기찻길은 선로가 두 개예요. 이 선로는 간격이 일정해서 아무리 멀리까지 가도 서로 만나지 않아요. 이렇게 한 평면 위에 있는 두 직선이 만나지 않을 때 두 직선은 평행하다고 해요.
평행한 두 직선을 줄여서 평행선이라고 하고 기호로는 //로 나타내요. 평행한 직선 두 개를 오른쪽으로 약간 기울여서 그린 모양이죠.
두 직선 l, m이 평행하면 l //이라고 쓰는 겁니다. 거꾸로 l // m이라고 되어있으면 l과 m이 평행하다는 뜻이고요.
평행선의 성질
평행선에는 중요한 성질 두 가지가 있는데, 바로 맞꼭지각, 동위각, 엇각에서 공부했던 동위각과 엇각이에요.
맞꼭지각은 마주 보고 있어서 각의 크기가 같다고 했어요. 그런데 동위각과 엇각은 크기가 다를 수 있지요. 하지만 평행선에서는 이게 조금 달라지거든요.
평행선에서 동위각의 크기는 같다.
평면 위에서 평행선과 다른 한 직선이 만나서 생기는 교각 중에는 맞꼭지각도 있고 동위각, 엇각이 있어요.
위 그림은 평행하지 않은 두 직선 l, m이 다른 직선 n과 만났을 때 생기는 교각의 모습이에요. ∠d와 ∠h가 동위각이죠? 그런데 얼핏 봐도 두 각의 크기는 달라요.
다음은 평행선과 한 직선이 만나서 생기는 교각이에요.
∠a와 ∠b의 크기가 어떤가요?
아래에 있는 직선 m을 그대로 위로 밀어 올린다고 생각해보죠. 그대로 위로 올리면 l과 만나겠죠? 두 직선은 평행하니까 단순히 만나기만 하는 게 아니라 완전히 일치하게 돼요. l이 m과 일치하니까 l과 이루는 ∠a이나 m과 이루는 ∠b가 서로 같은 건 당연하지요.
종이를 대서 실제로 위로 움직여서 확인 보세요.
평행선에서 엇각의 크기는 같다.
엇각은 서로 대각선 방향에 있는 각이라고 했어요. 그리고 엇각을 찾는 다른 방법은 동위각의 맞꼭지각을 찾는 거라고 했지요?
앞에서 동위각은 서로 크기가 같다고 했어요. 그리고 맞꼭지각도 서로 크기가 같죠? 따라서 원래 각의 동위각의 맞꼭지각인 엇각도 원래의 각과 크기가 같게 되는 거지요.
원래 각 = 동위각 = 맞꼭지각
위 그림에서 ∠b와 ∠c는 서로 엇각이에요.
∠b는 ∠a와 동위각이라서 크기가 같아요. ∠a와 ∠c는 맞꼭지각이니까 크기가 같죠.
∠b = ∠a = ∠c 관계가 있어서 결국 ∠b = ∠c가 되는 거죠.
평행선의 성질
평면 위의 평행선이 다른 직선과 만날 때
동위각의 크기가 같다
엇각의 크기가 같다.
다음 그림에서 l, m이 서로 평행일 때 x의 크기를 구하여라.
그림만 보면 위와 아래에 평행선이 있어요. 그런데 구하는 각은 평행선에 있는 각이 아니라 중간에 떠 있는(?) 각이죠? 이럴 때는 각에 선을 하나 그어주세요. 위, 아래에 있는 선과 평행해야 합니다. 그러면 총 세 개의 평행선이 생기는 거예요.
x가 새로 그은 선 때문에 둘로 나뉘었어요. 윗부분(①)과 아랫부분(②)을 더해서 x를 구해볼까요? 윗부분은 45°와 엇각이에요. 평행선에서 엇각은 크기가 같으니까 여기는 45°가 될 거예요.
아랫부분은 110° 부분을 볼까요? 110° 아래에 있는 각은 70°죠? 직선이니까 평각(180°)잖아요. 그럼 70°인 곳과 x의 아랫부분(②)은 동위각으로 크기가 같아요. 따라서 x의 아랫부분(②)은 70°예요.
x를 두 부분으로 나눴는데, ①은 45°, ②는 70°이니까 둘을 더해서 x = 115°네요.
평행선의 조건
어떤 두 직선이 있어요. 그 두 직선이 얼핏 봐서는 평행한 것처럼 보이지만 평행인지 아닌지 확신할 수가 없어요. 이때 두 직선이 평행인지 아닌지 어떻게 판단할까요?
원리는 바로 앞에서 공부한 평행선의 성질 두 가지를 이용하는 거예요.
평행선은 다른 직선과 만나서 생기는 각 중에서 동위각과 엇각의 크기가 같아요..
그러니까 그림에 선이 그어져 있다면 그 각을 보고, 동위각과 엇각의 크기가 같으면 두 직선은 평행선이고 다르면 평행선이 아닌 것이죠.
평행선에서는 동위각과 엇각이 같다. → 동위각과 엇각이 같은 두 직선은 평행선
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맞꼭지각, 동위각, 엇각
수직과 직교, 수선, 수선의 발, 점과 직선 사이의 거리
평면의 결정 조건
맨 위에 평행선 기호 설명하시는 부분에 오타있습니다.
어느 부분인지 좀 더 자세히 얘기해 주세요.
제일 위에 큰제목에서요
평행성의 성질,
바로 아래 제목 다시 쓰신 부분에도
평행성의 성질,
평행성 -> 평행선
제목을 틀렸네요.
제목 평행성이 틀렸구요
두번째 줄'에요'가 아니라 받침이 없기 때문에 '-예요'입니다.
또, 평행선에서 동위각의 크기는 같다. 아래 쪽에 명사로 끝나는 단어들 뒤에는 '이에요'가 아니라 '이예요'입니다.
평행선의 조건에서 5줄 위로 가면 구해볼까요를 구하볼까요로 쓰셨구요
정리해볼까요에서 위로 두번째 줄에 다르면을 다른면이라고 쓰셨습니다.
님 저 으니인데여 ㅎㅎ 바꿨음 닉넴
이건 선 모양이 저렇게 되었을때 Z모양으로 해서 각을 구해보니까 쉽네여 그리고 다른것도 쉽게 생각하니까 잘되는듯 감사ㅐㅎ요
평행선에서는 동위각, 엇각 찾는 게 제일 중요한데, 잘 이해하셨군요.
비밀댓글입니다
종이 테이프는 직사각형 모양이죠? 윗변과 아랫변만 보세요.
종이 테이프를 비스듬하게 접으면 윗변과 아랫변이 똑같이 접혀요. 이때 각이 생기는데 윗변에 생기는 각과 아랫변에 생기는 각의 크기가 같죠. 이게 동위각이에요.
감사합니다! 좀 어려운 부분이였는데 쉽게 이해됬네요!
어렵게 생각하면 어렵고 싶다고 생각하면 쉬운 거죠.
가장 아래 문제를 풀때 처음에 딱 보면 평행선 같은데 그래도 수학적인 사고방식으로 하면 확실히 평행선이라고 증명된게 아니기 때문에(문제에 평행선이라는 가정이 없기 때문에) 문제풀때 평행선이 아니라는 가정하에서 이문제를 어떻게 풀어야 하지? 라는 생각이 들어서 답이 안나오더군요.
평행선으로 가정하고 풀어야지 하고 겨우 답을 찾았습니다.
마지막에 평행선의 조건을 읽어 봤는데 이해는 되는데 이 문제에서는 저 두직선이 평행선이라는 조건에 부합되는지 어떻게 찾을수 있을까요?
이 문제의 엇각과 동위각이 같은지 어떻게 확인할수 있는지 궁금해요.
문제에 평행선이라는 가정이 있어야 하는데, 빠졌네요.
내용을 추가했습니다.
평행선 상에서 동위각의 크기가 왜 같은지 수학적으로 증명해 주실 수 있나요?
단순히 '위로 올렸을 때 일치하게 된다' 라는 표현은 너무 추상적인 것 같습니다.
왜 위로 올렸을 때 일치하는 지를 알려주세요
댓글로 증명하기는 어려워요.
동위각이나 엇각이 있는 꼭짓점에서 평행선으로 수선을 내려 직각삼각형 2개 만들어요. 이 두 직각삼각형이 합동인 것을 이용해서 증명할 수 있습니다.
저... 혹시 저거 엇각 인것 같습니다..
아무리봐도 엇각이에요.. 마지막 문제에서 70도부분 엇각이여야 이해가됩니다.ㅜ
풀이에서 이용한 110도 아래 있는 각은 동위각이고, 110도 왼쪽에 있는 각이 엇각이에요.
두 각은 맞꼭지각으로 크기가 70도로 같고요.
http://mathbang.net/82
ㅋ 아 죄송합니다.. 제가 난독증이 있었나보네요.
유용하네요
어려울떄 보면 쓸모도 있구요
어렵네