공부하는 게 하나씩 늘어나고 있네요.
왜냐하면, 이 단원이 앞으로 배울 수학에서 아주 기본이 되는 중요한 단원이에요. 앞으로 여러 가지 식을 공부할 텐데, 가장 기본이 되는 식을 배우는 과정이라서 용어도 많고, 지루한 내용이 계속되는 거예요.
하지만 기본이 되느니만큼 제대로만 해놓는다면 앞으로의 과정도 계속 헤쳐나갈 수 있는 거지요.
일차식의 곱셈과 나눗셈을 먼저 했는데, 이 글에서는 일차식의 덧셈과 뺄셈을 합니다. 그리고 동류항이라는 새로운 용어도 배울 거고요.
곱셈과 나눗셈보다는 조금 어려운 내용이니 주의해서 잘 보세요.
동류항, 동류항의 계산
동류항
동류항은 종류가 같은 항이라는 뜻이에요. 어떤 종류가 같다는 말일까요?
하나의 항에는 계수도 있고, 문자도 있고, 차수도 있어요. 동류항은 문자와 차수가 서로 같은 항을 말해요. 계수는 달라도 상관없어요.
2a2이라는 항이 있어요. 이 항에는 문자 a가 있고, 차수는 2에요. 3a2이라는 항도 문자 a가 있고, 차수가 2죠. 2a2과 3a2은 문자가 a로 같고, 차수도 2로 같아요. 그래서 이 두 항은 동류항이 되는 거죠.
4a라는 항은 문자가 a가 있어요. 하지만 차수가 1이라서 2a2과 동류항이 아니에요.
5b2을 보죠. 문자는 b고, 차수는 2에요. 2a2과 차수는 2로 같지만, 문자가 다르니까 동류항이라고 할 수 없어요.
6a2b를 보죠. 문자는 a와 b가 있어요. a의 차수는 2이고, b의 차수는 1이죠. 2a2는 차수가 2인 문자 a가 있어요. 6a2b에도 차수가 2인 문자 a가 있어서 둘은 동류항처럼 보이지만 b라는 문자가 있어서 동류항이 될 수 없어요.
| 2a2 | 3a2 | 4a | 5b2 | 6a2b | |
|---|---|---|---|---|---|
| 문자 | a | a | a | b | a와 b |
| 차수 | 2 | 2 | 1 | 2 | 2와 1 |
| 2a2와 동류항 |
- | O | X (차수 다름) |
X |
X (문자와 차수 다름) |
동류항의 덧셈과 뺄셈
덧셈과 뺄셈은 동류항끼리만 할 수 있어요. 동류항이 아닌 것끼리는 덧셈과 뺄셈을 하지 못합니다. 그러니까 계산을 할 때, 서로 동류항인지 잘 찾아내야 해요.
2a + 3a을 구해볼까요?
되게 복잡하죠. 간단하게 하는 방법을 알아볼까요?
단항식과 수의 곱셈과 나눗셈에서 단항식에 수를 곱할 때, 숫자끼리 곱하고 문자는 뒤에 붙여줬어요. 동류항의 계산에서도 같아요. 동류항의 계산에서도 숫자끼리 계산하고, 문자는 뒤에 그대로 붙여주면 돼요.
2a + 3a = (2 + 3)a = 5a 으로 간단하게 끝나죠?
뺄셈도 마찬가지예요. 5b - 2b = (5 - 2)b = 3b에요.
2a2 + 2a는 어떨까요? 두 항은 문자가 a로 같지만, 차수가 다르죠? 그래서 동류항이 아니에요. 동류항이 아니면 덧셈을 할 수 없어요. 그냥 그대로 둬야 해요.
동류항: 문자와 차수가 서로 같은 항
동류항의 계산: 숫자끼리 계산하고 문자는 그대로
다음을 간단히 하여라.
(1) 4a + 2a + 3a
(2) 5a + 3 + 3a - 4
덧셈과 뺄셈에서는 동류항을 찾는 게 제일 먼저 해야 할 일이에요. 동류항을 찾아서 그 계수끼리 연산을 하는 거지요.
(1)은 모든 항이 문자가 a이고, 차수가 1이에요. 세 항이 모두 동류항이죠.
4a + 2a + 3a = (4 + 2 + 3)a = 9a
(2) 항이 네 개인데, 5a와 3a가 동류항이고, 3와 -4가 상수항으로 동류항이에요. 따로따로 계산해야 해요.
5a + 3 + 3a - 4 = (5 + 3)a + (3 - 4) = 8a - 1
일차식의 덧셈과 뺄셈
일차식의 덧셈과 뺄셈에도 동류항 계산을 그대로 사용하면 돼요. 대신 항의 수가 늘어나고 조금 어려워졌어요.
괄호가 있는 경우
괄호가 있는 경우에는 분배법칙을 이용하는 전개해야 해요. 분배법칙으로 괄호를 전개한 다음 동류항끼리 모아서 따로 계산하는 거죠.
3(2a + 4) + 2(a - 1)
= 6a + 12 + 2a - 2 분배법칙을 이용하여 괄호를 전개
= 6a + 2a + 12 - 2 동류항끼리 모으기
= 8a + 10 계산
분배법칙을 할 때 괄호 앞의 숫자를 괄호 안의 모든 항과 곱해줘야 해요. 첫 번째 항에만 곱해주는 실수를 하지 마세요.
3(2a + 4) = 6a + 4 (X)
3(2a + 4) = 6a + 12 (O)
그리고 괄호 앞에 숫자가 없이 부호(+, -)만 있다면 1이 생략된 거로 생각하면 됩니다.
-(2a + 1) = (-1) × (2a + 1) = -2a - 1
분수꼴의 일차식의 덧셈과 뺄셈
분수꼴로 되어 있을 때는 통분을 해야 해요.
통분을 할 때 원래 있던 분자에 괄호를 치세요. 괄호를 이용하지 않으면 분자의 첫 번째 항에만 곱을 해주는 실수를 하게 되거든요. 위 예제의 두 번째 줄의 분자에 3(a + 1) 가 아니라 3a + 1로 쓰게 되면 결과가 달라지겠죠?
일차식의 덧셈과 뺄셈
괄호가 있는 계산: 분배법칙으로 전개한 후, 동류항끼리 묶어서 계산
분수꼴: 통분을 해야 하며, 이때 괄호를 이용
다음을 간단히 하여라.
(1) 3(a + 1) + 2(a - 2)
(2)
(1) 일차식의 덧셈과 뺄셈에서는 분배법칙을 이용해서 괄호를 전개한 후 동류항끼리 모아서 따로 계산합니다.
3(a + 1) + 2(a - 2)
= 3a + 3 + 2a - 4
= 3a + 2a + 3 - 4
= 5a - 1
(2) 분수꼴에서는 통분을 해야 하는데, 이때 원래 있던 분자에는 괄호를 꼭 치세요.
이 문제에서는 두 가지가 중요해요. 통분할 때 분자에 괄호를 쳐주는 것도 중요하지만 분수 앞의 (-)를 처리하는 것도 중요하죠. 분수 앞에 (-)도 역시 분배법칙을 이용해서 분자 전체에 곱해줘야 하는 (-)입니다.
두 번째 줄의 오른쪽 분수의 분자에서 -b - 3이라고 실수하지 말고, 괄호를 쳐서 -(b - 3)으로 쓰도록 하세요.
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복잡한 일차방정식의 풀이
제가 동류항계산을 못했었는데 이걸 보니까 알 것 같아요.
동류항이 뭔지만 알면 돼요. 대신 계산할 때 실수를 많이 하니까 그걸 조심하세요.
ex) 집에서 시속 12km 자전거를 타면 시속 3km 걷기보다 30분 빨리 도서관에 도착한다.
라는 문제가 있을때 x/12 (x분의 12) + 1/2 (2분의 1) = x/3 (x분의 3)
이고 계산하면 x + 6 = 4x \\ x - 4x = -6 \\ -3x = -6 \\ x = 2(km)
인데 1/2 (30분) 을 왜 12km의 속력인 자전거에 더하는지 모르겠어요.
왜그런가요?
일차방정식의 활용 2(http://mathbang.net/235)에 관련된 내용이 있어요.
자전거를 타고 가면 걸어서 간 시간보다 30분 짧아요. 그러니까 자전거를 타고 간 시간에 30분을 더해줘야 걸어간 시간과 똑같아지죠.
좋은 정보 감사해요~
네, 댓글 고맙습니다.
질문있습니다!!
표 밑에 동류항의 덧셈과 뺄셈 예제 2a + 3a 전개식에서요
2a + 3a
= 2 x a + 3 x a
= (2+3) x a => 분배법칙
= 5 x a = 5a 아닌가요?
예제에서는
2 x a + 3 x a가
(a+a+a) + (a+a)로 변하는데 무슨 말인지 잘모르겠어요... 제가 빼먹은 법칙?이 있나해서요..
원래 곱하기라는 게 똑같은 걸 여러 번 더하는 걸 간단히 나타내는 거잖아요. 이걸 거꾸로 한 거예요.
a + a = 2 x a
a + a + a = 3 x a
아 거듭제곱이랑 헷갈렸네요
예를들어 3² 이라고 하면 3곱하기3인데
3곱하기3을 3이 두번있는거라고 착각했네요
잉? 무슨말이징?? ㅋㅋ 무튼 감사합니다! 궁금증이 확 풀림
학년이 올라가면 오히려 쉬운 내용이 헷갈릴 때가 많죠.
저기요
제가 다른문제를 풀다가요 y-y가나왔는데요..
이건 어떡해 풀죠??
이 글이 그 문제 푸는 방법을 설명하는 거예요.
하트공식도 넣었으면 좋을것같아요~~~
지수랑 차수랑 틀린 용어인가요?
항, 차수를 설명한 글에 설명되어 있어요.
http://mathbang.net/227
숫자만 놓고 보면 같긴 하지만 그 의미를 따지면 다르지요.
지수는 숫자 또는 문자를 거듭제곱 한 수, 차수는 문자 인수의 수거든요.
엄밀한 차이가 이해가 안된다면 같다고 생각하셔도 문제를 푸는데는 상관없어요.
설명 친절하고 좋네요! :)
덕분에 재밌던 수학이 더욱 재밌어지고 흥미로워졌습니다 :D
앞으로 더욱 더 재밌어질 거예요. :D
일차식의 계산에서 괄호 전개 시키고 동류항 끼리 모아서 계산할때 부호가 아닌 계산식의 빼기랑 더하기는 어떻게 정하나요?
ex)-4(6a+3)-5(9a-2) = 24a-12-45a+10 = 24a45a-12+10 = -69a-2
(원래의 식) (괄호전개) (동류항끼리 묶음) (답)
계산식의 빼기는 단순히 빼기 기호가 아니라 항의 계수에 포함돼요.
그러니까 부호까지 계산해야 해요.
ex)
-4(6a + 3) - 5(9a - 2)
= -24a - 12 - 45a + 10
= -24a - 45a - 12 + 10
= -69a - 2
복잡한일차식의 계산은 없나요?
아래 링크에 있어요.
http://mathbang.net/233
진짜 너무너무유익하고 좋은 사이트인거 같아요!처음에는 이해가 잘 안갔는데 이걸 보고
개념이 정리가 되니깐 비슷한 유형의 문제들도 막힘없이 풀수있었던거같아요!
감사합니다ㅎㅎ
ㅇㅈㅇㅈㅇㅈㅇㅈㅇㅈㅇㅈㅇㅈㅇㅈㅇㅈㅇㅈ
ㅇㅈ
2(x-4)-3이 왜 -×-8 이죠?
2x - 11이에요.
(a+b)cx+abx 라는 다항식에서 두 단항식을 동류항으로 봐도 되나요? c를 분배하면 (ac+bc)x+abx 가 되니깐요? 근데 문자를 어떤 걸로 잡아도 상관이 없는 경우가 언제인지 말해주세요 지금 같은 경우는 분배하니까 동류항이 보였는데.. 혹시 다른 경우도 있다면요.(지금 쓰면 답해주실지는 의문이지만...)
어떤 걸 기준으로 놓고 보느냐에 따라 동류항인지 아닌지 달라지죠.
x를 기준으로 보면 둘은 동류항이고, c를 기준으로 보면 동류항이 아니죠.
어떤 문자를 선택할 지는 본인 맘이에요.
감사합니다.수학방 잘 보고 있어요~~
수달은 수학의 달인이라는 뜻인가요? 그 목표를 이루도록 함께 노력해봐요.
비밀댓글입니다
-2a - 1과 -2a + (-1)은 같은 거예요.
그리고 분수뺄셈에서 처음에는뺄셈이었는데 풀이과정 두번째줄에서 뺄셈기호가 분자옆으로 가면서 왜 덧셈으로 바뀌는건가요?
비밀댓글입니다
분자의 항의 개수와 상관없어요.
분모는 통분을 할 거라서 양쪽 모두의 부호를 (+)로 맞춰주는 거고, 그러면 남는 (-)를 분자로 올린다고 생각하시면 쉬워요.
일차식의 덧셈과 뺄셈이항은 어떻게하나요?
ㅁ-(3x-4)=2x-6이런식이요
일단 분배법칙을 이용해서 괄호를 전개한 후에 이항하면 돼죠.
https://mathbang.net/232
동류항끼리 모으는건 어떻게 해야하죠? 예를 들면 4x-1+3x-27같은거요
4x, 3x가 x의 1차항이고,
-1, -27이 상수항이에요.
저는 2번째 (2) 번 문제에서 7(,b-1)/6이 나왔는데요?
풀이의 두번째 줄 뒤에 있는 분수의 앞 (-)를 분자로 옮겨주는 과정에 주의해서 다시 풀어보세요.
b+11/6 맞네요.