원뿔의 겉넓이와 부피, 각뿔의 겉넓이와 부피

이제 중1 수학도 막바지에 다랐어요. 얼마 남지 않았으니까 조금 더 힘내세요.

이번 글에서는 각뿔과 원뿔의 겉넓이와 부피에 대해서 알아볼 거예요.

각뿔과 원뿔의 겉넓이는 각기둥과 원기둥의 겉넓이, 부피, 부채꼴의 넓이 구하는 공식 등에 대해서 알고 있어야 이해할 수 있어요.

혹시 잘 기억이 안 난다면 원기둥의 부피와 겉넓이, 각기둥의 부피와 겉넓이와 부채꼴 넓이를 얼른 보고 오세요.

각뿔의 겉넓이와 부피

각기둥의 겉넓이를 구할 때 전개도로 펼쳐서 구했어요. 그리고 (밑면의 넓이) + (옆면의 넓이)로 구했고요. 각뿔도 마찬가지예요.

각뿔의 겉넓이와 부피, 각뿔의 전개도

각뿔이 각기둥과 다른 점은 밑면이 한 개뿐이고, 옆면은 모두 삼각형이라는 거예요.

밑면은 각뿔의 형태에 따라 다르지만 다각형의 넓이 구하는 방법으로 구할 수 있잖아요.

각기둥에서는 옆면이 직사각형이라서 하나의 큰 직사각형으로 구할 수 있었는데, 각뿔에서는 옆면이 삼각형인 데다 삼각형의 넓이도 제각각이어서 하나씩 구해서 다 더해줘야 하는 불편함이 있어요. 하지만 실제 문제에서는 옆면이 이등변삼각형으로 합동인 경우가 많으니까 하나 구해서 × 4하면 돼요.

주의해야 할 게 있는데, 각뿔의 높이와 옆면인 삼각형의 높이를 잘 구별하세요.

각뿔의 부피는 밑면의 크기와 높이가 같은 각기둥의 부피의 입니다. 그러니까 각기둥의 부피를 해주면 되죠.

각뿔의 높이가 h일 때
각뿔의 겉넓이 = (밑넓이) + (옆넓이)
각뿔의 부피 = × (밑넓이) × (높이) = Sh

원뿔의 겉넓이와 원뿔의 부피

원뿔을 전개도로 펼쳐보면 아래 그림처럼 부채꼴인 옆면 한 개와 원인 밑면 한 개로 되어 있어요.

원뿔의 겉넓이와 부피, 원뿔의 전개도

원뿔의 넓이도 (밑넓이) + (옆넓이)니까 (원의 넓이) + (부채꼴의 넓이)하면 되겠지요.

밑면은 반지름이 r인 원이니까 넓이는 πr²이에요.

옆넓이인 부채꼴 넓이는 중심각의 크기를 알 때와 부채꼴 호의 길이를 알 때 두 가지 방법으로 구할 수 있는데, 여기서는 부채꼴 호의 길이를 이용한 공식으로 부채꼴의 넓이를 구합니다.

부채꼴의 넓이 = rl

여기서 r은 부채꼴의 반지름, l은 부채꼴 호의 길이를 말해요. 위 전개도에 나온 r, l과 서로 다른 r, l이죠.

부채꼴의 호의 길이는 밑면인 원의 둘레 길이와 같아요. 따라서 밑면의 반지름이 r이라면 부채꼴 호의 길이는 2πr이죠. 여기에 부채꼴의 반지름인 모선의 길이 l을 곱하고 ÷ 2하면 부채꼴의 넓이가 됩니다.

각뿔의 부피가 각기둥의 부피의 이라고 했지요? 원뿔의 부피도 밑면의 반지름과 높이가 같은 원기둥의 부피의 이에요.

원기둥의 부피는 πr²h였으니까 여기에 을 곱해서 구할 수 있어요.

밑면의 반지름이 r, 높이가 h, 모선의 길이가 l일 때
원뿔의 겉넓이 = (밑넓이) + (옆넓이) = πr² + πrl
원뿔의 부피 = × (밑넓이) × (높이) = πr²h