평각, 직각, 예각, 둔각에서 각이란 무엇인지, 크기에 따라 각을 어떻게 나누는지 알아봤어요. 이번 글에서는 다른 각을 위치에 따라 구분하는 방법에 대해서 알아보죠.
이번 글에서는 맞꼭지각, 동위각, 엇각을 설명할 건데, 이게 글로 설명하기는 참 어려운 내용이에요. 그래서 정신줄 꽉 잡고 한 줄 한 줄 정독해야 이해할 수 있어요. 설명과 그림을 왔다 갔다 하면서 주의 깊게 보세요.
아마 한 번 봐서는 이해하기가 어려울 거예요.
맞꼭지각
선과 선, 면과 선이 만나는 점을 뭐하고 했지요? 교점이라고 했어요. 면과 면이 만나서 생기는 선은 교선이라고 했고요.
그럼 교각은 뭘까요? 만나서 생기는 각이겠지요. 뭐가 만나느냐면 바로 두 직선이 만나요. 그러니까 선과 선이 만나는 교점에 각이 생긴다는 얘기지요. 근데 교각은 항상 네 개가 생겨요. 그래서 이 네 개를 전부 다 교각이라고 합니다.
아래는 두 직선 l과 m이 만나서 생기는 교각을 표시한 그림이에요. a, b, c, d 모두 교각입니다.
이때 네 개의 교각 중에서 서로 마주 보고 있는 두 각을 서로의 맞꼭지각이라고 해요. 꼭짓점을 맞대고 있다는 뜻이죠. ∠a와 ∠c가 서로 마주 보고 있죠? 그래서 ∠a와 ∠c가 맞꼭지각이고, ∠b와 ∠d도 서로 맞꼭지각이에요.
맞꼭지각은 서로 크기가 같아요. ∠a = ∠c이고 ∠b = ∠d란 얘기죠
∠a + ∠b = ∠a + ∠d = 180° (평각)
∠b = ∠d
∠a + ∠b = ∠b + ∠c = 180° (평각)
∠a = ∠c
동위각, 엇각
맞꼭지각이 두 직선이 만나서 생기는 각이라면, 동위각과 엇각은 세 직선이 만나는 곳에서 생겨요. 두 직선 l, m이 다른 직선 n과 만나면 교각이 8개가 생겨요. l, n이 만나는 곳에서 4개, m, n이 만나는 곳에서 4개요.
동위각은 같은 위치에 있는 각이라는 뜻이에요. 교점을 중심으로 해서 같은 위치에 있다는 뜻인데요. 교점을 중심으로 해서 상하좌우의 위치가 같으면 동위각이라고 해요.
동위각을 쉽게 찾는 방법을 알려드릴게요. 동위각은 두 직선 l, m과 다른 직선 n이 만나서 생기는 거라고 했어요. 다른 직선 n을 가로축(또는 세로축)으로 놓으세요. 그런 다음 교점을 중심으로 오른쪽 위, 오른쪽 아래, 왼쪽 위, 왼쪽 아래 등으로 위치를 비교하면 동위각을 금방 찾을 수 있어요.
아래 그림에서는 n을 세로로 생각해보죠. ∠a는 직선 l과 n이 만나는 교점의 왼쪽 위에 있고, ∠b는 왼쪽 아래에 있죠? ∠c는 오른쪽 아래, ∠d는 오른쪽 위에 있어요. ∠e는 직선 m과 n이 만나는 교점의 왼쪽 위, ∠f는 왼쪽 아래, ∠g는 오른쪽 아래, ∠h는 오른쪽 위에 있어요.
동위각을 찾아보죠. 왼쪽 위에 있는 동위각은 ∠a, ∠e, 왼쪽 아래 있는 동위각은 ∠b, ∠f, 오른쪽 아래 있는 동위각은 ∠c, ∠g, 오른쪽 위에 있는 동위각은 ∠d, ∠h가 되는 거예요.
동위각 찾는 건 몇 번 해봐서는 금방 이해가 되지 않으니까 연습을 많이 하세요.
엇각은 서로 엇갈린 위치에 있는 각이에요. 맞꼭지각도 아니고 동위각도 아닌 각이죠. 한 가지 중요한 게 있는데, 엇각은 8개의 각 모두에 있는 게 아니에요. 교점이 하나만 있는 두 직선 l, m 사이에 있는 4개의 각(∠b, ∠c, ∠e, ∠h) 사이에서만 찾아요. 선 밖의 각 4개는 전혀 생각하지 마세요.
엇각은 대각선 방향에 있는 각을 찾으면 되는데, ∠c의 엇각을 찾아볼까요? ∠c는 오른쪽 아래에 있으니까 대각선 방향은 왼쪽 위가 되겠네요. 왼쪽 위에 있는 각 즉, 대각선 방향에 있는 각은 ∠e죠? 그래서 ∠c와 ∠e가 서로 엇각이에요. ∠b는 왼쪽 아래에 있으니까 오른쪽 위에 있는 ∠h와 엇각이고요.
엇각을 찾는 다른 방법은 동위각의 맞꼭지각을 찾으면 돼요. ∠c의 동위각은 ∠g인데, ∠g의 맞꼭지각이 ∠e에요. 이 방법으로 찾아도 똑같이 ∠e가 나와요. 편한 방법으로 연습하세요.
아래 그림을 보고 다음을 구하여라.
(1) ∠a의 동위각
(2) ∠g의 엇각
(3) ∠i와 크기가 각
이 문제는 어려운 유형의 문제에요. 교점이 3개이고 교각이 12개나 되거든요. 이렇게 교점이 세 개인 문제에서는 교점을 하나 가려서 없다고 생각하고 남은 교점 두 개에서 동위각과 엇각을 찾으세요. 그다음 다른 교점을 가리고 찾고, … 이렇게 여러 번 하는 방법으로 풀어야 해요.
(1) ∠a의 동위각을 찾으라고 했는데, 먼저 l과 m이 만나는 교점을 가리고 해보죠. n을 세로축으로 놓으면 ∠a의 동위각은 ∠e라는 걸 찾을 수 있어요.
그다음에는 m, n이 만나는 교점을 가려보세요. 그림을 왼쪽으로 약간 기울여서 l을 가로축으로 놓으면 ∠a는 왼쪽 위에 있는 각이 돼요. ∠i, ∠j, ∠k, ∠o 중에서 왼쪽 위에 있는 각은 어떤 각일까요? ∠i가 왼쪽 위에 있는 각이에요.
그래서 ∠a의 동위각은 ∠e와 ∠i네요.
(2) 엇각은 두 직선 사이에 있는 경우에만 찾는다고 했어요. 그림의 왼쪽 부분(직선 l과 n의 교점, 직선 m과 n의 교점)에서는 엇각을 고려할 수 있는 게 ∠b, ∠c, ∠e, ∠h뿐이에요. 여기에서는 ∠g는 엇각을 얘기하지 않으니까 이곳에 ∠g의 엇각은 없어요.
이번에는 직선 m과 n의 교점, 직선 l과 m의 교점을 생각해보죠. 두 직선 사이에 있는 각은 ∠h, ∠g, ∠j, ∠k네요. 여기에는 ∠g가 있어서 엇각을 고려해볼 수 있어요. 엇각은 대각선 방향에 있는 각이니까 오른쪽 아래에 있는 ∠g의 엇각은 왼쪽 위에 있는 ∠j가 되는군요.
(3) 직선이 만나는 곳에 교각이 생기는데 크기가 같으면 서로 맞꼭지각이어야 해요. ∠i와 맞꼭지각인 것은 ∠k니까 ∠i와 ∠k의 크기가 같아요.
글 처음에 말한 것처럼 동위각, 엇각을 찾는 건 쉬운 문제가 아니에요. 위에서 알려드린 몇 가지 팁을 이용해서 연습을 많이 해보세요.
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맨 아래 3번은
∠i와 크기가 각은 각은 K가 아닌가요 왜 o가 되지요?
i와 o가 더해져 180도로 보이는군요
맞꼭지각이어야 하니까 O가 아니라 k가 맞네요.
그림의 j를 i로 봤네요.
엇각의 주의할점이 뭔가요
두 직선이 평행 <=> 동위각이 같다
두 직선이 평행 <=> 엇각이 같다
이거 아닌가욤............? ㅎㅎㅎㅎ
이 글은 일반적인 선 사이에서의 동위각과 엇각이에요. 물론 평행선에도 해당하는 내용이지요.
말씀하신 내용은 평행선에서의 동위각과 엇각(http://mathbang.net/84)에 나오는 거예요.
그면..... "동위각이 같다"이면 "두 직선이 평행이다."
이게 아닐 수도 있다는 말씀이신가요.... ???????????
동위각의 크기가 같으면 두 직선은 평행이에요.
다만, 이 글은 동위각이 무엇인지, 동위각을 어떻게 찾는지를 설명하는 글일 뿐, 동위각의 크기가 같은 지 다른 지에 대해서는 전혀 얘기하지 않았다는 거예요.
혹시 궁금한게 있는데, 왜 엇각은 두직선 사이에 있는 각 중에서 찾아야 하는 거죠?
엇각은 엇갈린 각이거든요. 엇갈린다라는 의미를 생각해보면 이해할 수 있을 거예요.
중1 수학은 쉽다던데 중2되면 수학이 제일 어렵대요 ㅠㅠ 전 지금 중1꺼도 어려운데 중2되면 거의 빵점 될듯 ㄹㄹ
어렵다고 생각하니까 더 어려운 거예요. 쉽다고 생각하면 또 쉬운 게 수학입니다. 지레 겁먹을 필요 없어요.
(2)에서 각g의 엇각을 찾을때, 그림의 아랫부분에 있는 두 교점을 생각해 봤을때 두 직선 사이의 각은 h,g,j,k라고 하셨는데 잘 이해가 안가네여. '그림의 아랫부분에 이시는 두 교점'은 뭐고 '두 직선'은 어떤 직선인가요? 이해하기가 많이 힘ㄷㅇㄹ어요...ㅠ
그림 아랫 부분의 교점은 왼쪽 아래에 있는 교점과 오른쪽에 있는 교점을 말해요. 두 직선은 l과 n을 말하고요.
두 교점에서 8개의 교각이 생기는데 안쪽에 있는 교각 네 개 중에 엇각을 찾아야 해요.
원래 이 내용이 조금 어렵습니다. 처음부터 여러 번 읽어봐야 이해가 될 거에요.
이해가 잘 안되네요 ㅠ
정말 설명을 잘하시는것 같아요.
공무원 준비하다가 기본 개념에 대한걸 모를때마다 여기로 와서 보곤 합니다.
마지막 g의 엇각에서 살짝 갸우뚱했는데 교점을 가리고 보니 보이는군요. 감사합니다. ^^
책 출판까지 하셨다니 주위에 수학책 물어보면 많이 추천하겠습니다. ^^
주변에 추천 좀 많이 해주세요. ㅎㅎ
비밀댓글입니다
직선의 개수는 중요하지 않아요.
1에서 a가 왼쪽 위, 동위각이 i, e
2에서는 왜 g가 오른쪽 아래이고 j가 왼쪽 위 인거죠..??
1에서 l과 m의 교각 중 왼쪽 위가 i면
2에서도 오른쪽 아래의 맞꼭지각인 왼쪽 위는 i여야 하는거 아닌가요???
이해가 잘 안가네요 ㅠ
이 위치가 고정된 게 아니에요. 기준이 어디냐에 따라서 달라져요.
서울에서 보면 강원도는 동쪽에 있지만 독도에서 보면 서쪽에 있는 것처럼요.
문제 바로 아래 나오는 내용처럼 교점이 3개면 점을 하나씩 가려보세요. 그러면 남은 두 교점을 공통으로 지나는 직선이 하나 있어요.
이 공통으로 지나는 직선이 위아래를 나누는 직선인지 좌우를 나누는 직선인지에 따라 기준이 달라지는 거예요.
1에서는 직선 l이 위아래를 나누는 기준이지만 2에서는 직선 l이 좌우를 나누는 기준이에요.
비밀댓글입니다
문제가 어려워요.
각이 세 개일 때는 각을 하나 가리고 해보세요. 손으로 가리고 짚어가면서 천천히 해보세요.
d의 엇각은 무엇인가요?
j요
오타
문제 3번에 '각은 각'이요.
네, 고쳤어요.
두번째 각 g엇각 설명에서 각j를 엇각으로 찾는 부분에서 왜 각c는 선 사이에 있는 각이 안되는건가요... 나이먹고 다시 공부하는 중이라 이해가 빨리빨리 되질 않네요 ㅎㅎ
c는 동위각이에요.
직선 세 개가 만날 때 맞꼭지각의 개수가 몇개에요!
세 직선이 한 점에서 만날 때라면 6쌍이요.
비밀댓글입니다
맞꼭지각일때 변의 길이는 같아지나요?
변의 길이는 전혀 상관이 없어요.