이에요. 회전축에 수직인 평면이니까 가로로 자르는 거겠죠?

두 번째는 회전체를 회전축을 포함하는 단면으로 잘라도 그 단면은 모두 합동이고 회전축에 대해서 선대칭도형이에요.

이렇게 회전축을 포함하는 평면으로 세로로 자르면 회전체에 따라 그 단면이 달라요. 원기둥을 자르면 직사각형이 돼요. 원기둥은 어디를 잘라도 직사각형이 되는데 이 직사각형들이 모두 합동이라는 거죠. 원뿔은 단면이 이등변삼각형, 원뿔대는 사다리꼴이고요. 구는 원이에요.

그리고 선대칭이라는 말 알죠? 어떤 직선을 중심으로 해서 접으면 양쪽이 완전히 겹치는 걸 선대칭이라고 해요. 회전축을 포함하는 평면으로 세로로 자르면 원기둥의 단면은 직사각형이 된다고 했어요. 이 직사각형이 바로 선대칭도형이에요.

위에는 평면도형이 회전축에 딱 붙어서 생기는 회전체에요. 그런데 회전축과 평면도형이 떨어져 있는 상태에서 회전하면 어떤 도형이 생길까요? 두루마리 화장지처럼 가운데가 뻥 뚫린 회전체가 생길 거예요.

이런 회전체에서는 앞에서 설명한 회전체의 성질이 성립하지 않으니까 주의하세요.

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정삼각형이 뭔지 알죠? 정사각형, 정오각형도요.

정삼각형, 정사각형, 정오각형 등을 정다각형이라고 해요. 선분의 길이가 모두 같고, 내각의 크기가 모두 같은 다각형이죠.

다면체에도 이런 다각형처럼 정다면체라는 게 있어요. 이번 글에서는 정다면체는 무엇인지 어떤 특징이 있는지 알아볼 거예요.

그림 그리는 게 너무 어려워서 그림은 없어요. 가지고 있는 교과서나 참고서의 그림을 참고하세요.

정다면체

정다면체는 모든 면이 서로 합동인 정다각형이고 각 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 같은 다면체를 말해요.

정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 5가지밖에 없어요. 정오면체나 정구면체같은 건 없다는 거지요.

정다면체가 되려면 두 가지 조건을 만족해야 해요.

첫 번째는 한 꼭짓점에서 3개 이상의 면이 만나야 해요. 한 꼭짓점에서 면이 하나만 있거나 두 개만 만나면 둘러싸이지 않은 부분이 생기지요?

두 번째는 한 꼭짓점에서 모인 각의 크기는 360°보다 작아야 해요. 한 꼭짓점에서 모인 각의 크기가 360°라면 그것은 그냥 평면이 돼버리잖아요. 그리고 한 평면에서 360°보다 큰 각은 나오지 않겠죠?

위 두 가지 조건을 만족하는 정다면체는 뭐가 있을까요?

모든 면이 합동인 정다각형이라고 했으니까 정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형 등이 면이 될 수 있어요.

그리고 한 꼭짓점에서 3개 이상의 면이 만나면서 그 각의 합이 360°보다 작은 경우를 찾아보죠.

다각형 내각의 크기의 합과 외각 크기의 합에서 봤던 것처럼 정삼각형의 한 내각은 60°, 정사각형의 내각은 90°, 정오각형은 108°, 정육각형은 120°에요.

위 표에서 보면 한 꼭짓점에 모인 각의 크기의 합이 360°를 넘지 않는 경우는 정삼각형이 3, 4, 5개 모였을 때, 정사각형이 3개 모였을 때, 정오각형이 3개 모였을 때 총 다섯 가지 경우뿐이에요.

그래서 정다면체는 총 다섯 개밖에 없는 거예요.

한 꼭짓점에 정삼각형 3개가 모이면 정사면체
                   "            4         "     정팔면체
                   "            5         "     정이십면체
         "      정사각형   3         "     정육면체
         "      정오각형   3         "     정십이면체

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이제는 평면도형이 아니라 입체도형이에요.

지금까지는 점, 선, 면, 다각형, 원, 부채꼴 등에 대해서 알아봤잖아요.

이제는 각기둥, 원기둥, 각뿔, 원뿔처럼 입체도형을 배울 거예요.

입체도형 중에서 첫 번째는 다면체에요. 초등학교에서 배웠던 각기둥, 각뿔이 바로 대표적인 다면체죠.

다면체는 다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형을 말해요. 다각형으로 둘러싸여 있어야 하니까 삼각기둥, 사각기둥, 삼각뿔, 사각뿔 등이 있지요.

원기둥과 원뿔도 다면체일까요? 원기둥과 원뿔의 밑면은 원이잖아요. 다각형이 아니죠? 그래서 원뿔과 원기둥은 다면체가 아니에요.

주의하세요. 다면체는 단순히 면이 여러 개 있는 도형이 아니라 다각형인 면이 여러 개 있는 도형이에요.

다면체에 사용하는 용어들은 꼭짓점, 모서리, 면이 있어요. 이거 다 해봤던 거죠? 그래도 한 번 정리해보고 넘어가죠.

면은 다면체를 이루고 있는 다각형이에요. 모서리는 면과 면이 만나는 곳으로 다각형의 변이고요. 꼭짓점은 모서리와 모서리가 만나는 곳이죠.

다면체의 분류

다면체는 두 가지 방법으로 분류해요.

첫 번째는 다면체의 면의 개수에 따라서 나누는 방법이 있어요. 다면체의 면이 4개이면 사면체, 5개면 오면체, 6개면 육면체, … 처럼이요. 다각형에서 각의 개수에 따라 삼각형, 사각형, 오각형으로 나누는 것과 마찬가지예요.

두 번째는 모양에 따라 나눠요. 우리가 알고 있는 각기둥, 각뿔 등으로 나누는 방법이죠.

각뿔대

각기둥과 각뿔 말고 각뿔대라는 게 있어요.

각뿔을 가로로 잘랐다고 생각해보세요. 그러니까 각뿔의 밑면과 평행한 평면으로 자르면 두 부분으로 나뉘겠죠? 윗부분은 그대로 각뿔이 될 거예요. 아랫부분은 각뿔도 아니고 각기둥도 아닌 게 되겠죠? 이 아랫부분을 각뿔대라고 불러요.

각뿔대에서도 각기둥과 마찬가지로 밑면, 옆면, 높이라는 용어를 사용해요. 각기둥과 각뿔대에서 사용하는 용어의 설명과 특징을 표로 정리해봤어요.

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두 원의 위치관계, 내접, 외접에서 내접과 외접이라는 용어와 그 뜻을 알아봤어요. 원과 직선의 위치관계, 원의 할선과 접선, 접점에서는 접선이라는 걸 알아봤고요.

두 원이 있을 때 두 원에 모두 접하는 선이 있을 수 있겠지요? 이 글에서는 이처럼 두 개의 원에 공통으로 접하는 접선과 그 종류에 대해서 알아볼 거예요.

그리고 두 원에 공통으로 접하는 접선이 두 원의 위치관계에 따라 어떻게 바뀌는 지와 그러한 접선이 몇 개나 생기는지도 알아볼 거고요.

공통접선

접선은 접선인데 두 원에 공통으로 접하는 접선을 공통접선이라고 해요.

접선은 접점에서 원의 반지름에 수직이라고 했어요. 따라서 공통접선은 두 원 모두에 수직이죠.

두 원이 공통접선을 기준으로 같은 쪽에 있을 때의 접선은 공통외접선, 두 원이 접선을 기준으로 반대방향에 있으면 공통내접선이라고 해요. 두 원 사이를 지나는 접선이 공통내접선이고 그게 아닌 게 공통외접선이죠.

아래 그림은 두 원의 위치관계에 맞게 공통접선을 그린 그림이에요. 파란색은 공통외접선, 빨간색은 공통내접선이에요.

첫 번째 그림에서 파란색의 공통접선 l을 기준으로 두 원이 모두 오른쪽에 있지요? 또 두 번째 그림에서 두 원이 모두 공통접선 m보다 아래쪽에 있어요. 이처럼 두 원의 공통접선을 기준으로 같은 방향에 있으니까 이 공통접선은 공통외접선이에요.

왼쪽 아래의 세 번째 그림에 보면 빨간색 n이라는 공통접선이 있죠? 이 공통접선 n을 기준으로 작은 원은 공통접선의 왼쪽에 큰 원은 공통접선의 오른쪽에 있어요. 둘이 반대방향에 있죠? 그래서 이 공통접선은 공통내접선이 되는 거예요. 아니면 큰 원과 작은 원 사이를 지나니까 공통내접선이라고 생각해도 돼요.

공통접선, 공통내접선, 공통외접선의 개수는 두 원의 위치관계에 따라 달라져요. 작은 원이 큰 원의 안에 있다가 점점 바깥으로 움직인다고 생각하고 그 순서대로 구해보죠.

두 원의 위치관계에는 총 6가지가 있었어요. 그중에 만나지 않는 경우인 내부에 있을 때와 동심원일 때는 공통접선이 없어요. 그래서 위 그림과 표에는 4가지만 있는 겁니다.

두 원의 위치관계와 마찬가지로 그 개수를 외우려고 하지는 마세요. 그냥 그림을 보고 (혹은 그림을 상상하고) 공통접선을 그리고, 공통내접선인지 공통외접선인지 구별할 줄 알면 돼요.

반지름의 길이가 5cm, 8cm인 두 원이 있다. 중심거리 d가 아래와 같을 때 공통접선은 몇 개인지 구하여라.
(1) d = 1cm
(2) d = 11cm
(3) d = 21cm
(4) d = 13cm

공통접선이 몇 개인지 구하려면 두 원의 위치관계부터 알아야겠죠? 두 원의 위치관계를 알아볼 때는 먼저 두 원의 반지름의 합과 차를 구하면 쉽다고 했어요. 두 원의 반지름의 합은 5cm + 8cm = 13cm, 반지름의 차는 8cm - 5cm = 3cm네요.

(1) 번은 d = 1cm로 반지름의 차보다 작아요. 중심거리가 반지름의 차보다 작으면 작은 원이 큰 원의 내부에 있는 경우이고, 이때는 공통접선이 없어요. 따라서 0개에요.

(2) 번은 d = 11cm로 반지름의 차와 합 사이에 있네요. 이때는 두 점에서 만나는 경우로 공통외접선만 2개가 있어요.

(3) 번은 d = 21cm로 반지름의 합보다 크니까 두 원은 외부에 있는 경우이죠. 이때는 공통내접선이 2개, 공통외접선이 2개 해서 총 4개의 공통접선이 있어요.

(4) 번은 d = 13cm로 반지름의 합과 같네요. 이때는 외접하는 경우로 공통내접선 1개, 공통외접선 2개, 총 3개의 공통접선을 가져요.

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