이차방정식의 근과 계수와의 관계는 중3 때 근과 계수와의 관계에서 했어요. 내용은 전혀 달라지지 않았습니다. 완전히 똑같아요. 대신 이걸 활용하는 문제가 조금 더 어려워진 것뿐이에요.
근과 계수와의 관계 공식을 잊어버렸다면 이 글을 통해서 한번 더 복습하고 앞으로는 잊어버리지 않도록 하세요.
이차방정식의 근과 계수와의 관계 문제에서는 곱셈공식의 변형을 이용한 문제들이 많이 나오니까 이 공식들도 기억하고 있어야 해요.
이차방정식의 근과 계수와의 관계
이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a, b, c는 실수, a ≠ 0)의 근은 근의 공식을 이용해서 구할 수 있어요.
이차방정식의 두 근을 α, β라고 하고 
두 근의 합과 계수와의 관계
일단 두 근 α, β를 더 해보죠.
두 근의 곱과 계수와의 관계
이번에는 두 근을 곱해볼게요.
정리해보면 아래 공식을 얻을 수 있어요.
두 근의 차와 계수와의 관계
이번에는 차를 구해보죠. 차는 α, β 중 어느 것이 더 큰지 모르니까 절댓값을 이용해서 구해요.
분자는 근의 공식에서 뒤에 있는 제곱근 부분으로 판별식 D에 루트 씌워놓은 거고, 분모는 |a|네요.
위 공식을 이용해서 차를 구하는 경우보다는, 두 근의 합(α + β)와 두 근의 곱(αβ)를 이용해서 구하는 경우가 훨씬 많아요. 이때, 곱셈공식의 변형을 사용해요.
2x2 + 4x - 8 = 0의 두 근을 α, β라고 할 때 다음을 구하여라.
(1) α + β
(2) αβ
(3) α2 + β2
(4) (α + 1)(β + 1)
(5)
(6) |α - β|
(1) α + β =
(2) αβ =
(3) α2 + β2은 곱셈공식의 변형을 이용한 문제예요.
α2 + β2
= (α + β)2 - 2αβ
= (-2)2 - 2 × (-4)
= 4 + 8 = 12
(4) (α + 1)(β + 1)는 곱셈공식을 이용해서 전개해야겠네요.
(α + 1)(β + 1)
= αβ + α + β + 1
= -4 + (-2) + 1
= -5
(5) 
(6) 두 근의 차는 두 근의 합, 두 근의 곱, 곱셈공식의 변형을 이용해서 구하고, 절댓값으로 표현합니다.
(α - β)2 = (α + β)2 - 4αβ
(α - β)2 = (-2)2 - 4 × (-4)
(α - β)2 = 4 + 16
(α - β)2 = 20
|α - β| =
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[중등수학/중3 수학] - 근과 계수와의 관계
이런글 언제나 감사합니다~^^
댓글 고맙습니다. ㅎㅎ
정말감사합니다. 수업시간에 지나치고 잊었던 내용들이 하나씩 자세하게 설명해주시네요.
수업시간에 지나치시면 안돼요. ㅎㅎ
수업시간에 꼼꼼히 듣고 여기와서 한 번 더 확인하세요.
비밀댓글입니다
근의 공식을 이용하는 유도는 교과서에도 나오는 방법이라서 절대로 안될 이유는 없는데 왜 그런 얘기를 하셨는지 저도 이해가 안되네요.
아마도 이차방정식의 일반형과 α, β를 근으로 하는 이차방정식(http://mathbang.net/337)에서 구한 이차방정식의 계수를 비교하는 방법으로 유도하는 걸 원하셨을 수도 있겠네요.
깔끔한 설명과 자세한 풀이까지 정말 감사합니다
댓글 고맙습니다. 그리 어렵지 않은 내용이니까 직접 한 번 구해보는 것도 도움이 될 거예요.
예비고 1용 책도 내주시면꼭 사갰습니다.
P.s.개인적으로 두 근의 차는 a절댓값 분의 루트판별식이 더 편하내요 ㄷㄷ
일잔 중학생용을 먼저 낸 다음에 고등학생용을 낼 계획이라서요 아마 1학기 중에나 되어야 할 것 같네요.
ps. 판별식을 이용하는 게 쉽긴 한데 실제로 출제되는 유형은 두 근의 합과 곱을 이용해서 구하는 게 많아요.
감사합니다문제푸는데 많은도움됐어요
다른 글들도 둘러보고 가세요. 많은 도움(?)이 될 거예요.
쉽게설명해주셔서 감사해요~~그런데 두근의 차는 분모는 절대값a인데 분자의 근호에는 왜 절대값을 안한건지 궁금해요
루트를 쓰고 있으니까 양수잖아요.
좀더 엄밀히 말하면 근의 공식은 계수가 실수가 아니라도 사용가능하고 다만 판별식은 실수 계수에서만 사용가능하다 이거 맞지요? 근의 공식은 계수다 허수라도 사용가능하다고 배웠습니다
판별식은 부호를 다루는데, 계수에 허수가 들어있으면 계산 결과에도 허수가 들어있을 수 있죠. 허수는 크기나 부호를 따질 수 없으니 판별식을 이용할 수 없어요.
정말 감사합니다 유익한 정보입니다
댓글 고맙습니다. 더 유익한 자료도 많으니 둘러보세요.
감사합니다 정말로요
저도 고맙습니다. 진짜로요.
중 3 선행하는데 큰 도움이 되었어요 ^^
선행할 때는 문제풀이보다 개념 이해 위주로 짧게 공부하세요.
공부할때 도움 많이 받고있습니다
항상 감사해요!!
댓글 고맙습니다.
다른 글들도 공부할 때 도움이 많이 됐으면 좋겠네요.
감사합니다! 많은 도움이 되었네요.
네, 댓글 고맙습니다.
두근의 차에서 왜 분자의 절대값은 사라지나요? 다른데에 질문하니 루트 안에 음수가 올 수 없다고 하던데 허수는 루트 안에 음수가 올 수 있잖아요. 실제 이유는 "두근의 차이"라서 허수가 올수는 없는건가요?
두 근은 기본적으로 실근을 말해요. 허근을 다루지 않아요. 판별식이 0보다 크거나 같으니까 절댓값을 바로 없앨 수 있어요.
유익한 정보내요
유익한 댓글이군요. ㅎ
수학방
네..
중소기업 신세 벗어나려고 나이들어 공부하려니 힘이든데, 많은 도움 받고 있습니다. 감사합니다.
(a-1)^2+(b-1)^2 의 전개에서, a,b 단일값이 아닌 합과 곱으로 변형하는 방법을 어떻게 유도해야 하나요?
a^2+b^2-(a+b)+2 = (a+b)^2-2ab-2(a+b)+2 가 되는 파트는 어느부분인가요!
곱셈공식의 변형( https://mathbang.tistory.com/253 )에 있는 내용이네요.
감사합니다
이차방정식의 계수가 허수이거나 근이 허수여도 항상 근과 계수와의 관계가 성립하나요??
그렇군
그렇지