구의 부피와 구의 겉넓이

이 글에서 공부할 내용은 구의 부피와 구의 겉넓이입니다.

구의 부피와 구의 겉넓이

구는 축구공, 배구공처럼 둥근 공 모양을 구하고 하지요? 구는 밑면, 옆면 구분이 없어요. 그래서 전개도로 펼쳐서 구하지 않아요.

구의 부피부터 구해보죠.

원뿔의 부피는 원기둥의 부피의  이었어요. 구는 원기둥 부피의  입니다.

원기둥의 부피의 인데, 이때의 원기둥의 높이는 얼마일까요? 구의 반지름이 r이라고 하면 원기둥의 높이는 2r, 즉 구의 지름의 길이와 같아요.

원기둥의 부피 공식에서 높이에는 2r을 넣어주고, 를 곱해주면 구의 부피를 구할 수 있어요.

πr²h                    →     πr² × 2r
                                = πr³

구의 겉넓이는 구의 부피와 각뿔의 부피를 이용해서 구하는데, 그 과정이 조금 어려워요. 공식 구하는 과정은 고등학교 올라가면 자연스럽게 알게 될 거니가 여기서는 그냥 결과만 얘기할게요.

구의 겉넓이는 4πr²입니다.

구의 반지름이 r일 때
구의 부피 = πr³
구의 겉넓이 = 4πr²

잘 보세요. 구의 부피는 마지막이 r의 세제곱이고, 구의 겉넓이는 r의 제곱이에요. 착각하지 마세요.

반지름이 6cm인 반구가 있다. 이 반구의 겉넓이와 부피를 구하여라.

반구는 구가 반으로 잘린 걸 말해요.

먼저 부피를 구해보죠. 반구는 원래 구의 반이니까 부피도 절반이겠죠?

반구의 부피 = 구의 부피 ÷ 2
= πr³ ÷ 2
= π6³ ÷ 2
= 144π(cm³)

반구의 겉넓이는 구의 겉넓이의 절반이에요. 그런데 반구에서 잘린 면이 있지요? 이 면의 넓이를 더해줘야 해요. 이 잘린 면은 원이네요.

반구의 겉넓이는 = 구의 겉넓이 ÷ 2 + 잘린 면의 넓이
= 4πr² ÷ 2 + πr²
= 4π6² ÷ 2 + π6²
= 72π + 36π
= 108π(cm²)

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정리해볼까요

구의 겉넓이와 부피

• 구의 반지름이 r일 때
• 구의 부피 = πr³
• 구의 겉넓이 = 4πr²

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줄기와 잎 그림

 

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