정수의 덧셈, 덧셈에 대한 교환법칙, 결합법칙

숫자를 처음 배우고 난 다음에 하는 거 뭔가요? 덧셈, 뺄셈이죠? 자연수, 분수, 소수를 처음 배웠을 때 그렇게 했잖아요.

이제 정수를 공부했으니까 정수의 덧셈, 정수의 뺄셈을 배워봐야겠죠? 첫 번째로 정수의 덧셈입니다.

정수의 덧셈의 기본 원리는 수직선을 이용하면 이해하기 쉬워요. 그렇다고 계산할 때마다 수직선을 긋는 건 어렵겠죠. 그래서 실제 계산에서는 절댓값을 이용해요. 정수의 덧셈에서 절댓값을 어떻게 이용하는지 공부해보죠.

또, 정수의 덧셈에는 특이한 법칙이 두 개 있어요. 교환법칙과 결합법칙이라고 하는데, 이게 뭔지도 알아보고요.

정수의 덧셈

먼저 정수는 부호와 함께 쓰니까 +, - 등의 연산기호와 헷갈릴 수 있어요. 그래서 정수는 (+3), (-2), (+10)처럼 괄호를 써요.

정수의 덧셈을 더하는 두 정수의 부호가 같을 때와 다를 때로 나눠서 살펴봐요.

정수의 부호가 같을 때

양의 정수끼리 더하고, 음의 정수끼리 더하는 경우예요.

2 + 3 = 5 에요. 자연수의 덧셈인데, 자연수는 양의 정수니까 이 식은 (+2) + (+3) = (+5)라고 쓸 수 있겠죠? 부호가 같은 양의 정수의 덧셈은 자연수의 덧셈과 같아요. 그냥 절댓값만 더해주면 돼요. 그리고 양의 정수니까 (+) 기호를 붙여주는 거죠.

수직선에서 오른쪽으로 이동하면 (+)고, 왼쪽으로 이동하면 (-)에요. 오른쪽으로 다섯 칸 이동하면 (+5), 왼쪽으로 다섯 칸 이동하면 (-5)죠.

(+2) + (+3)을 수직선에서 표현하면 아래 그림처럼 돼요. 마지막 화살표가 (+5) 위에 있죠? 위에서 계산한 결과와 같네요.

음의 정수끼리 더하는 것도 양의 정수끼리 더하는 것과 같아요. 두 수를 더하고 부호만 붙여주는 거죠.

(-3) + (-2)에서 부호는 (-)고 절댓값은 2와 3이에요. 두 수의 절댓값을 더하고 앞에 부호만 붙여주는 거니까 (-3) + (-2) = (-5)가 돼요.

수직선을 한 번 보세요. 0에서 왼쪽으로 세 칸 가고, 다시 왼쪽으로 두 칸 간 건 (-3) + (-2) 한 것과 같아요. (-5) 위에 있죠? 식으로 구한 것과 같아요.

정수의 부호가 다를 때

이제는 양의 정수와 음의 정수를 더할 때에요.

(+3) + (-2)를 보죠. 아래 수직선을 보세요.

(+3)은 오른쪽을 세 칸, (-2)는 왼쪽으로 두 칸이에요. 그랬더니 (+1)이 나왔어요.

(+2) + (-3)는 오른쪽으로 두 칸, 왼쪽으로 세 칸이죠? (-1)이 나왔네요.

부호가 다른 두 정수의 덧셈에서 부호는 절댓값이 더 큰 정수의 부호를 따르고 숫자는 두 정수의 절댓값의 차를 써요. (+3) + (-2)에서는 (+3)의 절댓값이 크니까 부호는 (+), 절댓값의 차는 1이죠. 그래서 (+1)이라는 결과가 나오는 거예요.

(+2) + (-3)에서는 (-3)의 절댓값이 크니까 부호는 (-), 절댓값의 차는 1이죠. 그래서 (-1)이에요.

부호가 같은 정수의 덧셈: 절댓값을 더해주고 부호는 그대로
부호가 다른 정수의 덧셈: 절댓값의 차에 절댓값이 큰 정수의 부호

다음을 계산하여라.
(1) (+4) + (+2)       (2) (-2) + (-3)
(3) (-3) + (+6)       (4) (+4) + (-8)

(1)번 (+4) + (+2)는 부호가 같은 두 정수의 덧셈이니까 부호는 그대로 쓰고, 절댓값만 더해주면 돼요. (+4) + (+2) = (+6)

(2)번 (-2) + (-3)도 부호가 같으므로 공통 부호인 (-)를 그대로 쓰고, 절댓값의 합은 5이므로 (-2) + (-3) = (-5)

(3)번 (-3) + (+6)는 부호가 다른 정수의 덧셈이네요. 부호가 다를 때는 부호는 절댓값이 큰 쪽의 부호를 따르고, 절댓값의 차를 쓰죠. 절댓값이 (+6)이 더 크니까 부호는 (+)에요. 절댓값의 차가 3이니까 결과는 (-3) + (+6) = (+3)이 되죠.

(4)번 (+4) + (-8)에서 절댓값이 (-8)이 더 크니까 부호는 (-)에요. 절댓값의 차는 4니까 (-4) + (-8) = (-4)가 되는군요.

덧셈의 연산법칙

먼저 교환법칙이에요. 교환이라는 말은 바꾸는 거잖아요. 교환법칙에서는 정수의 자리를 바꿔요. (+4) + (+2)에서 두 정수의 자리를 바꿔서 (+2) + (+4)처럼 쓰는 거죠. 4 + 2와 2 + 4는 둘 다 6으로 서로 같죠? 그러니까 (+4) + (+2) = (+2) + (+4)도 되는 거예요. 덧셈에서는 더하는 두 수의 자리를 바꿔도 계산한 결과가 같다는 게 교환법칙이에요.

결합법칙에서 결합은 괄호로 묶는 거예요. 괄호로 묶인 곳을 먼저 계산하는 건 알고 있죠?

2 + 3 + 4를 보세요. 앞의 두 수를 먼저 계산하나, 뒤의 두 수를 먼저 계산하다 값이 같아요.
(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9
2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9

정수로 바꿔볼게요.
{(+2) + (+3)} + (+4) = (+2) + {(+3) + (+4)}로 쓸 수 있어요.

괄호를 어디에 치느냐에 상관없이 결과가 같다는 거지요. 괄호를 치는 이유는 계산을 먼저 하라는 뜻이니까 어떤 걸 먼저 계산하든지 결과가 같다는 얘기예요.

뺄셈에서는 두 법칙이 성립하지 않아요. 이유는 정수의 뺄셈을 공부한 후에 알아보죠.

덧셈에 대한 연산법칙
덧셈일 때만 가능. 뺄셈에서는 안 됨.
계산 순서에 상관없이 결과가 같다.
1. 덧셈에 대한 교환법칙: (+) 기호 양쪽의 수의 자리를 바꿔도 계산 결과가 같음. a + b = b + a
2. 덧셈에 대한 결합법칙: 어느 것이나 두 개씩 묶어서 계산해도 결과가 같음. (a + b) + c = a + (b + c)

다음 보기 중 잘못된 것을 고르시오.
(1) (+3) + (-1) = (-1) + (+3)
(2) {(+3) + (-1)} + (+2) = (+3) + {(-1) + (+2)}
(3) (+2) + (-1) - (-3) = (+2) + (-3) - (-1)
(4) {(+3) + (-2)} + {(-2) - (-3)} = {(-2) - (-3)} + {(+3) + (-2)}

교환법칙과 결합법칙이 제대로 적용되었는지 찾아보는 문제에요.

(1)은 (+) 기호 양쪽에 있는 두 정수의 자리를 바꿨으므로 교환법칙에 의해 결과가 같고요.
(2)는 앞의 두 정수를 괄호를 묶었고, 뒤 두 개의 정수를 괄호로 다시 묶은 결합법칙이라서 결과가 같고요.
(3)은 뒤에 있는 두 정수의 자리를 바꿨는데, 가운데 기호가 (-)에요. 뺄셈에서는 교환법칙이 성립하지 않아서 틀렸어요.
(4)는 중괄호로 묶여 있는 두 정수를 한 덩어리로 봐야죠. 그래서 (+) 부호 양쪽에 있는 중괄호로 묶인 두 정수들의 자리를 바꿨으니까 교환법칙에 의해 결과가 같아요.
(3)번이 틀렸네요.

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정리해볼까요

정수의 덧셈

• 부호가 같을 때: 절댓값의 합에, 부호는 그대로
• 부호가 다를 때: 절댓값의 차에 절댓값이 큰 정수의 부호

덧셈에 대한 연산법칙

• 교환법칙: 두 수의 순서를 바꾸어 더하여도 결과가 같다. a + b = b + a
• 결합법칙: 세 정수에서 어느 두 수를 먼저 더하여도 그 결과는 같다. (a + b) + c = a + (b + c)

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