하나의 삼각형을 작도할 수 있는 경우가 세 가지 있어요. 특정한 조건이 주어지면 다른 삼각형은 그릴 수 없고 단 하나의 삼각형만 그릴 수 있는 경우요.
삼각형을 작도할 수 있는 조건은 삼각형을 그리는 데 뿐 아니라 다음에 공부할 삼각형의 합동에서도 아주 중요하니까 꼭 기억해야 해요.
삼각형은 변이 3개, 각이 3개예요. 그래서 변의 길이와 각의 크기 중 섞어서 3개를 알면 삼각형을 그릴 수 있어요.
- 변의 길이 3개
- 변의 길이 2개와 각의 크기 1개
- 변의 길이 1개와 각의 크기 2개
각의 크기 3개를 알 때도 삼각형을 그릴 수는 있는데, 딱 하나의 삼각형을 그리는 게 아니라 여러 삼각형을 그릴 수 있어서 이건 제외해요.
- 세 변의 길이를 알 때
- 두 변의 길이와 그 사이 끼인각의 크기를 알 때
- 한 변의 길이와 양쪽 끝각의 크기를 알 때
세 가지 중에 첫 번째는 세 변의 길이를 알 때예요. 세 변의 길이를 알면 컴퍼스를 이용해서 삼각형을 그릴 수 있어요. 세 변의 길이만큼 컴퍼스를 벌려서 원을 그리고 그 교점들을 연결하면 돼요.
주의해야 할 건 세 변의 길이를 알고 있다고 해서 무조건 삼각형을 그릴 수 있는 게 아니에요.
가장 긴 변의 길이가 다른 두 변의 길이의 합보다 크거나 같으면 삼각형을 그릴 수 없어요. 예를 들어 세 변의 길이가 1cm, 2cm, 100cm라면 삼각형을 그릴 수 없는 거죠. 마찬가지로 1cm, 2cm, 3cm면 삼각형을 그릴 수 없어요.
세 변의 길이를 줬을 때 길이가 가장 긴 변의 길이는 다른 두 변 길이의 합보다 작아야 삼각형을 그릴 수 있어요. 이거 중요하니까 잊으면 안돼요. 1cm, 2cm, 2.999cm는 삼각형을 그릴 수 있어요.
두 번째는 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때예요. 두 변의 길이를 알려준다고 했잖아요. 끼인각은 그 두 변이 만나서 생기는 각이에요. 다른 각은 안돼요. 꼭 길이를 알려준 두 변이 만나서 생기는 각이어야 해요. 이때는 끼인각을 먼저 그려요. 그다음 각 변의 길이만큼만 남기는 거예요.
마지막은 한 변의 길이와 양쪽 끝각의 크기를 알 때예요. 한 변을 긋고 양쪽에 주어진 각과 크기가 같은 각을 넣으면 삼각형을 그릴 수 있어요.
삼각형의 작도
세 변의 길이를 알 때
삼각형을 작도하는 첫 번째는 세 변의 길이를 알 때예요. 세 변의 길이를 알면 컴퍼스를 이용해서 그릴 수 있어요.
- 길이가 같은 선분의 작도에 나온 방법대로 한 변을 그려요. $\overline{AB}$라고 할게요.
- $\overline{AB}$의 한쪽 끝 점 A에 바늘을 놓고 다른 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요.
- $\overline{AB}$의 반대쪽 끝 점 B에 바늘을 놓고 마지막 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요.
- ②와 ③의 교점 점 C에서 점 A와 점 B로 선을 그으면 △ABC가 돼요.
두 변의 길이와 그 사이 끼인각의 크기를 알 때
삼각형을 작도하는 두 번째는 두 변의 길이와 그 사이 끼인각의 크기를 알 때예요.
- 끼인각을 먼저 그려야 하는데, 크기가 같은 각의 작도에 있는 방법대로 알려준 각과 크기가 같은 각을 그려요. ∠POQ라고 해보죠.
- 점 O에 바늘을 놓고 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요. 이때 원과 $\overline{OQ}$가 만나는 교점을 점 B라고 할게요.
- 다시 점 O에 바늘을 놓고 다른 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요. 이 원과 $\overline{OP}$가 만나는 교점을 점 A라고 할게요.
- 점 A와 점 B를 연결하면 △AOB가 생겨요.
한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때
삼각형의 작도 마지막은 한 변의 길이와 양 끝각를 알 때예요.
- 길이가 같은 선분의 작도에 나온 방법대로 한 변을 그려요. $\overline{AB}$라고 해보죠.
- $\overline{AB}$의 한쪽 끝 점 A에 미리 알려준 크기의 각을 크기가 같은 각의 작도의 방법으로 그려요. 이때 선분을 충분히 길게 그려요. 이 선분을 $\overline{AP}$라고 하죠.
- $\overline{AB}$의 반대쪽 끝 점 B에 알려준 다른 크기의 각을 그려요. 이때 선분을 $\overline{BQ}$라고 하고 $\overline{BQ}$와 $\overline{AP}$의 교점을 점 C라고 해보죠.
- ②와 ③의 교점 C에서 점 A와 점 B로 선을 그으면 △ABC가 생겨요.