다항식을 나누는 건 숫자를 나누는 것과 같다고 했어요. 다만 최고차항의 차수와 계수를 이용해서 나누는 것만 다르죠.
다항식을 나누는 이유는 몫과 나머지를 구하기 위해서예요. 그런데, 몫은 필요 없고 나머지만 구하는 경우도 있겠죠? 이럴 때 나머지정리라는 걸 이용하면 편리하게 나머지를 구할 수 있어요.
인수정리라는 것도 있는데, 인수정리의 인수는 인수분해에서 사용했던 인수와 같은 말이에요. 그러니까 인수분해와 인수정리의 연관성을 생각해보는 것도 좋아요.
나머지정리와 인수정리는 한 끗 차이니까 잘 비교해서 이해하세요.
나머지정리
다항식의 나눗셈에서 다항식 A를 0 아닌 다항식 B로 나눌 때, 몫을 Q, 나머지를 R이라고 하면 A = BQ + R이라는 식으로 나타낼 수 있다고 했어요.
다항식의 나눗셈을 할 때, 세로로 바꿔서 숫자의 나눗셈을 할 때처럼 한다고 했죠? 그래서 몫과 나머지를 구했어요. 그런데 몫은 구하지 않고 나머지만 바로 구할 수 있을까요? 나머지정리를 이용해서 나머지만 구할 수 있는데, 어떻게 하는지 알아보죠.
x3 + 2x2 - 3x + 7을 x - 4로 나누었을 때 나머지를 구해보죠.
A = BQ + R이므로
x3 + 2x2 - 3x + 7 = (x - 4)Q + R로 쓸 수 있겠죠?
R만 구하는 방법은 두 가지에요.
- 우변의 (x - 4)Q를 이항해서 R = x3 + 2x2 - 3x + 7 - (x - 4)Q로 만들거나
- 우변의 (x - 4)Q = 0으로 만들어서 R = x3 + 2x2 - 3x + 7을 구하는 거죠.
두 번째 방법에서 (x - 4)Q를 0이 되게 만들 수 있어요. 어떻게요? x = 4를 대입하면 되잖아요.
항등식의 미정계수법 - 수치대입법을 생각해보세요. x에 특정한 값을 대입해서 식을 간단하게 만들었잖아요. x = 4를 대입해보죠.
43 + 2 × 42 - 3 × 4 + 7 = (4 - 4)Q + R
R = 64 + 32 - 12 + 7 = 91
직접 나눗셈을 해보지 않아도 나머지만 빠르게 구했어요.
위에서는 A라는 식을 사용했는데요, 보통은 x에 관한 식을 사용하니까 나눠지는 식을 f(x)라고 하고, 몫은 Q(x)라고 해요. f(x)를 x - 4로 나눌 때의 나머지는 x = 4를 대입했을 때의 값이죠? 이건 f(4)라고 표현할 수 있잖아요.
f(x)를 (x - 4)로 나눌 때의 나머지 = f(4)
이번에는 같은 식을 2x - 1로 나누었을 때의 나머지를 구해보죠. 식을 써보면 아래처럼 될 거예요.
f(x) = x3 + 2x2 - 3x + 7 = (2x - 1)Q(x) + R
마찬가지로 수치대입법을 이용해서 x = 
두 보기에서 확인할 수 있듯이 f(x)를 일차식으로 나눌 때의 나머지 R은 (나누는 일차식) = 0이 되는 x를 f(x)에 대입한 값과 같아요.
나머지정리
x에 대한 다항식 f(x)를 일차식 (x - α)로 나누었을 때 나머지 R = f(α)
x에 대한 다항식 f(x)를 일차식 (ax + b)로 나누었을 때의 나머지 R =
다항식 f(x)를 (x - 1)로 나눈 나머지는 1, (x - 2)로 나눈 나머지는 3일 때, f(x)를 (x - 1)(x - 2)로 나눈 나머지를 구하여라.
문제를 식으로 나타내 보죠.
f(x)를 (x - 1)로 나눈 나머지가 1 → f(1) = 1
f(x)를 (x - 2)로 나눈 나머지가 3 → f(2) = 3
f(x)를 (x - 1)(x - 2)로 나누기 → f(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x) + R(x)
여기서 중요한 건 나머지는 나누는 식보다 차수가 작다는 거예요. 나누는 식이 (x - 1)(x - 2)로 이차식이니까 R은 상수항일 수도 있지만, x에 관한 일차식일 수도 있어요. x에 관한 일차식이니까 R(x) = ax + b라고 나타내야 합니다.
f(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x) + ax + b
f(1) = (1 - 1)(1 - 2)Q(1) + a + b = 1
a + b = 1
f(2) = (2 - 1)(2 - 2)Q(2) + 2a + b = 3
2a + b = 3
a + b = 1, 2a + b = 3을 연립방정식으로 풀면 a = 2, b = -1이 되므로 R(x) = ax + b = 2x - 1이에요.
나머지정리는 나누는 식이 일차식일 때뿐 아니라 그보다 더 높은 차수의 식일 때도 사용할 수 있다는 걸 알 수 있죠? 또, 나누는 식 = 0이 되는 x의 개수가 더 많아지는 것도 확인할 수 있어요.
나누는 식이 일차식이면 R은 상수
나누는 식이 이차식이면 R(x) = ax + b
나누는 식이 삼차식이면 R(x) = ax2 + bx + c
인수정리
다항식의 나눗셈에서 다항식 A를 0이 아닌 다항식 B로 나누었을 때 나머지 R = 0이면 나누어떨어진다고 했어요. R = 0이니까 f(x)로 바꿔서 표현하면 f(x) = (x - α)Q(x)가 되겠죠?
나머지정리에 의해서 f(x)에 x = α를 대입하면 f(α) = 0이 돼요.
f(x) = (x - α)Q(x)에서 f(x)는 (x - α)와 Q(x)라는 두 다항식의 곱으로 되어있어요. 이렇게 어떤 다항식이 두 개 이상의 다항식의 곱으로 표시하는 걸 인수분해라고 했어요. 곱해져 있는 다항식을 인수라고 하죠? 따라서 (x - α)와 Q(x)는 f(x)의 인수에요.
그래서 이걸 인수정리라고 하는 거예요.
인수정리
x에 대한 다항식 f(x)가 (x - α)로 나누어떨어진다.
⇔ f(x) = (x - α)Q(x)
⇔ f(α) = 0
⇔ f(x)가 (x - α)를 인수로 가진다.
f(x)가 (ax + b)로 나누어떨어진다.
⇔ f(x) = (ax + b)Q(x)
⇔ 
⇔ f(x)가 (ax + b)를 인수로 가진다.
인수정리는 나머지정리 중에서 나머지 R = 0일 때를 말하는 거예요.
다항식 f(x) = 3x3 - ax2 + x - 6가 x - 2로 나누어떨어질 때 a의 값을 구하여라.
다항식 f(x)가 x - 2로 나누어떨어지면 f(2) = 0이에요.
f(2) = 3 × 23 - a × 22 + 2 - 6 = 0
4a = 24 + 2 - 6
4a = 20
a = 5
f(x) = 3x3 - 2x2 + ax - b가 (x - 1)과 (x - 2)로 나누어떨어질 때, a, b를 구하여라.
f(x)가 (x - 1)로 나누어떨어진다. ⇔ f(x) = (x - 1)Q1(x) ⇔ f(x)는 (x - 1)을 인수로 가진다. ⇔ f(1) = 0
f(x)가 (x - 2)로 나누어떨어진다. ⇔ f(x) = (x - 2)Q2(x) ⇔ f(x)는 (x - 2)을 인수로 가진다. ⇔ f(2) = 0
f(x)가 (x - 1)과 (x - 2) 두 개 모두를 인수로 가지므로 이걸 식으로 나타내면 f(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x)로 쓸 수 있어요.
f(1) = 3 × 13 - 2 × 12 + a - b = 0
a - b = -1
f(2) = 3 × 23 - 2 × 22 + 2a - b = 0
2a - b = -16
a - b = -1, 2a - b = -16를 연립방정식으로 풀어보면 a = -15, b = -14
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ax^3-13x^2+bx-4가 (x-2)^2으로 나누어 떨어질때
a+b의 값을 구하는 문제인데
나누는 식이 저러면 어떻게 해야하는거죠 ㅠㅠ
다른 조건이 없이 그냥 저게 다예요?
마지막문제에 연립방정식해서 하잖아요? b가 왜 -14가나오는지 모르겠어요 ㅠㅠ
그냥 간단한 연립방정식이에요.
2번째 문제풀이에서 뭔가 이상한 논리가 있어서요~ f(x)가 (x-1)를 인수로 가지고 (x-2)도 인수로 가질때 f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)로 나타낼 수 있다고 했는데 이건 뭔가 잘못된거 아닌가요? 예를들면 숫자 40의 약수 즉 인수로 1 2 4 5 8 10 20 40이렇게 있는데 4와 8이 40의 인수라고 하더라도 이걸 40=4×8×Q(x)로 나타낼 수는 없잖아요~~~
4, 8은 소인수가 아니니까 안되는 거죠. 2나 5를 이용하면 가능한 이야기예요. 40 = 2 x 5 x Q(x)
나누는 식이 x^2+x+1같이 f(x)=0인 실수 x가 존재하지 않는 식이면 나머지정리를 어떻게 적용하나요?
그런 문제는 나오지 않을 거예요. 걱정 말아요.
하다 보면 나누는 수가 완전제곱식 형태로 나올 때가 있는데 그건 어떤 빙법으로 풀어야 하나요? 나머지정리에서 이것 때문에 막힙니다.
f(x) = (x + c)(x + c)Q(x) + ax + b로 놓고 나머지 ax + b를 이항한 다음에 조립제법을 두 번해보세요.
f(x) - (ax + b) = (x + c)(x + c)Q(x)
f(x)=(x-1)^2(x-3)Q(x)+ax^2+bx+c에서 f(x)가 (x-1)^2로 나누어 떨어질때 ax^2+bx+c는 어떻게 (x-1)^2으로 나누어 떨어지나요? 이해가 안되요ㅠㅠ
f(x)가 (x-1)^2으로 나누어 떨어지니까 나머지 R = 0이잖아요.
ax^2 + bx + c = (x-1)^2Q'(x) + 0 이어야죠.
ax^2 + bx + c
= (x-1)^2Q'(x)
= a(x-1)^2 + ....
대체 왜 ax^2 + bx + c = (x-1)^2Q(x) + 0 이 나오는 건가요? f(x)가 어떻게 ax^2 + bx + c가 되는지 이해가 안되네요ㅠㅠ 아참 글들은 잘보고 있어요~ 감사합니다^^
f(x)가 나누어떨어지려면 나머지 R = 0이어야 하죠. 두 가지 경우가 있어요.
1. ax^2 + bx + c = 0일 때
--> a = b = c = 0으로 문제에서 원하는 답은 아닐 거예요.
2. ax^2 + bx + c도 (x - 1)^2으로 나누어떨어질 때
--> 이때가 바로 ax^2 + bx + c = (x-1)^2Q'(x)이죠. 그리고 이건 f(x)가 아니고 나머지 부분이니까 R(x)라고 하는 게 더 낫죠.
f(x) = (x-1)^2(x-3)Q(x) + ax^2+bx+c
= (x-1)^2(x-3)Q(x) + (x-1)^2Q'(x)
= (x-1)^2 {(x-3)Q(x) + Q'(x)}
ax^2 + bx + c를 (x - 1)^2으로 나누어 떨어지도록 만들어주는 게 핵심이에요.
비밀댓글입니다
너무 공부가 잘돼요
잘되면 좋은 거죠. ㅎㅎ
도와주세요ㅠㅠㅠㅠ
2차식까진 나머지 정리를 할만한데 3차부터 못하겠어요...
이 문제는 어떻게 풀죠?
x에 대한 다항식 f(x)를 (x-1)제곱으로 나누었을때의 나머지는 x+2이고, x-2로 나누었을 때의 나머지는 3이다. f(x)를 (x-1)제곱(x-2)로 나누었을 때의 나머지는?
그리고 늘 글 열심히 읽고 있습니당
나머지 정리 노란상자 바로 아래 있는 문제가 식의 차수만 다를 뿐 같은 유형이에요.
참고해서 풀어보세요.
"1000^11을998로 나누었을때의 나머지는?"에서
x=1000, x^11=(x-2)Q(x)+R이라하면 x=2일때의 나머지R은 2^11입니다.정답은52인데, R이52가아닙니다.
나누는수보다 나머지가 왜 더큰지 궁금합니다.
R은 x-2보다 차수가작은 상수항일뿐이고, R의 값과 1000의 대소관계는 위 식에서 설명할수 없는건가요?
수1수2만드실생각없으신가요
나머지 정리를 할 때 주어진 다항식에 있는 미지수에 0을 대입하면 나누는 수가 달라져도 항상 결과가 같은데요. 어떤 오류가 있는 거죠?
항상 도움 많이 받고 있습니다 :)
비밀댓글입니다
와
인수정리 햇갈렸는데...
덕분에 해결 됐네요
f(x)를 (x-1)로 나눈 나머지가 1이고 f(x)를 x제곱+x+1로 나눈 나머지가 x+2이다. f(x)를 (x-1)(x제곱+x+1)로 나눈 나머지는?
이라는 문제인데 도와주세요.
"다항식 f(x)=2x^3-ax^2+4를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 3이다"가 무슨말인지 알려주실수 있나요?
f(x)
= 2x^3 - ax^2 + 4
= (x - 1)Q(x) + 3
x = 1을 대입해보세요.
본문의 내용이 질문하신 내용에 대한 설명이니까 시간 내서 다시 한 번 읽어보세요. 천천히 읽다보면 이해가 되실 거예요.
비밀댓글입니다
고등 1학년 과정 빠진부분 복습하고 있었는데 아주 만족하고 돌아갑니당^^
또 오세용^^
[다항식 2x³+ax²+bx+2가 (x+1)(2x-1)로 나누어 떨어지도록 상수 a,b의 값을 구하시오.]
어떻게 풀면 될까용 ㅠㅠ
하.....
2021.5.2 (일)
마지막 예제하고 똑같은 유형이에요. 계수 a, b의 위치만 다를 뿐 푸는 방법은 똑같아요. 참고해서 풀어보세요.
혹시 나머지정리에서 항상 나머지가 나누는 수보다 작은 이유가 있을까요?? 약속인건가요??