최대공약수와 최소공배수의 활용

최대공약수와 최소공배수를 배웠으니 이제 그 활용법에 대해서 공부해보죠.

최대공약수와 최소공배수를 활용하는 문제 유형이 정해져 있어요. 그 유형만 잘 파악하면 문제 푸는 데 어려움이 없을 거예요. 물론 문제를 읽고 유형을 파악하는 게 쉬운 건 아니지만요.

최대공약수와 최소공배수의 활용 문제는 서술형으로 나오는 경우가 많아서 문제를 잘 읽어야 해요. 문제에 몇 가지 힌트를 주는데 이 힌트를 잘 조합해보면 문제 유형을 파악할 수 있어요.

문제에서 어떤 힌트를 주는지 지 그리고 힌트들을 어떻게 조합하는지를 알아보고, 최대공약수와 최소공배수 중 어떤 걸 이용해야 하는지도 알아보죠.

최대공약수를 활용하는 문제를 알아보는 힌트는 세 가지 경우로 나눠서 생각할 수 있어요. 첫 번째는 문제 유형이에요. 가지고 있는 물건을 여러 사람에게 나눠주거나 그 크기를 쪼개거나 개수를 나누는 경우에는 최대공약수를 이용해요.

또 최대공약수를 이용하는 문제에는 "가장 큰", "가능한 한 많이"라는 표현이 있어요. 가장 큰, 가능한 한 많이는 바로 "최대"라는 단어로 바꿀 수 있겠죠?

최대공약수는 원래의 수보다 작아요. 개수를 나누거나 크기는 쪼개는 건 원래의 것보다 작아지는 거죠? 따라서 문제에서 처음에 주어졌던 숫자보다 결과로 나오는 숫자가 더 적어지는 경우에도 최대공약수를 이용해요.

문제 유형: 똑같이 나누는 문제, 크기를 쪼개는 문제
표현: 가장 큰, 가능한 한 많은
문제에 주어진 숫자보다 더 작은 수를 구하는 경우

가로 길이가 180cm, 세로 길이가 200cm인 벽에 남는 부분이 없도록 크기가 같은 타일을 붙이려고 한다. 가능한 한 큰 정사각형 모양의 타일을 사용하려고 할 때, 타일의 한 변의 크기를 구하여라.

문제 속에 "가능한 한 큰"이라는 표현이 있어요. 바로 최대공약수를 이용하라는 뜻이에요. 또 타일의 크기는 문제에서 주어진 벽의 가로, 세로 길이보다 작아야 하죠? 그래서 최대공약수를 이용하는 거예요.

180과 200의 최대공약수를 구해보죠.
180 = 2² × 3² × 5
200 = 2³ × 5²

최대공약수는 공통인 것 중에서 지수가 작은 걸 쓰니까, 2² × 5 = 20가 되겠네요. 한 변의 길이가 20cm인 정사각형 모양의 타일이 남는 공간이 없이 붙일 수 있는 가장 큰 타일이에요.

가로, 세로, 높이가 각각 40cm, 48cm, 24cm인 나무를 남김없이 잘라서 가능한 한 큰 정육면체 모양의 나무토막을 만들려고 한다. 크기가 같은 나무토막을 몇 개 만들 수 있는지 구하여라.

큰 나무토막을 "쪼개는" 유형이에요. 그리고 "가능한 한 큰"이라는 표현이 들어있고요. 나무토막을 자르면 당연히 문제에서 주어진 원래 크기보다 작아지겠죠? 이런 이유로 이 문제에서는 최대공약수를 이용해야 하는 거예요.

세 수의 최대공약수를 구해보죠.
40 = 2³ × 5
48 = 2⁴ × 3
24 = 2³ × 3

따라서 최대공약수는 2³이에요. 여기서 최대공약수는 나무토막의 개수가 아니라 원래 나무토막을 잘라서 만들 수 있는 가장 큰 정육면체 모양의 나무토막의 가로, 세로, 높이의 길이에요.

가로 방향으로 만들 수 있는 나무토막의 개수는 40 ÷ 8 = 5(개)
세로 방향으로 만들 수 있는 나무토막의 개수는 48 ÷ 8 = 6(개)
높이 방향으로 만들 수 있는 나무토막의 개수는 24 ÷ 8 = 3(개)

총 만들 수 있는 나무토막의 개수는 5 × 6 × 3 = 90(개)

최소공배수를 활용하는 문제도 비슷한 유형이 있어요.

이번에도 세 가지 경우로 나눠서 생각해보죠. 첫 번째 문제 유형이에요. 작은 물건들 여러 개를 붙이거나 쌓는 경우예요. 혹은 기차나 톱니바퀴 같은 게 동시에 출발해서 다시 만나는 경우를 묻는 문제 유형이 있지요.

최소공배수를 이용하는 문제에는 "가장 작은", "가능한 한 작게"라는 표현이 있어요. 가장 작은, 가능한 한 작게는 바로 "최소"라는 단어로 바꿀 수 있겠죠?

최소공배수는 원래의 수보다 커요. 어떤 물건을 여러 개 붙이거나 쌓아서 만든 결과물은 원래의 것보다 크기나 길이가 커지겠죠? 따라서 문제에서 처음에 주어졌던 숫자보다 결과로 나오는 숫자가 더 커지는 경우에도 최소공배수를 이용해요.

문제 유형: 동시에 출발, 가장 작은 도형, 연결, 쌓기
표현: 가장 작은, 가능한 한 작게, 동시에
문제에 주어진 숫자보다 더 큰 수를 구하는 경우

가로 길이가 10cm, 세로 길이가 6cm인 색종이를 빈틈없이 붙여서 가능한 한 크기가 작은 정사각형을 만들려고 할 때 정사각형의 한 변의 길이를 구하여라.

문제에서 "가능한 한 크기가 작은" 이라는 표현이 들어있어요. 그리고 정사각형의 한 변의 길이는 문제에서 주어진 색종이의 크기보다 크겠죠? 따라서 최소공배수를 이용하는 문제에요.

10 = 2 × 5
6 = 2× 3

두 수의 최소공배수는 2 × 3 × 5 = 30이므로 정사각형의 가로, 세로 길이는 30cm네요.

A 시내버스는 버스 노선을 한 바퀴 도는 데 60분이 걸리고, B 버스는 노선을 한 바퀴 도는 데 50분이 걸린다고 한다. A, B 두 버스가 오전 10시에 C 정류장을 동시에 출발한다고 했을 때, 두 버스가 C 정류장에서 처음으로 다시 만나는 시각을 구하여라.

두 버스가 "동시에" 출발하죠. 그리고 버스가 노선을 몇 바퀴 돌든지 한 바퀴 도는 시간보다는 많겠죠? 따라서 이 문제도 최소공배수를 이용하는 문제에요.

60 = 2² × 3 × 5
50 = 2 × 5²

두 수의 최소공배수는 2² × 3 × 5² = 300

A, B 두 버스는 300분 뒤에 C 정류장에서 다시 만나요. 300분이면 5시간 뒤니까 오후 3시에 C 정류장에서 처음으로 만나게 되겠군요.

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