정삼각형이 뭔지 알죠? 정사각형, 정오각형도요.
정삼각형, 정사각형, 정오각형 등을 정다각형이라고 해요. 선분의 길이가 모두 같고, 내각의 크기가 모두 같은 다각형이죠.
다면체에도 이런 다각형처럼 정다면체라는 게 있어요. 이번 글에서는 정다면체는 무엇인지 어떤 특징이 있는지 알아볼 거예요.
그림 그리는 게 너무 어려워서 그림은 없어요. 가지고 있는 교과서나 참고서의 그림을 참고하세요.
정다면체
정다면체는 모든 면이 서로 합동인 정다각형이고 각 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 같은 다면체를 말해요.
정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 5가지밖에 없어요. 정오면체나 정구면체같은 건 없다는 거지요.
정다면체가 되려면 두 가지 조건을 만족해야 해요.
첫 번째는 한 꼭짓점에서 3개 이상의 면이 만나야 해요. 한 꼭짓점에서 면이 하나만 있거나 두 개만 만나면 둘러싸이지 않은 부분이 생기지요?
두 번째는 한 꼭짓점에서 모인 각의 크기는 360°보다 작아야 해요. 한 꼭짓점에서 모인 각의 크기가 360°라면 그것은 그냥 평면이 돼버리잖아요. 그리고 한 평면에서 360°보다 큰 각은 나오지 않겠죠?
위 두 가지 조건을 만족하는 정다면체는 뭐가 있을까요?
모든 면이 합동인 정다각형이라고 했으니까 정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형 등이 면이 될 수 있어요.
그리고 한 꼭짓점에서 3개 이상의 면이 만나면서 그 각의 합이 360°보다 작은 경우를 찾아보죠.
다각형 내각의 크기의 합과 외각 크기의 합에서 봤던 것처럼 정삼각형의 한 내각은 60°, 정사각형의 내각은 90°, 정오각형은 108°, 정육각형은 120°에요.
| 정삼각형 | 정사각형 | 정오각형 | 정육각형 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 한 내각의 크기 | 60° | 90° | 108° | 120° | |
|
한 꼭짓점에서 만나는 면의 개수에 따른 각의 합 (°) |
3개 | 180° | 270° | 324° | 360° |
| 4개 | 240° | 360° | 432° | 480° | |
| 5개 | 300° | 450° | 540° | 600° | |
| 6개 | 360° | 540° | 648° | 720° | |
위 표에서 보면 한 꼭짓점에 모인 각의 크기의 합이 360°를 넘지 않는 경우는 정삼각형이 3, 4, 5개 모였을 때, 정사각형이 3개 모였을 때, 정오각형이 3개 모였을 때 총 다섯 가지 경우뿐이에요.
그래서 정다면체는 총 다섯 개밖에 없는 거예요.
한 꼭짓점에 정삼각형 3개가 모이면 정사면체
" 4 " 정팔면체
" 5 " 정이십면체
" 정사각형 3 " 정육면체
" 정오각형 3 " 정십이면체
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