평행선의 성질, 평행선에서 동위각과 엇각

기찻길은 선로가 두 개예요. 이 선로는 간격이 일정해서 아무리 멀리까지 가도 서로 만나지 않아요. 이렇게 한 평면 위에 있는 두 직선이 만나지 않을 때 두 직선은 평행하다고 해요.

평행한 두 직선을 줄여서 평행선이라고 하고 기호로는 //로 나타내요. 평행한 직선 두 개를 오른쪽으로 약간 기울여서 그린 모양이죠.

두 직선 l, m이 평행하면 l //이라고 쓰는 겁니다. 거꾸로 l // m이라고 되어있으면 l과 m이 평행하다는 뜻이고요.

평행선에는 중요한 성질 두 가지가 있는데, 바로 맞꼭지각, 동위각, 엇각에서 공부했던 동위각과 엇각이에요.

맞꼭지각은 마주 보고 있어서 각의 크기가 같다고 했어요. 그런데 동위각과 엇각은 크기가 다를 수 있지요. 하지만 평행선에서는 이게 조금 달라지거든요.

평면 위에서 평행선과 다른 한 직선이 만나서 생기는 교각 중에는 맞꼭지각도 있고 동위각, 엇각이 있어요.

동위각, 엇각

위 그림은 평행하지 않은 두 직선 l, m이 다른 직선 n과 만났을 때 생기는 교각의 모습이에요. ∠d와 ∠h가 동위각이죠? 그런데 얼핏 봐도 두 각의 크기는 달라요.

다음은 평행선과 한 직선이 만나서 생기는 교각이에요.

평행선에서 동위각

∠a와 ∠b의 크기가 어떤가요?

아래에 있는 직선 m을 그대로 위로 밀어 올린다고 생각해보죠. 그대로 위로 올리면 l과 만나겠죠? 두 직선은 평행하니까 단순히 만나기만 하는 게 아니라 완전히 일치하게 돼요. l이 m과 일치하니까 l과 이루는 ∠a이나 m과 이루는 ∠b가 서로 같은 건 당연하지요.

종이를 대서 실제로 위로 움직여서 확인 보세요.

엇각은 서로 대각선 방향에 있는 각이라고 했어요. 그리고 엇각을 찾는 다른 방법은 동위각의 맞꼭지각을 찾는 거라고 했지요?

앞에서 동위각은 서로 크기가 같다고 했어요. 그리고 맞꼭지각도 서로 크기가 같죠? 따라서 원래 각의 동위각의 맞꼭지각인 엇각도 원래의 각과 크기가 같게 되는 거지요.

원래 각 = 동위각 = 맞꼭지각

평행선에서 엇각

위 그림에서 ∠b와 ∠c는 서로 엇각이에요.

∠b는 ∠a와 동위각이라서 크기가 같아요. ∠a와 ∠c는 맞꼭지각이니까 크기가 같죠.

∠b = ∠a = ∠c 관계가 있어서 결국 ∠b = ∠c가 되는 거죠.

평행선의 성질
평면 위의 평행선이 다른 직선과 만날 때
동위각의 크기가 같다
엇각의 크기가 같다.

다음 그림에서 l, m이 서로 평행일 때 x의 크기를 구하여라.

그림만 보면 위와 아래에 평행선이 있어요. 그런데 구하는 각은 평행선에 있는 각이 아니라 중간에 떠 있는(?) 각이죠? 이럴 때는 각에 선을 하나 그어주세요. 위, 아래에 있는 선과 평행해야 합니다. 그러면 총 세 개의 평행선이 생기는 거예요.

x가 새로 그은 선 때문에 둘로 나뉘었어요. 윗부분(①)과 아랫부분(②)을 더해서 x를 구해볼까요? 윗부분은 45°와 엇각이에요. 평행선에서 엇각은 크기가 같으니까 여기는 45°가 될 거예요.

아랫부분은 110° 부분을 볼까요? 110° 아래에 있는 각은 70°죠? 직선이니까 평각(180°)잖아요. 그럼 70°인 곳과 x의 아랫부분(②)은 동위각으로 크기가 같아요. 따라서 x의 아랫부분(②)은 70°예요.

x를 두 부분으로 나눴는데, ①은 45°, ②는 70°이니까 둘을 더해서 x = 115°네요.

어떤 두 직선이 있어요. 그 두 직선이 얼핏 봐서는 평행한 것처럼 보이지만 평행인지 아닌지 확신할 수가 없어요. 이때 두 직선이 평행인지 아닌지 어떻게 판단할까요?

원리는 바로 앞에서 공부한 평행선의 성질 두 가지를 이용하는 거예요.

평행선은 다른 직선과 만나서 생기는 각 중에서 동위각과 엇각의 크기가 같아요..

그러니까 그림에 선이 그어져 있다면 그 각을 보고, 동위각과 엇각의 크기가 같으면 두 직선은 평행선이고 다르면 평행선이 아닌 것이죠.

평행선에서는 동위각과 엇각이 같다. → 동위각과 엇각이 같은 두 직선은 평행선

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