최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법을 이해했나요? 대부분의 경우에 최대공약수와 최소공배수는 소인수분해를 이용하는 방법으로 구해요. 이 방법은 초등학교 때 많이 해봤던 방법이니까 자신 있죠? 그리고 새로 배운 지수를 이용하는 방법은 숫자가 거듭제곱 꼴로 나왔을 때만 사용하세요.
이번에는 최대공약수와 최소공배수를 다른 방법으로 구하는 걸 공부할 거예요. 물론 문제에 따라서는 최대공약수와 최소공배수가 아니라 자연수를 구하는 경우도 있을 수 있어요.
공식은 하나고요, 문제를 어떻게 내느냐에 따라 구하는 게 달라지는 거예요. 아주 짧은 공식이니까 걱정하지 마세요.
최대공약수와 최소공배수의 관계
최대공약수는 영어로 하면 Greatest Common Measure인데, 첫 글자를 따서 알파벳 G로, 최소공배수는 Least Common Multiple의 첫 글자를 따서 L로 표시해요.
두 자연수 A, B의 최대공약수를 G, 최소공배수를 L이라고 하면 아래처럼 표시할 수 있죠? 여기서 a, b는 서로소이고요.
최대공약수 = G
최소공배수 L = G × a × b
A × B = L × G
A를 G로 나눈 몫이 a니까 A = G × a로 쓸 수 있어요. 마찬가지로 B = G × b가 되겠죠. 최대공약수는 G고, 최소공배수는 L = G × a × b에요.
2 × 3과 3 × 2은 6으로 서로 같지요? 곱하기에서는 부호 바로 양쪽에 있는 숫자나 문자끼리 서로 자리를 바꿔도 결과가 같아요. 더 자세한 건 나중에 따로 공부할 거예요. 일단 곱하기에서는 자리를 바꿔도 값이 같다는 것만 알아두세요. B = G × b와 인데 B = b × G라고 써도 되는 거죠.
A × B = G × a × b × G로 쓸 수 있겠죠?
A × B = L × G (앞에 있는 G × a × b = L이므로)
두 수를 곱했더니 최대공약수와 최소공배수를 곱한 것과 같아졌어요. 그러니까 최대공약수 구하는 방법과 최소공배수 구하는 방법에서 공부했던 두 가지 방법 말고도 최대공약수와 최소공배수를 구할 수 있어요. 또 최대공약수와 최소공배수, 한 자연수를 알 때 다른 자연수도 구할 수 있고요.
다음 물음에 답하여라.
(1) 두 자연수 A, 30의 최대공약수가 6, 최소공배수가 120일 때, A를 구하여라.
(2) 두 자연수의 곱이 256, 최소공배수가 32일 때, 두 자연수의 최대공약수를 구하여라.
먼저 (두 자연수의 곱) = (최대공약수) × (최소공배수)인 것만 기억해두세요.
(1) 두 자연수가 A, 30이면 둘의 곱은 A × 30이고, 최대공약수 × 최소공배수 = 6 × 120 = 720이에요. A × 30 = 720, 어떤 자연수 A와 30을 곱했더니 720이 되려면 어떤 자연수 A는 24가 되어야겠네요.
(2) 최대공약수를 구하라고 했으니까 □라고 해보죠. 두 자연수의 곱이 이미 나와 있네요. 256 = □ × 32에요. □에 32를 곱해서 256이 되어야 하니까 □ = 8이에요. 즉 최대공약수는 8이에요.
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저기 이런 문제면 어떻게 하는건가요?
문제 :곱이 480이고,최대공약수가 4인 두 자연수의 최소공배수를 구하여라
480나누기4 한뒤에 그 값을 최소공배수를 하면 되나요?
네. 그렇게 하면 돼요.
정보가 많아서 좋네요
엄청 많아요. ㅎㅎ
선생님 질문있어요...세 자연수 12,30,x 가 있을때 L=6 , G=420 일때 x 값을 구하는 문제의 풀이를 보면 우선 두자연수 12, 30 의 G= 60 이고 420/60=7 이므로 x가 6의 배수 및 7의 배수라고 하는데요 (420/60=7)은 무얼 설명하는 건지 궁금합니다.^^
숫자가 3개라서 조금 복잡하니까 잘 보세요.
일단 세 수를 A, B, C, 서로소를 a, b, c, 최대공약수를 G, 최소공배수를 L이라고 해보죠.
A = aG
B = bG
C = cG
L = a* b * c * G
L = a * b * G * c
c * G = G * c이므로 자리만 바꿨어요.
L = a * b * G * c에서 a * b * G는 A, B 두 수의 최소공배수죠? 그러니까 A, B, C 세 수의 최소공배수는 A, B의 최소공배수에 C의 서로소인 c를 곱하면 구할 수 있어요. 이게 이 질문의 답변이죠.
(세 수의 최소공배수) = (두 수의 최소공배수) * (다른 수의 서로소)
이 과정을 이제 거꾸로 하는 거예요.
세 수가 12, 30, x이고 최대공약수가 420, 최소공배수가 6이므로 세 수를 아래처럼 나타낼 수 있죠?
12 = 6 * 2
30 = 6 * 5
x = 6 * y
세 수의 최소공배수는 420, 12와 30의 최소공배수는 60, x의 서로소는 y입니다.
(세 수의 최소공배수) = (두 수의 최소공배수) * (다른 수의 서로소)
420 = 60 * y
y = 420 / 60
y = 7
x = 6 * y이므로 x는 6의 배수이면서 y의 배수니까 7의 배수인거죠.
위 방법은 두 수를 따로 떼서 생각하는 건데, 그렇지 않고 세 수를 그냥 한 번에 이용하면 아래처럼 풀 수도 있어요.
L = a * b * c * G이므로
420 = 2 * 5 * y * 6
420 = 60 * y
y = 420/60
y = 7
y = 7이므로 x = 42.
와.~~.선생님 정말정말 감사합니다. 이제 이해가 됬어요..짱짱!!
그리고 위에 첫줄에 제가 L과 G를 바꿔서 써버렸는데 이해해주셔서
감사합니다.ㅜㅜ.
네 이거 5학년때 배운거 까먹고 있었는데 감사해요^^
원래 다 그렇죠. 뭐
HCF= 3,
LCM= 18
이런 경우 원래 숫자를 구할수는 업는거죠 문제 예시에 Eg If HCF=2, LCM= 12 Answer = 4 & 6 이렇게 나와 있어서용..
본문에 나온 내용대로 해보면,
2 x 12 = A X B
곱해서 24가 되는 두 수를 먼저 찾아보죠.
1, 24
2, 12
3, 8
4, 6
이 중 두 수의 최대공약수가 2이고, 최소공배수가 12인 걸 찾으면 되겠네요.
1, 24에서 최대공약수는 1, 최소공배수는 24니까 답이 아니네요.
2. 12에서 최대공약수는 2, 최소공배수는 12이므로 답이고요.
3, 8에서 최대공약수는 1, 최소공배수는 24로 답이 아니고요.
남은 4, 6의 최대공약수는 2, 최소공배수는 24로 답이네요.
답이 2개인데요. 2 & 12, 4 & 6
HCF = 3, LCM = 18도 해보죠.
3 x 18 = A x B
1, 54
2, 27
3, 18
6, 9
1, 54에서 최대공약수는 1, 최소공배수는 54로 답이 아니네요.
2, 27에서 최대공약수는 1, 최소공배수는 54로 답이 아니고요.
3, 18의 최대공약수는 3, 최소공배수는 18이므로 답이 될 수 있어요.
6, 9의 최대공약수는 3, 최소공배수는 18로 이것도 답이 될 수 있겠네요.
답이 2개 네요. 3 & 18, 6 & 9
비밀댓글입니다
divisor, factor, measure같은 여러 용어가 쓰이죠. 틀린 게 아니니 수정하지는 않겠습니다.
설명 감사합니다. 간결하고 좋습니다.
간결하게 칭찬해주시는 아주 좋은 댓글이네요. ㅎㅎ
초등학생과정은 없나요?
초등학생 과정은 없어요. 초등학생은 글만으로 이해시키기 어렵더라고요.
수학방은 혼자서 만들어져요?
네 혼자서 운영하고 있어요.
음.. 수학의 정석에서는 수(상)에서 GCD 를 Greatest Common Divisor이라 설명했는데..
어느게 맞는 건가요?
둘 다 맞아요.
최대공약수는
Greatest Common Divisor
아닌가여?
위에 있는 댓글로 답을 대신 하겠습니다.
최대공약수와 최소공배수가 주어졌을때 두 자연수를 모두 구하는 방법이 뭔가요?
최대공약수를 G, 최소공배수룰 L, 두 자연수 A = a x G, B = b x G라고 하면.
L = G x a x b
L, G를 알고 있으니까 a x b를 구할 수 있겠죠? 서로소 a, b를 구한 다음에 A = a x G, B = b x G를 이용해서 구하면 되겠네요.
감사합니닷! 못 푼 문제들 이제 모두 풀 수 있겠군요 ㅎㅎ
그나저나 수많은 개시물들의 수많은 댓글질문들을 답하기 힘드시겠네요.... 하지만 저희는 너무 힘이되고 도움이 되니 홧팅!!
맞아요. 글 쓰는 것 만큼이나 힘들어요.
그러니까 댓글 너무 많이 쓰지 마세요. ㅋㅋ
어떤 자연수의 제곱이 되는 수도 올려주세요~~
그리고 예비중 되는 사람인데 수학방이 큰 도움이 되고 있어요 항상 감사합니다
이렇게 보니 좀 재미
있는 것 같기도 하네요.ㅎㅎ
이렇게 보고 저렇게 봐도 재미있어요. ㅎㅎ
감사합니다
두 자연수의 곱=최대공약수×최소공배수 이 공식은 그냥 외워야하나요??
외우는 게 계산을 빨리 하는데 도움이 되죠.
두 자연수 A B 의 합이 110이고 최대공약수가 10일때 두 수의 최소공배수는 어떻게 구하나요?
추가 조건이 없다면 답이 하나가 아닌데요.
A,B에 대하여 최소공배수가135 최대공약수가9일때 B빼기A를 구하시오 이런건 어떻게 푸나요?
최대공약수 G = 9 = 3^2
최소공배수 L = G x a x b = 135 = 3^3 x 5
L = G x a x b 니까 L을 G로 나누면 a x b만 남겠죠?
a x b = L / G
a x b = 135 / 9
a x b = 15
a x b = 3 x 5
a = 3, b = 5
A = 3 x 9, B = 5 x 9
이제 빼면 되겠네요.
0과 1의 최대공약수가 왜 1인 가요?
0의 약수는 0이고, 1의 약수는 1인데 왜 그런가요?
두자연수의 최대공약수가 3이고 최소공배수가180일때,두수의 곱은 어떻게 구하나요 ㅜㅜ
본문에 설명되어 있어요.
노란 상자와 그 바로 아래 내용을 참고해주세요.