함수와 좌표평면에 대해서 알아봤어요. 이제 이 둘을 결합해보죠. 그게 바로 함수의 그래프에요.

함수별로 그래프를 그리는 방법과 특징이 달라요. 공통점과 차이점을 잘 이해하고 있어야 해요.

함수는 식으로 나타낼 수도 있고, 그래프로 나타낼 수도 있어요. 함수를 보고, 함수의 그래프를 그릴 수도 있어야 하고, 반대로 함수 그래프를 보고 함수식을 찾을 수도 있어야 해요.

이 글에서는 함수의 그래프가 뭔지, 함수 그래프는 어떻게 그리는 지, 함수별로 그래프는 어떻게 다른지를 비교해볼 거예요.

함수의 그래프

y = 2x라는 함수가 있을 때, (-3, -6), (-2, -4), (-1, -2), (0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6) 같은 순서쌍을 만들 수 있어요. 이 순서쌍들을 좌표평면에 나타내 보면 아래 그림처럼 되지요.

함수의 그래프 - 순서쌍을 좌표평면에 나타내기

그런데 x가 정수일 때 뿐 아니라 유리수일 때도 순서쌍을 만들 수 있겠죠? 0.1, 0.11, 0.111, …, 0.2, 0.22, … 처럼요. 그러면 이런 x에 대응하는 y값들을 구해서 순서쌍을 만들고, 이 순서쌍을 좌표평면에 나타내면 점들이 모여서 선이 돼요. 이렇게 함수에서 만들 수 있는 순서쌍들을 좌표평면에 나타낸 것을 함수의 그래프라고 해요.

y = 2x의 함수에서 순서쌍을 만들어서 좌표평면에 나타내면 아래와 같은 그래프를 그릴 수 있어요.

함수의 그래프 - y = ax (a > 0)

x, y의 범위를 좁게 해서 함수의 그래프를 그려서 그렇지 실제로는 왼쪽 아래와 오른쪽 위로 계속 이어지는 그래프에요.

함수 y = ax (a ≠ 0)의 그래프

위에서 그렸던 y = 2x의 그래프가 바로 a = 2인 y = ax 형태의 그래프죠? 어떤 특징이 있나요? 일단 원점 O(0, 0)를 지나고 오른쪽 위로 향하는 직선이에요. 제1사분면과 제3사분면을 지나는 그래프네요.

이번에는 y = -2x의 그래프를 그려보죠. 마찬가지로 순서쌍을 만들고 그 순서쌍을 좌표평면에 찍어서 나타내요.

함수의 그래프 - y = ax (a < 0)

y = -2x의 그래프도 원점 O (0, 0)를 지나요. 그리고 오른쪽 아래로 향하는 직선이고, 제2사분면과 제4사분면을 지나네요.

함수 y = ax (a ≠0)의 그래프에서 x = 0이면 y = 0이니까 원점 O(0, 0)를 지나요. 그리고 a > 0이면 x와 y의 부호가 같죠? 그래서 제1사분면과 제3사분면을 지나는 거예요. 반대로 a < 0이면 x의 부호와 y의 부호가 반대라서 제2사분면과 제4사분면을 지나는 거죠.

함수의 그래프 - y = ax (a ≠ 0)

y = ax (a ≠ 0)의 그래프
a > 0 a < 0
원점 (0, 0)을 지나는 직선
오른쪽 위로 향하는 직선 오른쪽 아래로 향하는 직선
제1사분면, 제3사분면 제2사분면, 제4사분면

함수 y = ax (a ≠ 0) 그래프 그리는 법

함수 y = ax (a ≠ 0)의 그래프는 원점을 지나는 직선이에요. 직선은 점 두 개만 있으면 그릴 수 있어요. y = ax의 그래프는 원점 O를 지나니까 원점이 아닌 다른 점의 좌표 하나만 더 알면 그릴 수 있다는 얘기예요.

y = 2x의 그래프를 예로 들면, 원점 (0, 0)과 (1, 2) 두 점을 연결해서 그리면 돼요. 굳이 x = 2, 3, 4, …  이런 점들의 순서쌍을 구할 필요가 없다는 뜻이죠. y = -2x도 원점 (0, 0)과 (1, -2) 두 점을 연결해서 그래프를 그릴 수 있어요.

함수 y = a/x (a ≠ 0)의 그래프

이번에는 y = a/x(a ≠ 0)의 함수의 그래프는 어떤 특징이 있는지 알아볼까요?

y = y = a/x 그래프를 그려보죠.

먼저 순서쌍을 찾아보면 …, (-12, -1), (-6, -2), (-4, -3), (-3, -4), (-2, -6), (-1, -12), (1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1), …이 있네요. 물론 중간마다 x = 0.1, 0.11, …, 0.2, 0.22, … 같은 순서쌍도 찾을 수 있겠죠. 이런 점들을 좌표평면에 표시하면 아래처럼 돼요. 직선이 아니라 x축, y축에 가까워지면서 한없이 뻗어 나가는 곡선이 2개가 그려졌어요. 이 곡선은 제1사분면과 제3사분면을 지나네요.

함수의 그래프 - y = a/x (a > 0)

y = -y = a/x의 그래프도 그려보죠.

먼저 순서쌍을 찾으면 …, (-12, 1), (-6, 2), (-4, 3), (-3, 4), (-2, 6), (-1, 12), (1, -12), (2, -6), (3, -4), (4, -3), (6, -2), (12, -1), …이 있네요. 마찬가지로 정수가 아니라 유리수 순서쌍도 무수히 많을 거고요. 좌표평면에 점을 찍어봤더니 아래 그림처럼 그래프가 그려졌어요. x축, y축에 가까워지면서 한없이 뻗어 나가는 2개의 곡선인데, 곡선은 제2사분면과 제4사분면을 지나가요.

함수의 그래프 - y = a/x (a < 0)

함수 y = a/x (a ≠ 0)에서 분수의 분모인 x는 0이 될 수 없으니까 y축과 만나지 않아요. 또 a ≠ 0이므로 y ≠ 0이어서 x축과도 만나지 않죠. 대신 x축, y축에 한없이 가까워지지만 할 뿐이에요. x ≠ 0, y ≠ 0이니까 원점도 지나지 않죠. 모양도 직선이 아니라 곡선이에요. 그리고 a > 0이면 x와 y의 부호가 같으니까 제1사분면과 제3사분면을 지나요. 반대로 a < 0이면 x의 부호와 y의 부호가 반대라서 제2사분면과 제4사분면을 지나는 거죠.

함수의 그래프 - y = a/x (a ≠ 0)

y = a/x (a ≠ 0)의 그래프
a > 0 a < 0
x축, y축에 한없이 가까워지는 한 쌍의 곡선
제1사분면, 제3사분면 제2사분면, 제4사분면

함수 y = a/x(a ≠ 0)의 그래프 그리기

y = a/x는 직선이 아니라 곡선이라서 가능하면 많은 순서쌍을 찾아야 해요. 그래서 그 순서쌍을 좌표평면에 나타내고, 곡선으로 연결하는 거죠. 기본적인 형태는 같아요. 지나는 점만 다르다고 생각하면 돼요.

몇 번 연습해보면 그릴 수 있어요.

다음에 그려진 함수의 그래프를 보고, 함수를 구하여라.
함수의 그래프 예제

(1)은 제2사분면과 제3사분면을 지나는 직선이에요. y = ax의 그래프인데, a < 0인 그래프죠. 원점 O와 (1, -3)을 지나요. y = ax에 x = 1, y = -3을 대입하면 a를 구할 수 있어요.
y = ax
-3 = a × 1
a = -3

y = -3x의 그래프네요.

(2)는 제1사분면과 제3사분면을 지나는 곡선이에요. y = a/x의 그래프라는 얘기죠. 이 그래프는 (1, 5)를 지나네요. x = 1, y = 5를 대입해보죠.

y = a/x

의 그래프군요.

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함수의 활용

정리해볼까요

함수의 그래프

  • y = ax (a ≠ 0)의 그래프
    • 원점 (0, 0)을 지나는 직선
    • a > 0이면 제1사분면, 제3사분면을 지나고 오른쪽 위로 향함.
    • a < 0이면 제2사분면, 제4사분면을 지나고 오른쪽 아래로 향함.
  • y = a/x (a ≠ 0)의 그래프
    • x축, y축에 한없이 가까워지는 매끄러운 한 쌍의 곡선
    • a > 0이면 제1사분면, 제3사분면
    • a < 0이면 제2사분면, 제4사분면
 
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