이번에는 최대공약수에 대해서 더 알아볼 거예요.
이제까지는 최대공약수를 구할 때 일단 약수를 모두 구해놓고 그중에서 가장 큰 걸 찾았잖아요. 약수를 모두 구해야 하는 아주 귀찮은 방법이죠. 약수를 다 찾지 못했거나 공약수를 잘 골라내지 못하면 틀리게 되는 방법이기도 하고요.
공약수와 최대공약수를 구할 때 아주 편리한 방법이 있어요. 이 방법을 이용하면 귀찮은 과정도 줄어들고, 공약수를 빼먹을 확률도 줄어들죠.
최대공약수의 성질과 최대공약수를 구하는 방법에 대해서 알아보죠.
최대공약수
최대공약수의 뜻과 성질
공약수는 두 개 이상의 자연수의 공통된 약수에요. 이 공약수 중에서 가장 큰 공약수를 바로 최대공약수라고 하지요.
최대공약수를 알면 공약수를 쉽게 구할 수 있어요. 최대공약수의 약수가 공약수거든요. 최대공약수를 먼저 구하고 그다음 최대공약수의 약수를 구하는 방법을 알아보죠.
예를 들어 12와 18의 최대공약수를 알아볼까요?
12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12
18의 약수: 1, 2, 3, 6, 9, 18
두 수의 공약수는 1, 2, 3, 6이고 이 중 가장 큰 공약수, 최대공약수가 6이에요. 그런데 이 6의 약수가 바로 1, 2, 3, 6이지요. 이 네 숫자는 12와 18의 공약수와 같아요. 어떤 두 수의 공약수는 두 수의 최대공약수의 약수와 같다는 걸 알 수 있어요.
이제까지는 약수를 구하고, 공약수를 찾은 다음 최대공약수를 찾았죠. 지금부터는 반대로 최대공약수를 먼저 찾고, 최대공약수의 약수를 구해서 공약수를 찾아요.
최대공약수에서 또 하나 알아야 할 건 서로소에요. 두 수의 공약수가 1밖에 없을 때 이 두 수를 서로소라고 합니다. 이때는 공약수가 1밖에 없으니까 최대공약수가 1이라고도 표현하지요.
최대공약수: 공약수 중 가장 큰 공약수
최대공약수의 약수 = 공약수
서로소: 공약수가 1뿐인 2개 이상의 자연수, 최대공약수가 1
최대공약수 구하는 방법
최대공약수를 구하는 방법은 두 가지가 있어요. 하나는 공약수로 나누는 거고, 다른 하나는 지수를 이용하는 거예요.
최대공약수 구하는 방법 첫 번째 - 공약수로 나누기
소인수분해 어떻게 했나요? 수를 쓰고, 소수가 나올 때까지 소수로 계속 나눴잖아요. 최대공약수를 구할 때도 이와 비슷하게 해요. 나뉘는 수가 2개 이상이라는 게 다르죠. 나누는 수는 꼭 공약수여야만 하는 게 제일 중요해요.
바로 이 나누는 수들의 곱이 최대공약수입니다.
60과 48의 최대공약수를 구해보죠.
60과 48의 공약수인 2로 두 수를 나눴더니 30, 24가 됐어요. 다시 2로 나누니까 15, 12가 됐고요. 15와 12의 공약수인 3으로 나눴더니 5, 4가 됐어요. 5와 4는 공약수가 1밖에 없는 서로소에요. 더는 나눌 수가 없으니 멈추세요.
왼쪽에 쓰여 있는 나누는 수가 2, 2, 3인데요. 이 세 수를 곱한 2 × 2 × 3 = 22 × 3 = 12가 60과 48의 최대공약수에요.
한 가지 좋은 건 소인수분해와 달리 나누는 수는 소수가 아니어도 상관없어요.
60과 48의 공약수 중 6을 이용했더니 계산이 조금 더 짧아졌죠? 마찬가지로 공약수는 왼쪽에 있는 나누는 수의 곱이므로 6 × 2 = 12에요. 소수로 나누지 않아도 최대공약수는 똑같죠?
최대공약수 구하는 방법 두 번째 - 지수이용
두 번째는 지수를 이용하는 방법이에요. 지수를 이용할 거니까 소인수분해해서 지수가 나오게 수를 바꿔야 해요.
60과 48의 최대공약수를 지수를 이용하여 구해보죠.
일단 두 수를 지수가 있는 꼴로 바꾸려면 소인수분해를 해야 해요. 60 = 22 × 3 × 5, 48 = 24 × 3이죠.
이제는 소수별로 비교해 볼게요.
2라는 소수는 60과 48 모두에 들어있어요. 60에는 22이고 48에는 24이에요. 60에 있는 2의 지수가 더 작네요.
3이라는 소수도 60과 48 모두에 들어있어요. 지수는 둘 다 1이고요.
5는 60에만 있고, 48에는 없어요.
최대공약수는 두 수에 공통인 소수 중에서 지수가 더 작은 걸 써요. 2는 양쪽 모두에 들어있는데 이 중 22이 지수가 더 작죠. 3도 양쪽 모두에 들어있는데 지수가 같으니까 그냥 3으로 하면 되겠네요. 5는 60에는 들어있지만 48에는 없으니까 빼고요. 최종적으로 60과 48의 최대공약수는 22 × 3이에요.
첫 번째 공약수로 나누는 방법은 숫자를 그대로 준 경우에 사용해요. 두 수를 소인수분해해서 지수를 이용하는 건 번거롭잖아요. 두 번째 지수를 이용한 방법은 숫자가 이미 소인수분해가 되어 있을 때 사용해요.
최대공약수 구하는 방법
공약수로 나누기 - 서로소가 나올 때까지 공약수로 나누고, 나온 공약수를 모두 곱함. 수가 그냥 나왔을 때 사용
지수 이용 - 공통된 소수 중 지수가 낮은 수들의 곱. 소인수분해된 형태로 나왔을 때 사용
다음의 두 수의 최대공약수를 구하여라.
(1) 72, 126 (2) 22 × 53 × 7, 23 × 72
(1)번은 그냥 두 수가 나와 있으니까 공약수로 나눠서 구해보죠.
최대공약수는 왼쪽에 있는 공약수들의 곱이므로 2 × 32
(2)번은 소인수분해가 이미 되어 있으니까 지수를 이용하는 방법으로 구하는 게 더 쉽겠네요.
2라는 소수는 양쪽 모두에 들어있는데, 22와 23중 지수가 작은 건 22
5는 한쪽에만 들어있으니까 건너뛰고요
7은 양쪽 모두에 있는데, 7과 72이니까 지수가 작은 7을 골라야겠네요.
결국 두 수의 최대공약수는 22 × 7이에요.
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이걸전부외운다면중1수학시험평균90%이상받을수있을까요??
단순히 외워서 될 게 아니에요. 이해하고 실제 문제에서 어떻게 적용되는지 까지 알아야하죠.
서른살 먹은 놈인데 갑자기 수학의 필요성이 생겨서 여기까지 오게되었습니다. 중1수학부터 보고 있는데요. 그런데 소수, 합성수, 약수... 이런걸 보다보니 이런 의문점이 생깁니다. "이걸 도대체 왜 하는거지???" "소수를 구해야 하는 이유가 뭐지???" "약수를 구해서 할 수 있는 일이 뭐지???' "최대공약수를 구해서 어디다 써먹는거지??? 예를 들면 인공위성의 GPS 좌표를 구할 때 필요한가??? 왜 필요한지, 어디에 응용할 수 있는지 아무런 설명도 없이 그냥 "소수란 무엇인가..." 이렇게 접근하니까 재미가 없네요.
갑자기 수학의 필요성이 생겼다면, 거기에 써먹으면 되죠.
수학이라는 전체적인 과목에서 필요성을 찾으셔야지 그 속의 지엽적인 소단원 하나하나에서 필요를 찾으시면 절대로 답을 구할 수 없습니다.
기본적으로 재미를 느끼기 힘든 과목인데 잘못된 접근 방법으로 접근을 하니 더 재미가 없겠죠.
문제를 풀거나 원리를 알았을 때의 성취감 등에서도 재미를 찾을 수는 있으나, 재미를 찾는 건 기본적으로 본인만이 해결할 수 있는 문제라서 도움을 드리기는 힘들겠네요.
어려워요
어렵다고 생각하면 어렵고, 쉽다고 생각하면 쉬운 게 공부입니다.
쉽다고 생각하고 같은 내용을 두 세번 읽다보면 어느 새 자기도 모르게 이해가 될 거예요.
최대공약수를 구하는 방법은 이 두가지 말고도 많은데, 두 가지말고 다른 방법도 있다고 언급해주세요
굳이 얘기하지 않아도 방법이 딱 하나만 있는 게 아니에요. 여러 방법이 있고, 그 중에 가장 좋은 걸 본인이 선택하는 거죠.
비밀댓글입니다
최대공약수와 최대공약수 구하는 방법
http://mathbang.net/202
위 글을 공부하시면 알게 될 거예요.
초5 인데요 최소공배수 구하는 방법 알고 갑니당(찡긋)
중1 때 또 만나요. (찡긋)
약수의 개수가 뭐예요?
약수의 개수 구하는 방법
https://mathbang.net/201
참고하세요.
마흔 입니다. 지금은 평범한 집안의 가장이자 이름있는 중견기업의 '장' 입니다. 학창 시절에 수학을 너무 못해서 기피대상이었는데, 어느날 문득 정복하고 싶다는 생각이 들어서 중학교 수학 문제집을 구입 했습니다. 역시 무슨말인지 이해가 되지 않더군요. 여기저기 서핑 하다 우연찮게 선생님 풀이를 보게 되었는데, 정말 이해가 잘 갑니다. 올해안에 중학교 수학 마무리 하고자 합니다. 많은 도움 주셔서 감사합니다.
중학 수학 마무리 다 하시면 책거리 한 번 하시죠. ㅎㅎ
저 물어볼게 있는데요...최대공약수 구할때 세수가 있는데 2X3X5,2제곱X3세제곱X5,3X5제곱X7의 최대공약수가 얼마인가요??
이미 인수분해가 된 형태이므로 <최대공약수 구하는 방법 두 번째 - 지수>이용하시면 구할 수 있어요.
세 수일 때도 두 수일 때와 똑같아요. 공통인 것들 중에서 지수가 작은 걸 고르는 거죠.
어렵지 않아요
맞아요. 어렵지 않아요.
30대에 고등수학 다시 공부 할려고 수학의 정석 펼쳤다가,,,,여기로 왔습니다. 중학 수학부터 다시 배워나가고 있습니다 감사합니다.
여기 있는 거 다 공부하시고 다시 수학의 정석을 보시면 더 쉽게 느껴질 거예요.
덕분에 문제집 푸는데 정말 많은 도움이 되었습니다. 종종 모르는 문제가 있으면 와서 공식 찾아보고 그럴게요 ㅎㅎ 항상 좋은 글 올려주셔서 감사합니다. =^U^=
처음부터 여기서 공부하면 모르는 문제가 생기지 않아요. ㅋ
이게 안하던 공부를 하더니 새상 다 어렵게 느껴지네요;;
그래도 노력하면 뭐 할수 있겟죠?
노력만 하면 안되는 건 없죠.
열심히 노력하세요. 언제나 응원할게요.
수학방은 중고등 개념을 한축으로 뚫어 이해하기 쉽습니다. 수학방은 수학개념을 이해하는데 단연 탁월한 앱이에요. 대한민국 수학의 빛이고 많은 이들의 수학배움에 희망을 주고 계십니다. 수학방으로 중고등 수학의 산을 넘고 있습니다.책도 구입해 읽고 모든 내용을 브레인 스토밍해보고 있는데 수학방을 알고 적용하면서 자녀들 수학 지도에 자신감이 생겼습니다. 초등도 앱으로 만들어주시면 더 복받으실것 같아요. 정말 쉽고 핵심을 잘 담아 만드셨습니다. 수학에 대한 노고와 앱에 정성을 기울이는게 느껴집니다. 건강하셔서 우리나라 아이들 수학에 계속 힘이되어주세요.
비밀댓글입니다
제가 글재주가 없어 과분한 칭찬글에 대한 감사 인사를 제대로 할 수 없는 점 이해해주세요.
마인드맵과 플래시 카드를 활용하시고자 하는 목표를 꼭 이루시기 바랍니다.
ㄱㄳㄳㄳㄳㄳㄳㄳㄳㄳㄳㄳㄳㄳㄳㄳ
전 초5인데 245 210에 최소공약수를 알고싶은데 이해가 되지 않아서ㅠ어떻게하죠?ㅜ
최소공약수는 없는데, 오타죠?
이 글이 최대공약수 구하는 방법 설명해주는 글이에요. 천천히 읽어보세요.
좋은글 감사합니다.
ㄴ자 나누기에서 왼쪽에 오는 수가 왜 최대공약수에요?
나눌 때 공약수로 계속 나눴으니까요.
아 진짜 죽을거 같은데 좀 살려주세요! 경찰이 저를 잡아가요!