반비례
정비례와 반대인 경우를 볼까요?
넓이가 30cm2인 사각형을 만들려고 해요. 가로의 길이를 xcm, 세로의 길이를 ycm라고 할 때, x와 y의 관계를 알아보죠.
| 가로 길이 x (cm) | 1 | 2 | 3 | 5 | 6 | … |
| 세로 길이 y (cm) | 30 | 15 | 10 | 6 | 5 | … |
가로의 길이가 1cm → 2cm로 두 배가 되면 세로의 길이는 30cm → 15cm로 $\frac{1}{2}$배가 되고, 가로의 길이가 1cm → 3cm로 3배가 되면 세로의 길이는 30cm → 10cm로 $\frac{1}{3}$배가 되죠.
이처럼 x가 2배, 3배가 될 때, y는 $\frac{1}{2}$배, $\frac{1}{3}$배가 되는 걸 반비례라고 해요.
x, y 사이의 관계를 알아볼까요?
x × y = 1 × 30 = 2 × 15 = 3 × 10 = 5 × 6 = 6 × 5 = 30
x × y = 30이니까 y = $\frac{30}{x}$이라는 관계식으로 나타낼 수 있어요.
x, y가 반비례하면 xy = a (a ≠ 0) 이라는 관계가 성립해요.
$$xy = a\quad\rightarrow\quad y\quad = \quad \frac{a}{x}\\(a\quad \ne \quad 0)$$
반비례의 그래프
y = $\frac{a}{x}$ (a ≠ 0)의 그래프는 어떤 특징이 있는지 알아볼까요?
y = $\frac{12}{x}$ 그래프를 그려보죠.
먼저 순서쌍을 찾아보면 …, (-12, -1), (-6, -2), (-4, -3), (-3, -4), (-2, -6), (-1, -12), (1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1), …이 있네요. 물론 중간마다 x = 0.1, 0.11, …, 0.2, 0.22, … 같은 순서쌍도 찾을 수 있겠죠. 이런 점들을 좌표평면에 표시하면 아래처럼 돼요. 직선이 아니라 x축, y축에 가까워지면서 한없이 뻗어 나가는 곡선이 2개가 그려졌어요. 한 쌍의 곡선이라서 쌍곡선이라고 해요. 이 곡선은 제1사분면과 제3사분면을 지나네요.
y = -$\frac{12}{x}$의 그래프도 그려보죠.
먼저 순서쌍을 찾으면 …, (-12, 1), (-6, 2), (-4, 3), (-3, 4), (-2, 6), (-1, 12), (1, -12), (2, -6), (3, -4), (4, -3), (6, -2), (12, -1), …이 있네요. 마찬가지로 정수가 아니라 유리수 순서쌍도 무수히 많을 거고요. 좌표평면에 점을 찍어봤더니 아래 그림처럼 그래프가 그려졌어요. x축, y축에 가까워지면서 한없이 뻗어 나가는 2개의 곡선인데, 곡선은 제2사분면과 제4사분면을 지나가요.
y = $\frac{a}{x}$ (a ≠ 0)에서 분수의 분모인 x는 0이 될 수 없으니까 y축과 만나지 않아요. 또 a ≠ 0이므로 y ≠ 0이어서 x축과도 만나지 않죠. 대신 x축, y축에 한없이 가까워지지만 할 뿐이에요. x ≠ 0, y ≠ 0이니까 원점도 지나지 않죠. 모양도 직선이 아니라 곡선이에요. 그리고 a > 0이면 x와 y의 부호가 같으니까 제1사분면과 제3사분면을 지나요. a < 0이면 x의 부호와 y의 부호가 반대라서 제2사분면과 제4사분면을 지나고요.
| a > 0 | a < 0 |
| x축, y축에 한없이 가까워지는 한 쌍의 곡선(쌍곡선) | |
| 제1사분면, 제3사분면 (x, y 부호 같음) |
제2사분면, 제4사분면 (x, y 부호 반대) |
y = $\frac{a}{x}$(a ≠ 0)의 그래프 그리기
y = $\frac{a}{x}$는 직선이 아니라 곡선이라서 가능하면 많은 순서쌍을 찾아야 해요. 그래서 그 순서쌍을 좌표평면에 나타내고, 곡선으로 연결하는 거죠. 기본적인 형태는 같아요. 지나는 점만 다르다고 생각하면 돼요.
몇 번 연습해보면 그릴 수 있어요.
다음에 그려진 그래프를 보고, x, y의 관계식을 구하여라.
(1)은 제2사분면과 제4사분면을 지나는 직선이에요. y = ax의 그래프인데, a < 0인 그래프죠. 원점 O와 (1, -3)을 지나요. y = ax에 x = 1, y = -3을 대입하면 a를 구할 수 있어요.
y = ax
-3 = a × 1
a = -3
y = -3x의 그래프네요.
(2)는 제1사분면과 제3사분면을 지나는 곡선이에요. y = $\frac{a}{x}$의 그래프라는 얘기죠. 이 그래프는 (1, 5)를 지나네요. x = 1, y = 5를 대입해보죠.
$$y\quad = \quad \frac{a}{x}\\5\quad = \quad\frac{a}{1}\\a\quad = \quad 5$$
$y = \frac{5}{x}$의 그래프군요.