최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법을 이해했나요? 대부분의 경우에 최대공약수와 최소공배수는 소인수분해를 이용하는 방법으로 구해요. 이 방법은 초등학교 때 많이 해봤던 방법이니까 자신 있죠? 그리고 새로 배운 지수를 이용하는 방법은 숫자가 거듭제곱 꼴로 나왔을 때만 사용하세요.
이번에는 최대공약수와 최소공배수를 다른 방법으로 구하는 걸 공부할 거예요. 물론 문제에 따라서는 최대공약수와 최소공배수가 아니라 자연수를 구하는 경우도 있을 수 있어요.
공식은 하나고요, 문제를 어떻게 내느냐에 따라 구하는 게 달라지는 거예요. 아주 짧은 공식이니까 걱정하지 마세요.
최대공약수와 최소공배수의 관계
최대공약수는 영어로 하면 Greatest Common Measure인데, 첫 글자를 따서 알파벳 G로, 최소공배수는 Least Common Multiple의 첫 글자를 따서 L로 표시해요.
두 자연수 A, B의 최대공약수를 G, 최소공배수를 L이라고 하면 아래처럼 표시할 수 있죠? 여기서 a, b는 서로소이고요.
최대공약수 = G
최소공배수 L = G × a × b
A × B = L × G
A를 G로 나눈 몫이 a니까 A = G × a로 쓸 수 있어요. 마찬가지로 B = G × b가 되겠죠. 최대공약수는 G고, 최소공배수는 L = G × a × b에요.
2 × 3과 3 × 2은 6으로 서로 같지요? 곱하기에서는 부호 바로 양쪽에 있는 숫자나 문자끼리 서로 자리를 바꿔도 결과가 같아요. 더 자세한 건 나중에 따로 공부할 거예요. 일단 곱하기에서는 자리를 바꿔도 값이 같다는 것만 알아두세요. B = G × b와 인데 B = b × G라고 써도 되는 거죠.
A × B = G × a × b × G로 쓸 수 있겠죠?
A × B = L × G (앞에 있는 G × a × b = L이므로)
두 수를 곱했더니 최대공약수와 최소공배수를 곱한 것과 같아졌어요. 그러니까 최대공약수 구하는 방법과 최소공배수 구하는 방법에서 공부했던 두 가지 방법 말고도 최대공약수와 최소공배수를 구할 수 있어요. 또 최대공약수와 최소공배수, 한 자연수를 알 때 다른 자연수도 구할 수 있고요.
다음 물음에 답하여라.
(1) 두 자연수 A, 30의 최대공약수가 6, 최소공배수가 120일 때, A를 구하여라.
(2) 두 자연수의 곱이 256, 최소공배수가 32일 때, 두 자연수의 최대공약수를 구하여라.
먼저 (두 자연수의 곱) = (최대공약수) × (최소공배수)인 것만 기억해두세요.
(1) 두 자연수가 A, 30이면 둘의 곱은 A × 30이고, 최대공약수 × 최소공배수 = 6 × 120 = 720이에요. A × 30 = 720, 어떤 자연수 A와 30을 곱했더니 720이 되려면 어떤 자연수 A는 24가 되어야겠네요.
(2) 최대공약수를 구하라고 했으니까 □라고 해보죠. 두 자연수의 곱이 이미 나와 있네요. 256 = □ × 32에요. □에 32를 곱해서 256이 되어야 하니까 □ = 8이에요. 즉 최대공약수는 8이에요.
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