일차방정식의 활용 두 번째는 일차방정식의 활용 첫 번째보다 조금 더 어려운 유형이에요. 공식을 알아야 풀 수 있거든요.
이 공식들은 수학, 과학 등의 과목에서 계속해서 보게 될 공식이니까 반드시 외워야 해요. 공식을 외우지 못했다는 건 일차방정식의 활용을 포기하는 것과 같아요. 물론 2, 3학년 수학도 일정 부분 포기한다는 뜻이고요.
원래는 하나의 공식인데, 모양만 바뀌는 거라서 외우기 헷갈릴 수 있어요. 그러면 그림으로 외우는 것도 좋은 방법이에요.
일차방정식의 활용
과부족
과부족 문제는 개수의 많고 적음을 이용한 문제에요. 문제에서는 물건의 개수를 구하라고 하는데, 식에서는 물건의 개수가 아닌 사람 수를 x라고 놓으면 돼요.
과부족 문제는 x가 들어있는 식을 두 개 만들고 그 둘이 같다고 놓고 푸는 문제입니다.
학급 학생들에게 공책을 나눠주려고 한다. 한 학생에게 공책을 5권씩 나눠주면 3권이 남고, 6권씩 나눠주면 4권이 부족하다고 한다. 공책은 총 몇 권인가?
공책의 개수를 구하라고 했다고 해서 이걸 x로 놓으면 문제가 복잡해져요. 이 문제에서는 학생 수를 x라고 놓으세요.
학생 수가 x명일 때, 한 사람에게 5권씩 주면 3권이 남는다고 했으니까 공책의 수는 5x + 3이에요. 6권씩 나눠주면 4권이 부족하다고 했으니까 공책 수는 6x - 4죠. 공책 수는 두 경우 모두에 같으니까 둘을 같게 놓고 문제를 풀면 돼요.
5x + 3 = 6x - 4
5x - 6x = - 4 - 3
-x = -7
x = 7
여기서 x는 공책의 수가 아니라 학생 수에요. x = 7을 5x + 3에 대입하면 공책의 수는 38권이 되네요.
도형
사각형의 넓이 = (가로) × (세로), 사각형의 둘레 = {(가로) + (세로)} × 2에요. 이것만 잘 기억하면 풀 수 있어요.
둘레가 50cm인 사각형이 있다. 가로의 길이가 세로 길이보다 3cm 더 길 때, 가로, 세로의 길이를 구하여라.
가로의 길이를 x라고 하면 세로의 길이는 x - 3이에요. 이때 사각형의 둘레는 {x + (x - 3)} × 2죠.
{x + (x - 3)} × 2 = 50
2(2x - 3) = 50
2x - 3 = 25
2x = 25 + 3
2x = 28
x = 14
가로 길이는 14cm이므로 세로 길이는 11cm네요.
거리, 속력, 시간
문자와 식, 문자를 포함한 식에서 봤던 공식이 또 나왔네요. 그만큼 중요하니까 또 나오는 거예요.
거리, 속력. 시간문제에서는 단위도 중요해요. 문제에서 사용하는 단위와 답에서 요구하는 단위를 잘 봐야 해요.
설리는 집에서 서점을 왕복하는데, 갈 때는 시속 4km의 속력으로 걸어가고, 올 때는 6km의 속력으로 뛰어서 총 40분이 걸렸다고 한다. 설리네 집에서 서점까지의 거리를 구하여라.
거리를 구하라고 했는데, 거리 = 속력 × 시간이에요. 올 때, 갈 때의 속력은 알고 있어요. 그런데 시간은 올 때와 갈 때는 둘을 합한 것만 알려줬죠? 그래서 하나를 우리가 임의로 x라고 정하는 거예요. 가는 데 걸린 시간을 x분라고 하면, 오는 데 걸린 시간은 (40 - x)분이 되겠죠.
집에서 서점까지의 거리는 올 때나 갈 때나 똑같아요. 그래서 (갈 때의 거리) = (올 때의 거리)라고 할 수 있어요.
4 × x = 6(40 - x)
4x = 240 - 6x
4x + 6x = 240
10x = 240
x = 24
x는 집에서 서점까지 가는 데 걸린 시간이고, 문제에서 구하는 건 거리죠. x = 24를 대입해서 거리를 구해야 해요.
거리 = 속력 × 시간 = 4 × 24 = 96(km)가 될 것 같죠? 이러면 절대로 안 돼요. 단위를 조심해야 해요.
집에서 서점에 갈 때 시속 4km라고 했고, 실제 걸린 시간은 24분이에요. 하나는 시고 하나는 분이라 단위가 달라요. 이 두 단위를 하나로 맞춰줘야 해요.
소금물의 농도
농도 공식도 문자와 식, 문자를 포함한 식에서 본 공식이에요. 앞으로 계속 나올 겁니다.
소금물에 소금물을 넣으면 소금의 양과 소금물의 양이 모두 변해요. 하지만 그냥 물만 넣거나 가열하는 경우에는 소금의 양은 바뀌지 않고 소금물의 양만 바뀌는 걸 주의하세요.
두 소금물 A, B를 하나로 섞었을 때
- (A + B)의 소금의 양 = A 소금의 양 + B 소금의 양
- (A + B)의 소금물의 양 = A 소금물의 양 + B 소금물의 양
- (A + B)의 농도 = (A + B)의 소금의 양 / (A + B) 소금물의 양 * 100
어떤 경우에도 농도는 +/-로 구할 수 없어요. 두 소금물을 더했다고 해서 각각의 농도를 더해서 구하면 안 된다는 얘기예요. 위 농도 공식에 있는 방법으로만 농도를 구해야 해요.
소금물 A을 가열했을 때(증발시켰을 때)
- 가열한 후의 소금양 = 가열전 의 소금양
- 가열한 후의 소금물의 양 = 가열전 소금물의 양 - 증발한 물의 양
소금물 A에 물만 넣었을 때
- 물을 넣은 후의 소금양 = 물을 넣기 전의 소금양
- 물을 넣은 후의 소금물의 양 = 물을 넣기 전의 소금물의 양 + 넣은 물의 양
5% 소금물 200g을 가열하였더니 8% 소금물이 되었다. 가열한 후의 소금물의 양은 얼마인가?
소금물을 가열했을 때는 소금의 양은 바뀌지 않고, 소금물의 양만 줄어들어요. 따라서 가열 전과 가열 후의 소금의 양이 같다는 걸 이용해서 식을 세워보죠.
가열한 후의 소금물의 양을 구하라고 했으니 이걸 x라고 놓죠.
가열 전 5% 소금물 200g에 들어있는 소금의 양 =
가열 후 8% 소금물 xg에 들어있는 소금의 양 =
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일차방정식의 활용 첫번째
저기 근데요
4%의 소금물200g과 10%의 소금물을 일정량을 섞어 6%의 소금물을 만들려고한다.
이 문제 방정식어떻게 세우나요?
항상 좋은 글 올려주셔서 감사합니다.^^
이 글에서는 그런 문제를 접했을 때 식을 세우는 방법을 설명하는 내용이에요. 제가 식을 만들어주면 그 의미가 없어지겠죠?
한 번에 이해하기 어렵겠지만, 여러 번 읽어보면 식을 세울 수 있을 거예요.
두 소금물을 "섞어서" 새로운 소금물을 만드는 군요.
혹시 X%의 300g소금물중 100g을 Y%의 소금물 200g에 섞거나... 그런 문제는 어떻게 풀지요???
소금의 양은 1/3이겠지만, 농도는 바뀌지 않아요.
그러니까 X% 100g 소금물과 Y% 소금물 200g을 섞는 거네요.
ㅠㅠ그리고 기차문제...제가 가장 못하는 문제유형이거든요...ㅠㅠ
`길이가 Xm인 기차가 430m인 철교를 완전히 건너는데 9초가 걸리면 이 기차의 시속(km/시)을 x를 사용한 식으로 나타내어라.'
ㅠㅠ 문제가 넘 헷갈려서... 조금의 힌트라도 던져 주시면 감사하겠습니다!
철교를 완전히 건너려면 실제 이동 거리는 (기차의 길이) + (다리의 길이)가 되어야 해요.
추가로 속력은 시속이지만 이동 시간을 9초니까 이 둘을 둘다 시간으로 하든지 초로 하든지 해야 하고요.
위에 있든 댓글에 비슷한 질문들이 있으니 참고해주세요.
혹시 나중에 시계 문제(일직선 같은 거)올려주실 생각 없으세요???ㅋㅋㅋ
('')/ 늘 감사합니다^^ 좋은 하루 되세요 ㅎㅎ
----
ㅣx
수학방님
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
활용문제가 유형이 너무 많아서 다루지 다 하지는 못해요. ㅠㅠ
저 뿐아니라 이 블로그를 찾아오는 모든 분들의 하루가 즐거웠으면 합니다.
혹시 "소금물"의 양 구하는 법은 없을까요?
----말을 조금 헷갈리게 해서 모르셨나 보네 ㅠㅠ
노오란 박스에는 소금물의 농도와 소금의 양을 구하는 법만 있어서...
제가 구하려는 문제는 아무래도 소금물의 양을 구하게 하려는 거 같아서 질문했어요ㅠ
확실하진 않지만 그래도 늘 여기 와서 모르는 거 질문 하고 있었어요(쪽팔려서 단지 이름과 비밀번호만 바꿨을 뿐 ㅎㅎ) 항상 감사하고 좋은 하루 되세요!!!
어떤 경우를 말씀하시는지 구체적이지 않아서 답을 드리기 어렵네요.
소금의 양, 농도를 알 때 소금물의 양이라면 본문 노란 상자의 공식으로 구할 수 있고, 소금물을 가열하거나 물을 넣었을 때의 양은 노란 상자 아래에 적혀져 있습니다.
좌표평면과 그래프 링크가 없어서 못 들어가는 거 같은데... 어떡하죠?(뜬금없긴 하다만은...)
제목으로 검색을 해보시면 예전 교육과정 내용이 나오는데, 꼭 필요하시면 그거라도 봐보세요.
속력에 대한 문제는(위 문제로 예를 들어)
40분=2/3시간 으로 두고
거리를 미지수로 두어
x/4 와 x/6 을 합해 이동해 2/3 시간이 걸렸으니
x/4+x/6=2/3 으로 식을 세울수도 있나요?
네, 그렇게 해도 돼요.
우왕 이거 만드신 분 진짜 대단해요 설명이 머리에 쏙쏙 들어가네용
머리에 쏙쏙 들어갔으니 이제 수학이 어렵지 않죠?
원가와 정가문제가 없어서 아쉽네용
유형이 너무 많아서 다 다룰 수가 없어요.
소금물이 복잡해요
원래 소금물이 제일 어려운 유형이에요.
비밀댓글입니다
유형이 너무 많아서 다 다룰 수 없어요. ㅠㅠ
6.10%의 소금물 300g에 몇 g의 물을 더 넣으면 8%의 소금물이 되는가?
이 문제 너무 어려워요..알려주세욥!
물을 더 넣었다면 소금물 전체의 양은 늘었지만 소금의 양은 바뀌지 않고 그대로죠?
본문 마지막 예제처럼 처음 소금의 양과 물을 더 넣었을 때 소금의 양이 같다는 걸 이용해서 풀 수 있어요.
소금의 양 공식에 넣어보죠.
처음 소금의 양 = 6.1/100 * 300
나중 소금의 양 = 8/100 * (300 + x)
나머지는 예제를 참고해서 풀어보세요.
감사합니다~ 이제보네요 ㅋ
앞으로 계속 봐요.
비밀댓글입니다
물을 더 넣으면 농도도 바뀌고, 소금물의 양도 바귀죠. 하지만 소금의 양은 바뀌지 않아요.
노란 상자의 소금의 양 공식을 이용해서 식을 세울 수 있어요. 더 넣어야 하는 물의 양을 x로 놓고요.
(물을 넣기 전의 소금양) = (물을 넣은 후의 소금양)
어느 병원의 신생아 수는 작년에 비해 5 % 감소하
여 올해는 570명이 되었다. 이 병원의 작년 신생아
수를 구하시오.
이게 너무 어려워서 몇분째 해매고 있어요 도와주세요오오
작년 신생아 수를 x라고 놓으면
올해는 작년보다 5%감소했으니 - 0.05x
x - 0.05x = 570
x의 계수가 소수이므로 복잡한 일차방정식의 활용 http://mathbang.net/233 을 참고해서 풀어보세요.
혹시 정가에 대한 일차빙정식의 활용 문제는 없나여ㅜㅜ
그리고 과부족 문제 잘활용했습니다!!
정가 문제는 없어요. ㅠㅠ
유형이 너무 많아서 다 다둘 수가 없어요.
소금물문제 풀이가 잘못된것 같은데요.. 소금양이 바뀌었습니다.
단순히 가열만 했을 때 소금양은 바뀌지 않아요.
정가 원가 이익 판매가 구하는 방법 좀여
유형이 너무 많아서 다 다룰 수가 없어요.
학생들에게 5권씩 나누어 주면 4권이 남고 8권씩 나누어 주면 11권이 부족 하고 한 사람에게 6권씩 나누어 주면 1권이 부족한데 이해가 안가서 어떻게 하는지 설명을 해주실 수 있나요?
학생 수를 x라고 놓고, 남는 건 (+), 부족한 건 (-)로 놓으면 돼요.
5권씩 나누어 주면 4권이 남는다 = 5x + 4
8권씩 나누어 주면 11권이 부족 = 8x - 11
6권씩 나누어 주면 1권이 부족 = 6x - 1
이 세 가지 식이 모두 공책의 권 수를 나타내니까 모두 같아야 해요.
형이하면 n시간, 내가 하면 m시간 함께하면 몇시간 문제는 어떻게 푸나요? 급해요ㅠㅠ
전체일의 양을 1로 잡아서 형은 1/n, 동생은 1/m해서 구하세요