이 글도 이 단원에서 사용할 용어들에 대한 뜻을 설명하는 글이에요. 용어의 뜻을 모르면 문제를 파악하지도 못하고, 식을 제대로 이해할 수 없어요.
공식처럼 달달 외울 필요는 없지만 그래도 각 용어가 무엇을 뜻하는지는 정확히 알아야 해요. 용어를 공부하는 건 다른 내용을 공부하는 것보다 지루하고 어려울 수 있지만 가장 기본이 되는 만큼 한 번에 제대로 해야 합니다.
문자와 식, 대입에서 공부했던 내용과 이 글에서 공부할 내용을 모두 알고 있어야 이후의 과정을 공부할 수 있어요.
항, 상수항, 계수
항은 숫자 또는 문자의 곱으로 이루어진 식을 말해요. 숫자와 문자를 곱한 것, 문자와 문자를 곱한 것이죠. 숫자와 숫자를 곱한 건 숫자니까 당연히 항이고요. 문자만 있는 건 문자와 1을 곱한 거로 볼 수 있으니까 이것도 항이에요.
숫자, 문자, 숫자와 문자를 곱한 것, 문자끼리 곱한 것이 되겠네요.
3, a, 3a, a2
상수항은 항 중에서 숫자만 있는 항을 말해요. 3, -7처럼 그냥 일반적인 숫자를 상수항이라고 생각하면 쉬워요.
계수는 숫자와 문자의 곱에서 숫자를 말해요. 숫자와 문자의 곱에서는 곱셈기호를 생략하는데, 이때 문자 앞에 쓰여 있는 숫자라고 생각하면 쉬워요. 3a는 숫자 3과 문자 a가 곱해진 거잖아요. 여기서 숫자 3을 계수라고 합니다. 참고로 a는 1 × a이므로 계수는 1이에요.
위 그림에서 항과 계수, 상수항을 찾아보죠.
4x2 + 2y - 3이에요.
항은 곱하기로 이루어진 걸 말하니까 4와 x 두 개가 곱해진 4x2이하나의 항이에요. 2와 y가 곱해진 2y도 하나의 항이고요. -3도 하나의 항인데, 숫자만 있으니까 상수항이에요. 그냥 3이 아니라 -3이에요. 주의하세요.
사실은 +4x2, +2y도 +부호가 붙어있는데, + 부호는 생략할 수 있으니까 생략한 거예요. -는 생략할 수 없어서 -3처럼 써줘야 하죠.
계수는 문자의 앞에 곱해진 수를 말해요. 4x2 앞에는 4가 있으니까 4가 계수, 2y 앞에는 2가 있으니까 2가 계수네요. 문자가 곱해져있진 않지만 상수항도 계수에 포함되므로 -3도 계수예요.
단항식과 다항식
다항식에서 "다"는 多예요. 항이 많이 있는 식이라는 뜻이죠. 많다고 해서 진짜로 많은 게 아니고요, 1개 이상만 있으면 돼요. 항이 1개 있어도, 2개 있어도, 100개 있어도 다항식이에요
4x2, 4x2 + 2y, 4x2 + 2y - 3, -3, …
단항식은 다항식 중에서 항이 1개만 있는 걸 말해요.
4x2, 2y, -3
다항식은 항이 1개 이상이고, 단항식은 항이 1개여야만 하니까 단항식은 다항식에 포함돼요.
차수와 일차식
차수는 문자가 곱해진 횟수를 말해요.
4x2 + 2y - 3
4x2에서 x는 두 번 곱해졌죠? 그래서 차수는 2예요. 2y에서는 y가 한 번 곱해졌어요. 그래서 차수는 1이죠. -3은 문자가 곱해진 게 없어요. 그래서 차수가 0이에요. 상수항은 차수가 항상 0이에요.
항의 차수가 1이면 일차항, 2면 이차항, 3이면 삼차항이라고 해요.
차수는 문자의 거듭제곱에서 지수와 같아요.
항에서의 차수는 위 방법으로 구하는데, 다항식에서 차수는 어떻게 구할까요?
다항식에서 문자가 곱해진 개수가 다를 수 있어요. 예를 들어서 2x2 + 3x + 1이라는 다항식이 있다고 해보죠. 2x2의 차수는 2, 3x의 차수는 1, 1의 차수는 0이에요. 일단 각 항의 차수는 구했어요. 다항식 전체의 차수를 구할 때는 차수가 가장 높은 항(최고차항)의 차수를 말하면 돼요. 여기서는 2x2의 차수가 2로 가장 높으니까 다항식 2x2 + 3x + 1의 차수는 2인 거죠.
최고차항의 차수가 1인 다항식을 일차식, 최고차항의 차수가 2인 다항식을 이차식이라고 해요. 2x2 + 3x + 1은 차수가 2니까 이차식이죠.
다시 4x2 + 2y - 3으로 돌아와서요.
이 다항식은 x를 기준으로 하면 차수가 2인데, y를 기준으로 하면 차수가 1이죠? 이처럼 곱해진 문자가 다를 때는 어떤 문자를 기준으로 할 것인지 정확하게 얘기를 한 다음에 차수를 말해줘야 해요.
어떻게 하느냐면 "x에 대한 이차식" 또는 "y에 대한 일차식"이라고 말이죠.
다항식 4x2 + 2x - 3y + 2에서 항, 상수항, 계수, 차수를 구하여라.
일단 항으로 나눠보죠. 4x2, 2x, -3y, 2의 네 개 항으로 되어 있는 다항식이네요.
상수는 숫자만 있는 항이니까 2가 상수항이고요.
각 항의 차수를 보죠. 4x2는 2, 2x는 1, -3y는 1, 상수항 2는 0이죠.
계수는 문자 앞에 곱해진 숫자를 말하죠? 4x2의 계수는 4, 2x의 계수는 2, -3y의 계수는 -3이네요. 상수항 2도 있군요.
다항식의 차수는 차수가 가장 높은 항을 말하는데, 이보다 먼저 기준이 되는 문자를 정해야 해요. x에 대해서는 4x2의 2가 가장 높으니까 x에 대한 이차식이고요. y에 대해서는 -3y의 1이 가장 높으니까 y에 대한 일차식이에요.
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5x+(-3x)-13에서 왜 상수항이 -13일까요... 방학특강으로 한달동안 중1 1학기 다하는거라 이해력이 딸리네여... 빼기,마이너스를 붙이는데 왜 빼기가 아니고 마이너스인지 상수항이 마이너스가 되면 앞에 더하기가오면.... 모르겠다 왜 상수항이 마이너스가 나오는지좀 알려주세여...
다항식은 항의 덧셈으로 이루어진 식이에요.
그래서 -3x - 13 = -3x + (-13) 이에요.
근데 그러면 앞에 뺴기(마이너스)가 오는 상수항은 다 음수인거죠?
꼭 그렇다고 할 수는 없어요.
숫자만 있을 때는 그렇다고 생각할 수 있는데, 문자가 포함된 경우라면 아닐 수도 있어요.
지금은 조금 이해하기 어려울 수 있는데, 문자와 식을 다 공부하고 나면 이해할 수 있을 거예요.
a < 0 일 때, -a > 0이에요.
음수인 a에 (-1)을 곱했으니까요.
x - a 라는 식에서 -a는 음수가 아니라 양수인 거죠.
아하! 0보다 작은 그냥 a가 음수인데 마이너스가 하나 더붙어서 -(-a) 이렇게되면 이거는 그냥 +a가 되는거죠?
근데 a가 처음에 음수인건 어떻게 구별해요?
그건 문제에 따라 다르죠.
안녕하세요 오랜만에 오네요 분수를 거듭제곱으로 나타낼때 1/7 x 1/7 x 1/5 x 1/5 x 1/5 x 1/5 x 1/2 x 1/2 x 1/2 는 괄호는 써서 (1/7)2 x (1/5)4 x (1/2)3 이렇게 쓰는건가요 아니면 괄호안에 지수를 넣나요? 음....그냥 괄호가 아예 없는건가요?!?!?
처음 쓴 게 맞아요.
자세한 건 아래 거듭제곱에 대한 글을 참고하세요.
https://mathbang.net/198
감사합니다~!!
초등학교 6학년인데 이해하기 쉽게 설명해주셔서 감사합니다!!!
앞으로 더 많이 들어와서 개념 공부 열심히 할께요
다시 한 번 더 감사합니다~^^
네, 자주자주 만나요
2x(x+1)은 일차식 인가요?
3x+1-3(x-1) 도 일차식인가요?
모든 항을 전개하고 동류항 정리까지 마친 후에 판단해야 해요.
그래서 둘 다 일차식이 아니에요.
2a+3이 분모이고 5가 분자인 식(분수를 나타내기어려워 말로썼어요)은 단항식인가요? 다항식인가요?
분수식이라고 해요.
https://mathbang.net/324
3xy+2y^5 식에서 x,y에 대한 차수를 물으면 두 문자가 포함된 항의 차수 2라고 해야 하나요? 아니면 2y^5에 x^0이 포함되었다고 생각하고 5라고 해야 하나요?
x, y 둘 다 쳐야하니까 둘 중 어느 것이든 포함하는 걸 계산해서 5가 맞아요.
x에 대해서는 1차
y에 대해서는 5차
x, y에 대해서는 5차
만약, 3xy + 2xy^5라면 x, y에 대해서 6차가 되겠지요.
만약에 1/x+4 라면 일차식인가요?
분모에 미지수가 있는 건 다항식이 아니라서 우리가 다루는 내용이 아니에요. 나중에 고등학교에 가서 다룰 거예요.
3x-3x+10은 일차식인가요?
아니라면 왜 아닌가요?
동류항끼리 계산을 다 한 후에 일차식인지 아닌지 판단을 해야 해요.
3x - 3x + 10 = 10 이므로 일차식이 아니에요.
2x - y + 5 에서 x의 계수는 2, y의 계수는 1인가요?
다항식의 차수는 일차식인가요?
x의 계수는 2, y의 계수는 앞 부호까지 해서 -1이고, 차수는 1차예요.
단항식에 -X^2 처럼 마이너스 부호가 있는데 풀어쓸려면 -X x -X 처럼하나요?
아님 -(X x X) 처럼 하나요?
-X^2
= (-X) x X
= - (X x X)
아래 글을 읽어보시면 도움이 될 거예요.
https://mathbang.net/217
다항식 쓸 때 a^2를 먼저 써요? 아니면 a를 먼저 써요?
순서는 상관없지만 대게 차수가 높은 걸 앞에 써요.
비밀댓글입니다
동류항의 덧셈과 뺄셈 참고하세요.
https://mathbang.net/229
비밀댓글입니다
그냥 간단하게
+만 있고, 등호(=) 없으면 다항식(단항식 포함)
+ 유무와 상관없이, = 있으면 등식
=있는 등식이면서, 미지수 있는데 미지수가 특정한 값을 가질 때만 등식이 성립하면 방정식
=있는 등식이면서, 미지수 있는데 미지수 값과 상관없이 등식이 항상 성립하면 항등식
방정식과 항등식은 등호가 있으니까 등식의 한 종류예요.
등식, 방정식, 항등식에 대한 설명은 아래글에 자세히 설명되어 있어요.
https://mathbang.net/230
두 식 중 앞의 식은 등호(=)가 없이 여러 항이 +으로 연결된 다항식이고, 뒤의 식은 등호가 있으니까 등식이면서 미지수가 있으니까 방정식이기도 해요.
비밀댓글입니다
안녕하세요. 수학방님. 제가 아무리 봐도 모르는 게 있어서요. 문자가 분모에 있으면 일차식이 아니고 분자에 있으면 일차식인가요?
문자가 분자에 있으면서 차수가 1인식을 일차식이라고 해요.
문자가 분모에 있는 식은 고등학교때 유리식에서 공부해요.
https://mathbang.net/324
감사합니다~^^
(3x-9)/7=2x+18
(3x-9)/7*7=(2x+18)*7
3x+9=14x+126
11x=-117
x=-117/11
맞나요?
좌변 분모의 7을 양변에 곱하고 우변의 괄호를 분배법칙으로 푸는 방법은 맞았어요.
그런데 중간에서 -9가 +9로 바뀌면서 계산이 틀렸네요.
복잡한 일차방정식의 풀이에 다른 유형도 있으니 함께 공부하시면 좋겠네요.
https://mathbang.net/233
상수항도 계수인가요? 그럼 계수를 찾아라 할때, 숫자만 써있는 상수항도 답에 포함되어야 하나요?문제집 답안엔 그렇게 안되있는 것같아 헷갈립니다.