정수의 사칙연산 세 번째, 정수의 곱셈이에요.

정수의 곱셈정수의 덧셈 둘 다 부호가 같은 두 정수와 부호가 다른 두 정수를 계산할 때의 방법이 달라서 둘을 헷갈릴 수 있어요.

정수의 덧셈과 곱셈은 두 가지 경우로 나누는 것 같지만 각 경우에서 결과의 부호 붙이는 방법이 다르니까 잘 보세요. 부호가 같은 두 정수를 더하면 공통부호에 절댓값의 합을, 부호가 다른 두 정수를 더하면 절댓값이 큰 정수의 부호에 절댓값의 차를 넣었다는 걸 기억하고 있죠?

정수의 곱셈에서도 정수의 덧셈에서 성립했던 교환법칙과 결합법칙이 성립하는지도 알아볼 거예요.

정수의 곱셈

정수의 덧셈, 덧셈에 대한 교환법칙, 결합법칙에서 계산하려는 두 정수의 부호가 같을 때와 다를 때로 나눠서 했죠? 정수의 곱셈에서도 부호가 같을 때와 다를 때 두 가지 경우로 나눠서 설명할게요.

부호가 같은 두 정수의 곱셈

부호가 같은 두 정수를 곱하면 곱한 결과는 (+)에요. 양의 정수죠.

7 × 4 = 28의 양변을 양의 정수로 써보면
(+7) × (+4) = (+28)이 돼요. 양의 정수 두 개를 곱하면 결과도 양의 정수가 나오는 거죠. 부호는 (+), 숫자는 절댓값의 곱이에요.

(-7) × (-4)는 얼마일까요? 두 양의 정수를 곱할 때와 마찬가지로 두 음의 정수를 곱하면 양의 정수가 돼요. 절댓값의 곱이죠. 그래서 (-7) × (-4) = (+28)이에요.

부호가 다른 두 정수의 곱

부호가 다른 두 정수를 곱하면 무조건 결과는 음의 정수예요. 두 정수의 절댓값의 곱에 (-) 부호를 붙여요.

(-7) × (+4)는 두 정수의 부호가 다르니까 (-)고, 절댓값의 곱이 28이라서, (-7) × (+4) = (-28)이에요.

(+7) × (-4)도 두 정수의 절댓값의 곱 28에 두 정수의 부호가 다르니까 (-)를 붙여서 (+7) × (-4) = (-28)이 돼요.

정수의 곱은 두 정수의 부호가 같으냐 다르냐에 따라 결과의 부호가 달라지긴 하지만 어찌 됐던지 간에 절댓값은 곱해요.

부호가 같은 두 정수를 곱: 두 정수의 절댓값의 곱에 (+) 부호
(+) × (+) = (+), (-) × (-) = (+)
 
부호가 다른 두 정수의 곱: 두 정수의 절댓값의 곱에 (-) 부호
(+) × (-) = (-), (+) × (-) = (-)

다음을 계산하여라.
(1) (+4) × (-2)       (2) (+3) × (+2) × (-2) × (+4)

곱하는 두 정수의 부호가 같으면 결과는 (+), 두 정수의 부호가 다르면 (-)에요. 숫자는 무조건 절댓값의 곱이고요.

(1)은 두 정수의 부호가 다르니까 (-)겠네요. (+4) × (-2) = (-8)

(2)는 식이 조금 긴데요, 앞에서부터 차례대로 두 개씩 곱해보죠.
(+3) × (+2) × (-2) × (+4) = (+6) × (-2) × (+4) = (-12) × (+4) = (-48)

거듭제곱, 여러 정수의 곱

거듭제곱

거듭제곱은 같은 수나 문자가 여러 번 곱해져 있는 걸 말해요. (+1)의 거듭제곱을 볼까요?

(+1)1 = (+1)
(+1)2 = (+1) × (+1) = (+1)
(+1)3 = (+1)2 × (+1) = (+1)
(+1)4 = (+1)3 × (+1) = (+1)
(+1)5 = (+1)4 × (+1) = (+1)

(+1)의 거듭제곱에는 모두 양의 정수만 있어요. 음의 정수가 하나도 없지요. 그랬더니 결과가 (+)가 됐네요. 다음에는 (-1)의 거듭제곱을 보죠.

(-1)1 = (-1)
(-1)2 = (-1) × (-1) = (+1)
(-1)3 = (-1)2 × (-1) = (+1) × (-1) = (-1)
(-1)4 = (-1)3 × (-1) = (-1) × (-1) = (+1)
(-1)5 = (-1)4 × (-1) = (+1) × (-1) = (-1)

어떤 특징이 있죠? 지수가 1, 3, 5면 결과가 (-1)이 나오고, 지수가 2, 4면 결과가 (+1)이 나와요. 이걸 좀 확장해서 지수가 홀수면 (-), 지수가 짝수면 (+)가 나온다고 말할 수 있죠.

여러 정수의 곱

(-1) × (-2) × (-3)을 구해보죠.
= (+2) × (-3)
= (-6)

(-1) × (-2) × (-3) × (-4) 는
= (+2) × (-3) × (-4)
= (-6) × (-4)
= (+24)

두 계산에서 어떤 특징이 있냐면 음의 정수를 홀수개 곱하면 결과가 (-)가 되고, 짝수개 곱하면 결과가 (+)가 된다는 거예요.

(+1)의 거듭제곱은 양의 정수가 나왔죠? 음의 정수 없이 양의 정수만 곱하면 결과가 (+)가 돼요.

음의 정수의 거듭제곱에서 지수가 홀수면 홀수개의 음의 정수를 곱하므로 결과는 (-), 음의 정수의 거듭제곱에서 지수가 짝수면 짝수개의 음의 정수를 곱하므로 결과는 (+)가 돼요. 위 세 가지를 하나로 합쳐보죠.

거듭제곱, 여러 정수의 곱에서
음수의 지수 또는 곱하는 음수의 개수가 홀수 → 결과는 (-)
음수의 지수 또는 곱하는 음수의 개수가 0 또는 짝수 → 결과는 (+)

다음을 계산하여라.
(1) (-2)3 × (-3)2
(2) (+3) × (+2) × (-2) × (+4)

거듭제곱, 여러 정수의 곱에서 음의 정수의 개수가 홀수개면 결과는 (-), 0개 또는 짝수개면 (+)에요.

(1)에서 음수 (-2)의 지수가 홀수인 3이므로 결과는 (-)겠네요. 그리고 음수 (-3)의 지수는 짝수인 2니까 결과는 (+)고요.
(-2)3 × (-3)2
= (-8) × (+9) = (-72)

(2)에는 음의 정수가 1개에요. 홀수개니까 결과는 (-)에요. 그리고 나머지 숫자들의 절댓값을 다 곱해주면 되죠.
(+3) × (+2) × (-2) × (+4)
= -(3 × 2 × 2 × 4) = (-48)

곱셈에 대한 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙

정수의 덧셈에서는 교환법칙, 결합법칙이 성립하지만, 정수의 뺄셈에서는 성립하지 않는다고 했어요. 그럼 정수의 곱셈에서는 두 법칙이 성립할까요?

교환법칙은 연산기호 좌우에 있는 정수의 자리를 바꿔서 계산해도 결과가 같다는 걸 보이면 돼요. 또 결합법칙은 괄호의 위치를 바꿔가며 계산한 결과가 같다는 것을 보이면 되고요.

(-7) × (-4) = (+28)이에요.
(-4) × (-7) = (+28)로 × 기호 양쪽의 수의 자리를 바꿔도 결과가 같죠? 따라서 곱셈에서도 교환법칙이 성립해요.

{(-7) × (-4)} × (+2) = (+28) × (+2) = (+56)이고,
(-7) × {(-4) × (+2)} = (-7) × (-8) = (+56)으로 괄호를 어디에 치느냐에 상관없이 두 식의 값이 같죠. 결합법칙도 성립해요.

정수의 곱셈에 대한 교환법칙과 결합법칙이 성립
a × b = b × a
(a × b) × c = a × (b × c)

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정리해 볼까요

정수의 곱셈

  • 부호가 같은 두 정수의 곱: 절댓값의 곱에 (+) 부호
  • 부호가 다른 두 정수의 곱: 절댓값의 곱에 (-) 부호

거듭제곱, 여러 정수의 곱

  • 지수 또는 음수의 개수가 홀수: (-)
  • 지수 또는 음수의 개수가 0, 짝수: (+)

곱셈에 대한 교환법칙, 결합법칙

  • a × b = b × a
  • (a × b) × c = a × (b × c)
 
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