일차방정식의 활용 두 번째는 일차방정식의 활용 첫 번째보다 조금 더 어려운 유형이에요. 공식을 알아야 풀 수 있거든요.
이 공식들은 수학, 과학 등의 과목에서 계속해서 보게 될 공식이니까 반드시 외워야 해요. 공식을 외우지 못했다는 건 일차방정식의 활용을 포기하는 것과 같아요. 물론 2, 3학년 수학도 일정 부분 포기한다는 뜻이고요.
원래는 하나의 공식인데, 모양만 바뀌는 거라서 외우기 헷갈릴 수 있어요. 그러면 그림으로 외우는 것도 좋은 방법이에요.
일차방정식의 활용
과부족
과부족 문제는 개수의 많고 적음을 이용한 문제에요. 문제에서는 물건의 개수를 구하라고 하는데, 식에서는 물건의 개수가 아닌 사람 수를 x라고 놓으면 돼요.
과부족 문제는 x가 들어있는 식을 두 개 만들고 그 둘이 같다고 놓고 푸는 문제입니다.
학급 학생들에게 공책을 나눠주려고 한다. 한 학생에게 공책을 5권씩 나눠주면 3권이 남고, 6권씩 나눠주면 4권이 부족하다고 한다. 공책은 총 몇 권인가?
공책의 개수를 구하라고 했다고 해서 이걸 x로 놓으면 문제가 복잡해져요. 이 문제에서는 학생 수를 x라고 놓으세요.
학생 수가 x명일 때, 한 사람에게 5권씩 주면 3권이 남는다고 했으니까 공책의 수는 5x + 3이에요. 6권씩 나눠주면 4권이 부족하다고 했으니까 공책 수는 6x - 4죠. 공책 수는 두 경우 모두에 같으니까 둘을 같게 놓고 문제를 풀면 돼요.
5x + 3 = 6x - 4
5x - 6x = - 4 - 3
-x = -7
x = 7
여기서 x는 공책의 수가 아니라 학생 수에요. x = 7을 5x + 3에 대입하면 공책의 수는 38권이 되네요.
도형
사각형의 넓이 = (가로) × (세로), 사각형의 둘레 = {(가로) + (세로)} × 2에요. 이것만 잘 기억하면 풀 수 있어요.
둘레가 50cm인 사각형이 있다. 가로의 길이가 세로 길이보다 3cm 더 길 때, 가로, 세로의 길이를 구하여라.
가로의 길이를 x라고 하면 세로의 길이는 x - 3이에요. 이때 사각형의 둘레는 {x + (x - 3)} × 2죠.
{x + (x - 3)} × 2 = 50
2(2x - 3) = 50
2x - 3 = 25
2x = 25 + 3
2x = 28
x = 14
가로 길이는 14cm이므로 세로 길이는 11cm네요.
거리, 속력, 시간
문자와 식, 문자를 포함한 식에서 봤던 공식이 또 나왔네요. 그만큼 중요하니까 또 나오는 거예요.
거리, 속력. 시간문제에서는 단위도 중요해요. 문제에서 사용하는 단위와 답에서 요구하는 단위를 잘 봐야 해요.
설리는 집에서 서점을 왕복하는데, 갈 때는 시속 4km의 속력으로 걸어가고, 올 때는 6km의 속력으로 뛰어서 총 40분이 걸렸다고 한다. 설리네 집에서 서점까지의 거리를 구하여라.
거리를 구하라고 했는데, 거리 = 속력 × 시간이에요. 올 때, 갈 때의 속력은 알고 있어요. 그런데 시간은 올 때와 갈 때는 둘을 합한 것만 알려줬죠? 그래서 하나를 우리가 임의로 x라고 정하는 거예요. 가는 데 걸린 시간을 x분라고 하면, 오는 데 걸린 시간은 (40 - x)분이 되겠죠.
집에서 서점까지의 거리는 올 때나 갈 때나 똑같아요. 그래서 (갈 때의 거리) = (올 때의 거리)라고 할 수 있어요.
4 × x = 6(40 - x)
4x = 240 - 6x
4x + 6x = 240
10x = 240
x = 24
x는 집에서 서점까지 가는 데 걸린 시간이고, 문제에서 구하는 건 거리죠. x = 24를 대입해서 거리를 구해야 해요.
거리 = 속력 × 시간 = 4 × 24 = 96(km)가 될 것 같죠? 이러면 절대로 안 돼요. 단위를 조심해야 해요.
집에서 서점에 갈 때 시속 4km라고 했고, 실제 걸린 시간은 24분이에요. 하나는 시고 하나는 분이라 단위가 달라요. 이 두 단위를 하나로 맞춰줘야 해요.
소금물의 농도
농도 공식도 문자와 식, 문자를 포함한 식에서 본 공식이에요. 앞으로 계속 나올 겁니다.
소금물에 소금물을 넣으면 소금의 양과 소금물의 양이 모두 변해요. 하지만 그냥 물만 넣거나 가열하는 경우에는 소금의 양은 바뀌지 않고 소금물의 양만 바뀌는 걸 주의하세요.
두 소금물 A, B를 하나로 섞었을 때
- (A + B)의 소금의 양 = A 소금의 양 + B 소금의 양
- (A + B)의 소금물의 양 = A 소금물의 양 + B 소금물의 양
- (A + B)의 농도 = (A + B)의 소금의 양 / (A + B) 소금물의 양 * 100
어떤 경우에도 농도는 +/-로 구할 수 없어요. 두 소금물을 더했다고 해서 각각의 농도를 더해서 구하면 안 된다는 얘기예요. 위 농도 공식에 있는 방법으로만 농도를 구해야 해요.
소금물 A을 가열했을 때(증발시켰을 때)
- 가열한 후의 소금양 = 가열전 의 소금양
- 가열한 후의 소금물의 양 = 가열전 소금물의 양 - 증발한 물의 양
소금물 A에 물만 넣었을 때
- 물을 넣은 후의 소금양 = 물을 넣기 전의 소금양
- 물을 넣은 후의 소금물의 양 = 물을 넣기 전의 소금물의 양 + 넣은 물의 양
5% 소금물 200g을 가열하였더니 8% 소금물이 되었다. 가열한 후의 소금물의 양은 얼마인가?
소금물을 가열했을 때는 소금의 양은 바뀌지 않고, 소금물의 양만 줄어들어요. 따라서 가열 전과 가열 후의 소금의 양이 같다는 걸 이용해서 식을 세워보죠.
가열한 후의 소금물의 양을 구하라고 했으니 이걸 x라고 놓죠.
가열 전 5% 소금물 200g에 들어있는 소금의 양 =
가열 후 8% 소금물 xg에 들어있는 소금의 양 =
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비밀댓글입니다
유형이 너무 많아서 다 다룰 수 없어요. ㅠㅠ
6.10%의 소금물 300g에 몇 g의 물을 더 넣으면 8%의 소금물이 되는가?
이 문제 너무 어려워요..알려주세욥!
물을 더 넣었다면 소금물 전체의 양은 늘었지만 소금의 양은 바뀌지 않고 그대로죠?
본문 마지막 예제처럼 처음 소금의 양과 물을 더 넣었을 때 소금의 양이 같다는 걸 이용해서 풀 수 있어요.
소금의 양 공식에 넣어보죠.
처음 소금의 양 = 6.1/100 * 300
나중 소금의 양 = 8/100 * (300 + x)
나머지는 예제를 참고해서 풀어보세요.
a/b에서 " /"는 분수표시, a가 분자 b가 분모
"(소금량/소금물량)×100=농도"에서 식을 다시쓰면 "소금량×100=농도×소금물량"이죠
소금량이 일정한 문제는 농도나 소금물량 구하는 게 쉽죠
10×300=3000
(3000은 소금량×100이기도 하죠)
8% 소금물량을 x라고 하면, 소금량이 일정하므로
8x=3000
x=375
따라서 75g 더 넣으면 되겠죠
감사합니다~ 이제보네요 ㅋ
앞으로 계속 봐요.
비밀댓글입니다
물을 더 넣으면 농도도 바뀌고, 소금물의 양도 바귀죠. 하지만 소금의 양은 바뀌지 않아요.
노란 상자의 소금의 양 공식을 이용해서 식을 세울 수 있어요. 더 넣어야 하는 물의 양을 x로 놓고요.
(물을 넣기 전의 소금양) = (물을 넣은 후의 소금양)
어느 병원의 신생아 수는 작년에 비해 5 % 감소하
여 올해는 570명이 되었다. 이 병원의 작년 신생아
수를 구하시오.
이게 너무 어려워서 몇분째 해매고 있어요 도와주세요오오
작년 신생아 수를 x라고 놓으면
올해는 작년보다 5%감소했으니 - 0.05x
x - 0.05x = 570
x의 계수가 소수이므로 복잡한 일차방정식의 활용 http://mathbang.net/233 을 참고해서 풀어보세요.
이런 유형의 계산은 일상에서도 많이 하게 됩니다. 대부분 일차방정식 세우지 않죠
5% 감소한 수는 원래 수에 0.95 곱해서 나온 수겠죠 (예를들면 1000명에서 40% 줄면 남아있는 사람은 60%이므로 600명, 1000×0.6=600)
그럼 570÷0.95=600
답은 600명
혹시 정가에 대한 일차빙정식의 활용 문제는 없나여ㅜㅜ
그리고 과부족 문제 잘활용했습니다!!
정가 문제는 없어요. ㅠㅠ
유형이 너무 많아서 다 다둘 수가 없어요.
소금물문제 풀이가 잘못된것 같은데요.. 소금양이 바뀌었습니다.
단순히 가열만 했을 때 소금양은 바뀌지 않아요.
정가 원가 이익 판매가 구하는 방법 좀여
유형이 너무 많아서 다 다룰 수가 없어요.
학생들에게 5권씩 나누어 주면 4권이 남고 8권씩 나누어 주면 11권이 부족 하고 한 사람에게 6권씩 나누어 주면 1권이 부족한데 이해가 안가서 어떻게 하는지 설명을 해주실 수 있나요?
학생 수를 x라고 놓고, 남는 건 (+), 부족한 건 (-)로 놓으면 돼요.
5권씩 나누어 주면 4권이 남는다 = 5x + 4
8권씩 나누어 주면 11권이 부족 = 8x - 11
6권씩 나누어 주면 1권이 부족 = 6x - 1
이 세 가지 식이 모두 공책의 권 수를 나타내니까 모두 같아야 해요.
형이하면 n시간, 내가 하면 m시간 함께하면 몇시간 문제는 어떻게 푸나요? 급해요ㅠㅠ
전체일의 양을 1로 잡아서 형은 1/n, 동생은 1/m해서 구하세요
비밀댓글입니다
늘어난 길이를 x로 놓고, 넓이 공식에 맞게 (늘어난 길이 + 원래 길이)를 대입해야죠.
비밀댓글입니다
이해가ㅡ잘됨!
혹시 ×할 문제 올려주실 수 있나요? 제발 부탁드립니다.
혹시
-9x+6(1600-x)=600이란 문제에서
-9x와 +6을 계산했을 때,왜 -15x가 되는지 알려주실 수 있을까요?
-3x가 되어야 되는 것 아닌가요?
+6이 -x와 만나면 -6x가 되니까 -9x + (-6x) = -15x예요.
계산방법은 분배법칙을 참고해주세요.
https://mathbang.net/219
문제가 도저히 안 풀렸는데 드디어 풀렸어요. 감사합니다! 북마크하고 자주 올게요.
매일 와주세요. ㅎㅎ
소금의 양구하는데 해가 마이너스로 나오면 식을 잘못세운거죠?
네, 물건의 양이나 부피, 개수, 거리 등은 양수로 나와야 해요. 특히 개수는 자연수고요.
여태까지는 워낙 설명을 잘해주셔서 이해가 잘 되었는데 솔직히 식 세우는 파트는 어렵네요 그래도 설명을 정말 잘해주셔서 항상 감사드려요^^
어느 단원이나 활용에서 식 세우는 게 제일 어려워요. 그래서 제일 마지막에 나오죠.
이 고비만 넘기면 되니까 끝까지 힘내세요.
거속시 유형이 더 많은데 그 유형들은 어디 없나요? 예를 들어서 둘레나 기차같은 유형이요!!
유형이 너무 많아서 다 할 수가 없어요.
비밀댓글입니다
남는 건 +, 부족한 건 -로 나타내면 돼요. 12개가 남으면 +12, 15개가 부족하면 - 15
b = 4a + 12
b = 5a - 15
연립방정식 문제네요.