이 글도 이 단원에서 사용할 용어들에 대한 뜻을 설명하는 글이에요. 용어의 뜻을 모르면 문제를 파악하지도 못하고, 식을 제대로 이해할 수 없어요.
공식처럼 달달 외울 필요는 없지만 그래도 각 용어가 무엇을 뜻하는지는 정확히 알아야 해요. 용어를 공부하는 건 다른 내용을 공부하는 것보다 지루하고 어려울 수 있지만 가장 기본이 되는 만큼 한 번에 제대로 해야 합니다.
문자와 식, 대입에서 공부했던 내용과 이 글에서 공부할 내용을 모두 알고 있어야 이후의 과정을 공부할 수 있어요.
항, 상수항, 계수
항은 숫자 또는 문자의 곱으로 이루어진 식을 말해요. 숫자와 문자를 곱한 것, 문자와 문자를 곱한 것이죠. 숫자와 숫자를 곱한 건 숫자니까 당연히 항이고요. 문자만 있는 건 문자와 1을 곱한 거로 볼 수 있으니까 이것도 항이에요.
숫자, 문자, 숫자와 문자를 곱한 것, 문자끼리 곱한 것이 되겠네요.
3, a, 3a, a2
상수항은 항 중에서 숫자만 있는 항을 말해요. 3, -7처럼 그냥 일반적인 숫자를 상수항이라고 생각하면 쉬워요.
계수는 숫자와 문자의 곱에서 숫자를 말해요. 숫자와 문자의 곱에서는 곱셈기호를 생략하는데, 이때 문자 앞에 쓰여 있는 숫자라고 생각하면 쉬워요. 3a는 숫자 3과 문자 a가 곱해진 거잖아요. 여기서 숫자 3을 계수라고 합니다. 참고로 a는 1 × a이므로 계수는 1이에요.
위 그림에서 항과 계수, 상수항을 찾아보죠.
4x2 + 2y - 3이에요.
항은 곱하기로 이루어진 걸 말하니까 4와 x 두 개가 곱해진 4x2이하나의 항이에요. 2와 y가 곱해진 2y도 하나의 항이고요. -3도 하나의 항인데, 숫자만 있으니까 상수항이에요. 그냥 3이 아니라 -3이에요. 주의하세요.
사실은 +4x2, +2y도 +부호가 붙어있는데, + 부호는 생략할 수 있으니까 생략한 거예요. -는 생략할 수 없어서 -3처럼 써줘야 하죠.
계수는 문자의 앞에 곱해진 수를 말해요. 4x2 앞에는 4가 있으니까 4가 계수, 2y 앞에는 2가 있으니까 2가 계수네요. 문자가 곱해져있진 않지만 상수항도 계수에 포함되므로 -3도 계수예요.
단항식과 다항식
다항식에서 "다"는 多예요. 항이 많이 있는 식이라는 뜻이죠. 많다고 해서 진짜로 많은 게 아니고요, 1개 이상만 있으면 돼요. 항이 1개 있어도, 2개 있어도, 100개 있어도 다항식이에요
4x2, 4x2 + 2y, 4x2 + 2y - 3, -3, …
단항식은 다항식 중에서 항이 1개만 있는 걸 말해요.
4x2, 2y, -3
다항식은 항이 1개 이상이고, 단항식은 항이 1개여야만 하니까 단항식은 다항식에 포함돼요.
차수와 일차식
차수는 문자가 곱해진 횟수를 말해요.
4x2 + 2y - 3
4x2에서 x는 두 번 곱해졌죠? 그래서 차수는 2예요. 2y에서는 y가 한 번 곱해졌어요. 그래서 차수는 1이죠. -3은 문자가 곱해진 게 없어요. 그래서 차수가 0이에요. 상수항은 차수가 항상 0이에요.
항의 차수가 1이면 일차항, 2면 이차항, 3이면 삼차항이라고 해요.
차수는 문자의 거듭제곱에서 지수와 같아요.
항에서의 차수는 위 방법으로 구하는데, 다항식에서 차수는 어떻게 구할까요?
다항식에서 문자가 곱해진 개수가 다를 수 있어요. 예를 들어서 2x2 + 3x + 1이라는 다항식이 있다고 해보죠. 2x2의 차수는 2, 3x의 차수는 1, 1의 차수는 0이에요. 일단 각 항의 차수는 구했어요. 다항식 전체의 차수를 구할 때는 차수가 가장 높은 항(최고차항)의 차수를 말하면 돼요. 여기서는 2x2의 차수가 2로 가장 높으니까 다항식 2x2 + 3x + 1의 차수는 2인 거죠.
최고차항의 차수가 1인 다항식을 일차식, 최고차항의 차수가 2인 다항식을 이차식이라고 해요. 2x2 + 3x + 1은 차수가 2니까 이차식이죠.
다시 4x2 + 2y - 3으로 돌아와서요.
이 다항식은 x를 기준으로 하면 차수가 2인데, y를 기준으로 하면 차수가 1이죠? 이처럼 곱해진 문자가 다를 때는 어떤 문자를 기준으로 할 것인지 정확하게 얘기를 한 다음에 차수를 말해줘야 해요.
어떻게 하느냐면 "x에 대한 이차식" 또는 "y에 대한 일차식"이라고 말이죠.
다항식 4x2 + 2x - 3y + 2에서 항, 상수항, 계수, 차수를 구하여라.
일단 항으로 나눠보죠. 4x2, 2x, -3y, 2의 네 개 항으로 되어 있는 다항식이네요.
상수는 숫자만 있는 항이니까 2가 상수항이고요.
각 항의 차수를 보죠. 4x2는 2, 2x는 1, -3y는 1, 상수항 2는 0이죠.
계수는 문자 앞에 곱해진 숫자를 말하죠? 4x2의 계수는 4, 2x의 계수는 2, -3y의 계수는 -3이네요. 상수항 2도 있군요.
다항식의 차수는 차수가 가장 높은 항을 말하는데, 이보다 먼저 기준이 되는 문자를 정해야 해요. x에 대해서는 4x2의 2가 가장 높으니까 x에 대한 이차식이고요. y에 대해서는 -3y의 1이 가장 높으니까 y에 대한 일차식이에요.
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X3+ 2x2y2+ y4-5
x의 세제곱 + 2x의 제곱y의 제곱+ y의 4제곱-5인데요
제가 푸는 교재에서는 x,y 에 대한 4(=2+2)차식이라고 나와 있는데, x,y 포함해서 최고 차수가 4라서 4차식인 것 같은데, 2+2는 어디서 나타난 것인가요?
두 번째 항에서 x의 2, y의 2를 더한 거예요.
아주
이해가 잘되네요
이해된 거 잊어버리지 마세요. ㅎ
맹장연 때문에 한동안 진도 나만 못나간거 때문에 고생 했는데 이거보고5점 떨어진 성적이 10점 로름 ㅎㅎ
다음에는 20점 오르기를 기대할게요.
다항식에 숫자가 없으면 상수항은 0이다 라고할수있너요?
없다고 하는 게 정확하죠.
안녕하세요. x분의 1은 항에 속하는 것이 아닌가 궁금해요.
네, 항에 속해요.
2의 10 제곱은 차수가 10이라고 할 수 있는건가요?
네. 맞아요.
문제가 "다음 식을 간단히 하여라." 이면 전개를 하라는 뜻인가요? 아니면 괄호를 풀지 않는건가요?
전개해서 동류항 정리까지 다 하라는 뜻이에요.
아, 그렇군요! 감사합니당
안녕하세요! 위에 질문하신 분에 의해 궁금한 것이 생겨서 물어봅니다.
식을 전개 할때 동류항 끼리 정리가 되는 것이 없어서 식의 길이가 더욱 길어지면 그것은 식을 간단히 한 것이 아닌가요?
길이가 아닌 계산을 간단히 하는 거예요.
더 이상 계산할 게 없으면 최고로 간단해지는 거겠죠?
그렇다면 2(a+b) 와 2a+2b 중에서 어떤 식이 더 간단한 건 가요?
2a + 2b 요.
궁금한게 있어서 질문해요!
상수항과 상수는 같은 것 인가요?
@핫 제 생각에는 그런 것 같아요!
상수항은 (바뀌지 않고 항상 일정한) 상수로 된 항이에요.
x분의2 -1는 1차식인가요?
분수에서 분모에 미지수가 있으면 1차도 아니고 2차도 아니에요.
이건 나중에 고등학교에 가면 공부할 거예요.
사랑합니다
항상 잘 참고하고 있습니다. 근데 상수항도 계수에 포함된다는 얘기는 잘 이해가 안 갑니다.
a×1은 a 와 같은 경우 때문에 상수항도 계수에 포함 된다는건가요? 아니면 상수항이 계수가 되는 특정한 조건이 있나요?
7/x가 일차식인가요?
아니요~ 분모에 미지수는 일차도 2차도 아니에요 이유는 모르겠습니다
3/X 은 다항식이 아니라고 배웠습니다.
그럼 단항식은 되나요?
3 곱하기 엑스분의 1 이 되니까 단항식은 되는것 같거든요.
혹시 안되는거라면 설명도 부탁드립니다.
미리 감사합니다.
3/x 라는건 애초에 3÷x 여서 수와 문자의 곱이 아니라 나누기이기에 애초에 항이 되지 않아요 그래서 다항식도 아니고 당연히 단항식도 되지 못합니다.
-0.4y는 단항식이지만 다항식도 될 수 있다는 건가요?
일단 -0이 아니라 그냥 0이에요.
단항식은 항이 1개인 것.
다항식은 항이 1개, 2개, 3개, ..... 인 것
항이 1개인 0이나 4y는 단항식이면서 다항식이죠.
다항식의 차수가 분수여도 되나요?
나중에 고등학교에서 공부할 거예요. 중학과정에서는 자연수만 나와요.
인생
오... 상수항도 계수에 포함되는구나
1/x이랑 y/3도 일차식인가요?