나머지정리, 인수정리

다항식을 나누는 건 숫자를 나누는 것과 같다고 했어요. 다만 최고차항의 차수와 계수를 이용해서 나누는 것만 다르죠.

다항식을 나누는 이유는 몫과 나머지를 구하기 위해서예요. 그런데, 몫은 필요 없고 나머지만 구하는 경우도 있겠죠? 이럴 때 나머지정리라는 걸 이용하면 편리하게 나머지를 구할 수 있어요.

인수정리라는 것도 있는데, 인수정리의 인수는 인수분해에서 사용했던 인수와 같은 말이에요. 그러니까 인수분해와 인수정리의 연관성을 생각해보는 것도 좋아요.

나머지정리와 인수정리는 한 끗 차이니까 잘 비교해서 이해하세요.

나머지정리

다항식의 나눗셈에서 다항식 A를 0 아닌 다항식 B로 나눌 때, 몫을 Q, 나머지를 R이라고 하면 A = BQ + R이라는 식으로 나타낼 수 있다고 했어요.

다항식의 나눗셈을 할 때, 세로로 바꿔서 숫자의 나눗셈을 할 때처럼 한다고 했죠? 그래서 몫과 나머지를 구했어요. 그런데 몫은 구하지 않고 나머지만 바로 구할 수 있을까요? 나머지정리를 이용해서 나머지만 구할 수 있는데, 어떻게 하는지 알아보죠.

x³ + 2x² - 3x + 7을 x - 4로 나누었을 때 나머지를 구해보죠.

A = BQ + R이므로
x³ + 2x² - 3x + 7 = (x - 4)Q + R로 쓸 수 있겠죠?

R만 구하는 방법은 두 가지에요.

1. 우변의 (x - 4)Q를 이항해서 R = x³ + 2x² - 3x + 7 - (x - 4)Q로 만들거나
   
2. 우변의 (x - 4)Q = 0으로 만들어서 R = x³ + 2x² - 3x + 7을 구하는 거죠.

두 번째 방법에서 (x - 4)Q를 0이 되게 만들 수 있어요. 어떻게요? x = 4를 대입하면 되잖아요.

항등식의 미정계수법 - 수치대입법을 생각해보세요. x에 특정한 값을 대입해서 식을 간단하게 만들었잖아요. x = 4를 대입해보죠.

4³ + 2 × 4² - 3 × 4 + 7 = (4 - 4)Q + R
R = 64 + 32 - 12 + 7 = 91

직접 나눗셈을 해보지 않아도 나머지만 빠르게 구했어요.

위에서는 A라는 식을 사용했는데요, 보통은 x에 관한 식을 사용하니까 나눠지는 식을 f(x)라고 하고, 몫은 Q(x)라고 해요. f(x)를 x - 4로 나눌 때의 나머지는 x = 4를 대입했을 때의 값이죠? 이건 f(4)라고 표현할 수 있잖아요.

f(x)를 (x - 4)로 나눌 때의 나머지 = f(4)

이번에는 같은 식을 2x - 1로 나누었을 때의 나머지를 구해보죠. 식을 써보면 아래처럼 될 거예요.

f(x) = x³ + 2x² - 3x + 7 = (2x - 1)Q(x) + R

마찬가지로 수치대입법을 이용해서 x = 을 대입하면 (2x - 1)Q(x) = 0이 되어서 우변은 R만 남죠.

두 보기에서 확인할 수 있듯이 f(x)를 일차식으로 나눌 때의 나머지 R은 (나누는 일차식) = 0이 되는 x를 f(x)에 대입한 값과 같아요.

나머지정리
x에 대한 다항식 f(x)를 일차식 (x - α)로 나누었을 때 나머지 R = f(α)
x에 대한 다항식 f(x)를 일차식 (ax + b)로 나누었을 때의 나머지 R =

다항식 f(x)를 (x - 1)로 나눈 나머지는 1, (x - 2)로 나눈 나머지는 3일 때, f(x)를 (x - 1)(x - 2)로 나눈 나머지를 구하여라.

문제를 식으로 나타내 보죠.
f(x)를 (x - 1)로 나눈 나머지가 1 → f(1) = 1
f(x)를 (x - 2)로 나눈 나머지가 3 → f(2) = 3
f(x)를 (x - 1)(x - 2)로 나누기 → f(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x) + R(x)

여기서 중요한 건 나머지는 나누는 식보다 차수가 작다는 거예요. 나누는 식이 (x - 1)(x - 2)로 이차식이니까 R은 상수항일 수도 있지만, x에 관한 일차식일 수도 있어요. x에 관한 일차식이니까 R(x) = ax + b라고 나타내야 합니다.

f(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x) + ax + b

f(1) = (1 - 1)(1 - 2)Q(1) + a + b = 1
a + b = 1

f(2) = (2 - 1)(2 - 2)Q(2) + 2a + b = 3
2a + b = 3

a + b = 1, 2a + b = 3을 연립방정식으로 풀면 a = 2, b = -1이 되므로 R(x) = ax + b = 2x - 1이에요.

나머지정리는 나누는 식이 일차식일 때뿐 아니라 그보다 더 높은 차수의 식일 때도 사용할 수 있다는 걸 알 수 있죠? 또, 나누는 식 = 0이 되는 x의 개수가 더 많아지는 것도 확인할 수 있어요.

나누는 식이 일차식이면 R은 상수
나누는 식이 이차식이면 R(x) = ax + b
나누는 식이 삼차식이면 R(x) = ax² + bx + c

인수정리

다항식의 나눗셈에서 다항식 A를 0이 아닌 다항식 B로 나누었을 때 나머지 R = 0이면 나누어떨어진다고 했어요. R = 0이니까 f(x)로 바꿔서 표현하면 f(x) = (x - α)Q(x)가 되겠죠?

나머지정리에 의해서 f(x)에 x = α를 대입하면 f(α) = 0이 돼요.

f(x) = (x - α)Q(x)에서 f(x)는 (x - α)와 Q(x)라는 두 다항식의 곱으로 되어있어요. 이렇게 어떤 다항식이 두 개 이상의 다항식의 곱으로 표시하는 걸 인수분해라고 했어요. 곱해져 있는 다항식을 인수라고 하죠? 따라서 (x - α)와 Q(x)는 f(x)의 인수에요.

그래서 이걸 인수정리라고 하는 거예요.

인수정리
x에 대한 다항식 f(x)가 (x - α)로 나누어떨어진다.
⇔ f(x) = (x - α)Q(x)
⇔ f(α) = 0
⇔ f(x)가 (x - α)를 인수로 가진다.

f(x)가 (ax + b)로 나누어떨어진다.
⇔ f(x) = (ax + b)Q(x)
⇔  = 0
⇔ f(x)가 (ax + b)를 인수로 가진다.

인수정리는 나머지정리 중에서 나머지 R = 0일 때를 말하는 거예요.

다항식 f(x) = 3x³ - ax² + x - 6가 x - 2로 나누어떨어질 때 a의 값을 구하여라.

다항식 f(x)가 x - 2로 나누어떨어지면 f(2) = 0이에요.
f(2) = 3 × 2³ - a × 2² + 2 - 6 = 0
4a = 24 + 2 - 6
4a = 20
a = 5

f(x) = 3x³ - 2x² + ax - b가 (x - 1)과 (x - 2)로 나누어떨어질 때, a, b를 구하여라.

f(x)가 (x - 1)로 나누어떨어진다. ⇔ f(x) = (x - 1)Q₁(x) ⇔ f(x)는 (x - 1)을 인수로 가진다. ⇔ f(1) = 0
f(x)가 (x - 2)로 나누어떨어진다. ⇔ f(x) = (x - 2)Q₂(x) ⇔ f(x)는 (x - 2)을 인수로 가진다. ⇔ f(2) = 0

f(x)가 (x - 1)과 (x - 2) 두 개 모두를 인수로 가지므로 이걸 식으로 나타내면 f(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x)로 쓸 수 있어요.

f(1) = 3 × 1³ - 2 × 1² + a - b = 0
a - b = -1
f(2) = 3 × 2³ - 2 × 2² + 2a - b = 0
2a - b = -16

a - b = -1, 2a - b = -16를 연립방정식으로 풀어보면 a = -15, b = -14

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정리해볼까요

나머지정리

• x에 관한 식 f(x)를 (x - α)로 나눌 때의 나머지 = f(α)
  f(x) = (x - &alpha)Q(x) + R
• x에 관한 식 f(x)를 (ax + b)로 나눌 때의 나머지 =
  f(x) = (ax + b)Q(x) + R

인수정리

• x에 대한 다항식 f(x)가 x - α로 나누어떨어진다.
  ⇔ f(x) = (x - α)Q(x)
  ⇔ f(α) = 0
  ⇔ f(x)가 (x - α)를 인수로 가진다.
• f(x)가 ax + b로 나누어떨어진다.
  ⇔ f(x) = (ax + b)Q(x)
  ⇔  = 0
  ⇔ f(x)가 (ax + b)를 인수로 가진다.

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