이번에는 최대공약수에 대해서 더 알아볼 거예요.
이제까지는 최대공약수를 구할 때 일단 약수를 모두 구해놓고 그중에서 가장 큰 걸 찾았잖아요. 약수를 모두 구해야 하는 아주 귀찮은 방법이죠. 약수를 다 찾지 못했거나 공약수를 잘 골라내지 못하면 틀리게 되는 방법이기도 하고요.
공약수와 최대공약수를 구할 때 아주 편리한 방법이 있어요. 이 방법을 이용하면 귀찮은 과정도 줄어들고, 공약수를 빼먹을 확률도 줄어들죠.
최대공약수의 성질과 최대공약수를 구하는 방법에 대해서 알아보죠.
최대공약수
최대공약수의 뜻과 성질
공약수는 두 개 이상의 자연수의 공통된 약수에요. 이 공약수 중에서 가장 큰 공약수를 바로 최대공약수라고 하지요.
최대공약수를 알면 공약수를 쉽게 구할 수 있어요. 최대공약수의 약수가 공약수거든요. 최대공약수를 먼저 구하고 그다음 최대공약수의 약수를 구하는 방법을 알아보죠.
예를 들어 12와 18의 최대공약수를 알아볼까요?
12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12
18의 약수: 1, 2, 3, 6, 9, 18
두 수의 공약수는 1, 2, 3, 6이고 이 중 가장 큰 공약수, 최대공약수가 6이에요. 그런데 이 6의 약수가 바로 1, 2, 3, 6이지요. 이 네 숫자는 12와 18의 공약수와 같아요. 어떤 두 수의 공약수는 두 수의 최대공약수의 약수와 같다는 걸 알 수 있어요.
이제까지는 약수를 구하고, 공약수를 찾은 다음 최대공약수를 찾았죠. 지금부터는 반대로 최대공약수를 먼저 찾고, 최대공약수의 약수를 구해서 공약수를 찾아요.
최대공약수에서 또 하나 알아야 할 건 서로소에요. 두 수의 공약수가 1밖에 없을 때 이 두 수를 서로소라고 합니다. 이때는 공약수가 1밖에 없으니까 최대공약수가 1이라고도 표현하지요.
최대공약수: 공약수 중 가장 큰 공약수
최대공약수의 약수 = 공약수
서로소: 공약수가 1뿐인 2개 이상의 자연수, 최대공약수가 1
최대공약수 구하는 방법
최대공약수를 구하는 방법은 두 가지가 있어요. 하나는 공약수로 나누는 거고, 다른 하나는 지수를 이용하는 거예요.
최대공약수 구하는 방법 첫 번째 - 공약수로 나누기
소인수분해 어떻게 했나요? 수를 쓰고, 소수가 나올 때까지 소수로 계속 나눴잖아요. 최대공약수를 구할 때도 이와 비슷하게 해요. 나뉘는 수가 2개 이상이라는 게 다르죠. 나누는 수는 꼭 공약수여야만 하는 게 제일 중요해요.
바로 이 나누는 수들의 곱이 최대공약수입니다.
60과 48의 최대공약수를 구해보죠.
60과 48의 공약수인 2로 두 수를 나눴더니 30, 24가 됐어요. 다시 2로 나누니까 15, 12가 됐고요. 15와 12의 공약수인 3으로 나눴더니 5, 4가 됐어요. 5와 4는 공약수가 1밖에 없는 서로소에요. 더는 나눌 수가 없으니 멈추세요.
왼쪽에 쓰여 있는 나누는 수가 2, 2, 3인데요. 이 세 수를 곱한 2 × 2 × 3 = 22 × 3 = 12가 60과 48의 최대공약수에요.
한 가지 좋은 건 소인수분해와 달리 나누는 수는 소수가 아니어도 상관없어요.
60과 48의 공약수 중 6을 이용했더니 계산이 조금 더 짧아졌죠? 마찬가지로 공약수는 왼쪽에 있는 나누는 수의 곱이므로 6 × 2 = 12에요. 소수로 나누지 않아도 최대공약수는 똑같죠?
최대공약수 구하는 방법 두 번째 - 지수이용
두 번째는 지수를 이용하는 방법이에요. 지수를 이용할 거니까 소인수분해해서 지수가 나오게 수를 바꿔야 해요.
60과 48의 최대공약수를 지수를 이용하여 구해보죠.
일단 두 수를 지수가 있는 꼴로 바꾸려면 소인수분해를 해야 해요. 60 = 22 × 3 × 5, 48 = 24 × 3이죠.
이제는 소수별로 비교해 볼게요.
2라는 소수는 60과 48 모두에 들어있어요. 60에는 22이고 48에는 24이에요. 60에 있는 2의 지수가 더 작네요.
3이라는 소수도 60과 48 모두에 들어있어요. 지수는 둘 다 1이고요.
5는 60에만 있고, 48에는 없어요.
최대공약수는 두 수에 공통인 소수 중에서 지수가 더 작은 걸 써요. 2는 양쪽 모두에 들어있는데 이 중 22이 지수가 더 작죠. 3도 양쪽 모두에 들어있는데 지수가 같으니까 그냥 3으로 하면 되겠네요. 5는 60에는 들어있지만 48에는 없으니까 빼고요. 최종적으로 60과 48의 최대공약수는 22 × 3이에요.
첫 번째 공약수로 나누는 방법은 숫자를 그대로 준 경우에 사용해요. 두 수를 소인수분해해서 지수를 이용하는 건 번거롭잖아요. 두 번째 지수를 이용한 방법은 숫자가 이미 소인수분해가 되어 있을 때 사용해요.
최대공약수 구하는 방법
공약수로 나누기 - 서로소가 나올 때까지 공약수로 나누고, 나온 공약수를 모두 곱함. 수가 그냥 나왔을 때 사용
지수 이용 - 공통된 소수 중 지수가 낮은 수들의 곱. 소인수분해된 형태로 나왔을 때 사용
다음의 두 수의 최대공약수를 구하여라.
(1) 72, 126 (2) 22 × 53 × 7, 23 × 72
(1)번은 그냥 두 수가 나와 있으니까 공약수로 나눠서 구해보죠.
최대공약수는 왼쪽에 있는 공약수들의 곱이므로 2 × 32
(2)번은 소인수분해가 이미 되어 있으니까 지수를 이용하는 방법으로 구하는 게 더 쉽겠네요.
2라는 소수는 양쪽 모두에 들어있는데, 22와 23중 지수가 작은 건 22
5는 한쪽에만 들어있으니까 건너뛰고요
7은 양쪽 모두에 있는데, 7과 72이니까 지수가 작은 7을 골라야겠네요.
결국 두 수의 최대공약수는 22 × 7이에요.
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2번째방법에서여 최대공약수는 공통된지수중 왜 작은걸 써야돼나요?
공약수는 공통된 약수이므로 지수가 작은 건 약수가 될 수 있지만 원래 지수보다 큰 건 약수가 될 수 없으니까 작은 걸 쓰죠.
12 = 2^2 x 3
16 = 2^4
공통된 2중에서 지수가 작은 2^2은 12의 약수가 될 수 있지만 2^3이나 2^4는 12의 약수가 될 수 없잖아요.
비밀댓글입니다
네, 열심히 공부 하시고, 블로그도 가끔씩 방문해 주세요.
서로 소素 coprime . relative prime
미국 교육대학원 다니고 있습니다. 유치원부터 8학년까지 과정을 하고 있고 첫 과목이 수학의 이해입니다. 부끄럽지만 소인수분해에 대해 나오는데 너무 오랫만에 들어봐서 기억이 잘나지 않더군요. 쉽게 설명해주셔서 많이 도움을 받고갑니다. 감사합니다.
오랜만에 들으면 당연히 기억이 나지 않는거죠. 부끄러운 게 절대 아닙니다. 모른다는 것 자체를 모르거나 모르지만 알려고 하지 않는 게 부끄러운 거죠. 기억나지않는 걸 알려고 하는 건 오히려 칭찬받아야하는 거예요. ㅎㅎ
저는 지금 초등학생인데 약수구하기를 알려주세요.
소인수분해를 이용해서 약수 구하기(http://mathbang.net/201) 참고하세요.
노란색 박스에 '최대공약수 구하는 방법'을 두껍게
네..
수학방 님의 서술 방식을 존중합니다.
그러나 다른의견이 있어서 이렇게 글을 남깁니다.
최대공약수 구하는 방법으로 두가지를 설명하셨는데요.
그 명칭에 조금 다른 의견이 있어서 남깁니다.
1. '소인수분해' -> '공약수로 나누는 방법'
2. '지수 이용' -> '소인수분해를 이용하는 방법(지수 이용)'
이유는 소인수분해의 정의가 자연수를 소인수들의 곱으로 표현하는 것이기 때문입니다.
그러므로 1. '소인수분해'는 정확히 소인수분해를 구하는 여러가지 방법 중에서 나눗셈을 이용한것이므로 '공약수로 나누는 방법'이 나을꺼 같고, 2. '지수이용'이 소인수분해를 이용하는 방법이 낫다는 의견입니다.
그러므로 첫번째 최대공약수 구하는 방법에서
'소인수분해 어떻게 했나요?' 보다는
'소인수분해를 어떻게 구했나요?'로 바꾸는게 어떨까하네요.
그외에도 제목을 바꾼다면 내용도 다시살펴보셔야...ㅠㅠ
제 의견이였습니다.
(의견은 의견일 뿐... 오해하지 말자...)
항상 잘보고있습니다.
소인수분해와 유사한 방법이라서 이름을 그렇게 붙였는데, 유사한 거지 같은 건 아니니까 고치는 게 더 낫겠네요. 지수를 이용하는 방법은 소인수 분해를 한 후에 하는 거니까 그 내용을 조금 더 추가했어요.
소인수분해는 그 결과를 의미하기도 하지만 과정(행위)도 의미하므로 "소인수분해 어떻게 했나요?는 그냥 두겠습니다.
수학방은 언제나 열려있어요. ㅎㅎ 문민호님께서 주신 의견은 항상 고맙게 생각하고 있어요. 다른 글에서도 다른 의견도 언제든 환영합니다.
최대공약수를 구하는 과정에서 2개의 수를 공통된 약수로 나누면 그것이 몫이 되잖아요? 이때 이몫들이 1개인지 2개인지는 상관이 없는데 2개이상 이라면 이몫들의 곱이 최대공약수가 되잖아요 이때 이몫들의 곱이 최대공약수가 되는 원리는 무엇인지 아시나요? 아니면 그냥 이렇게 하면 된다고 외워야 하나요?
몫이아니라 수를 나눴던 공통된 약수들을 곱한게 최대공약수죠.
최대공약수의 의미를 잘 생각해보면 이해할수 있을 거예요. 두 수가 있을때 한 수는 최대공약수와 서로소의 곱으로 이루어져 있는데 이 과정을 거꾸로 한다고 생각하면 돼요.
이걸전부외운다면중1수학시험평균90%이상받을수있을까요??
단순히 외워서 될 게 아니에요. 이해하고 실제 문제에서 어떻게 적용되는지 까지 알아야하죠.
서른살 먹은 놈인데 갑자기 수학의 필요성이 생겨서 여기까지 오게되었습니다. 중1수학부터 보고 있는데요. 그런데 소수, 합성수, 약수... 이런걸 보다보니 이런 의문점이 생깁니다. "이걸 도대체 왜 하는거지???" "소수를 구해야 하는 이유가 뭐지???" "약수를 구해서 할 수 있는 일이 뭐지???' "최대공약수를 구해서 어디다 써먹는거지??? 예를 들면 인공위성의 GPS 좌표를 구할 때 필요한가??? 왜 필요한지, 어디에 응용할 수 있는지 아무런 설명도 없이 그냥 "소수란 무엇인가..." 이렇게 접근하니까 재미가 없네요.
갑자기 수학의 필요성이 생겼다면, 거기에 써먹으면 되죠.
수학이라는 전체적인 과목에서 필요성을 찾으셔야지 그 속의 지엽적인 소단원 하나하나에서 필요를 찾으시면 절대로 답을 구할 수 없습니다.
기본적으로 재미를 느끼기 힘든 과목인데 잘못된 접근 방법으로 접근을 하니 더 재미가 없겠죠.
문제를 풀거나 원리를 알았을 때의 성취감 등에서도 재미를 찾을 수는 있으나, 재미를 찾는 건 기본적으로 본인만이 해결할 수 있는 문제라서 도움을 드리기는 힘들겠네요.
어려워요
어렵다고 생각하면 어렵고, 쉽다고 생각하면 쉬운 게 공부입니다.
쉽다고 생각하고 같은 내용을 두 세번 읽다보면 어느 새 자기도 모르게 이해가 될 거예요.
최대공약수를 구하는 방법은 이 두가지 말고도 많은데, 두 가지말고 다른 방법도 있다고 언급해주세요
굳이 얘기하지 않아도 방법이 딱 하나만 있는 게 아니에요. 여러 방법이 있고, 그 중에 가장 좋은 걸 본인이 선택하는 거죠.
비밀댓글입니다
최대공약수와 최대공약수 구하는 방법
http://mathbang.net/202
위 글을 공부하시면 알게 될 거예요.
초5 인데요 최소공배수 구하는 방법 알고 갑니당(찡긋)
중1 때 또 만나요. (찡긋)
약수의 개수가 뭐예요?
약수의 개수 구하는 방법
https://mathbang.net/201
참고하세요.
마흔 입니다. 지금은 평범한 집안의 가장이자 이름있는 중견기업의 '장' 입니다. 학창 시절에 수학을 너무 못해서 기피대상이었는데, 어느날 문득 정복하고 싶다는 생각이 들어서 중학교 수학 문제집을 구입 했습니다. 역시 무슨말인지 이해가 되지 않더군요. 여기저기 서핑 하다 우연찮게 선생님 풀이를 보게 되었는데, 정말 이해가 잘 갑니다. 올해안에 중학교 수학 마무리 하고자 합니다. 많은 도움 주셔서 감사합니다.
중학 수학 마무리 다 하시면 책거리 한 번 하시죠. ㅎㅎ
저 물어볼게 있는데요...최대공약수 구할때 세수가 있는데 2X3X5,2제곱X3세제곱X5,3X5제곱X7의 최대공약수가 얼마인가요??
이미 인수분해가 된 형태이므로 <최대공약수 구하는 방법 두 번째 - 지수>이용하시면 구할 수 있어요.
세 수일 때도 두 수일 때와 똑같아요. 공통인 것들 중에서 지수가 작은 걸 고르는 거죠.
어렵지 않아요
맞아요. 어렵지 않아요.
30대에 고등수학 다시 공부 할려고 수학의 정석 펼쳤다가,,,,여기로 왔습니다. 중학 수학부터 다시 배워나가고 있습니다 감사합니다.
여기 있는 거 다 공부하시고 다시 수학의 정석을 보시면 더 쉽게 느껴질 거예요.
덕분에 문제집 푸는데 정말 많은 도움이 되었습니다. 종종 모르는 문제가 있으면 와서 공식 찾아보고 그럴게요 ㅎㅎ 항상 좋은 글 올려주셔서 감사합니다. =^U^=