다항식을 나누는 건 숫자를 나누는 것과 같다고 했어요. 다만 최고차항의 차수와 계수를 이용해서 나누는 것만 다르죠.
다항식을 나누는 이유는 몫과 나머지를 구하기 위해서예요. 그런데, 몫은 필요 없고 나머지만 구하는 경우도 있겠죠? 이럴 때 나머지정리라는 걸 이용하면 편리하게 나머지를 구할 수 있어요.
인수정리라는 것도 있는데, 인수정리의 인수는 인수분해에서 사용했던 인수와 같은 말이에요. 그러니까 인수분해와 인수정리의 연관성을 생각해보는 것도 좋아요.
나머지정리와 인수정리는 한 끗 차이니까 잘 비교해서 이해하세요.
나머지정리
다항식의 나눗셈에서 다항식 A를 0 아닌 다항식 B로 나눌 때, 몫을 Q, 나머지를 R이라고 하면 A = BQ + R이라는 식으로 나타낼 수 있다고 했어요.
다항식의 나눗셈을 할 때, 세로로 바꿔서 숫자의 나눗셈을 할 때처럼 한다고 했죠? 그래서 몫과 나머지를 구했어요. 그런데 몫은 구하지 않고 나머지만 바로 구할 수 있을까요? 나머지정리를 이용해서 나머지만 구할 수 있는데, 어떻게 하는지 알아보죠.
x3 + 2x2 - 3x + 7을 x - 4로 나누었을 때 나머지를 구해보죠.
A = BQ + R이므로
x3 + 2x2 - 3x + 7 = (x - 4)Q + R로 쓸 수 있겠죠?
R만 구하는 방법은 두 가지에요.
- 우변의 (x - 4)Q를 이항해서 R = x3 + 2x2 - 3x + 7 - (x - 4)Q로 만들거나
- 우변의 (x - 4)Q = 0으로 만들어서 R = x3 + 2x2 - 3x + 7을 구하는 거죠.
두 번째 방법에서 (x - 4)Q를 0이 되게 만들 수 있어요. 어떻게요? x = 4를 대입하면 되잖아요.
항등식의 미정계수법 - 수치대입법을 생각해보세요. x에 특정한 값을 대입해서 식을 간단하게 만들었잖아요. x = 4를 대입해보죠.
43 + 2 × 42 - 3 × 4 + 7 = (4 - 4)Q + R
R = 64 + 32 - 12 + 7 = 91
직접 나눗셈을 해보지 않아도 나머지만 빠르게 구했어요.
위에서는 A라는 식을 사용했는데요, 보통은 x에 관한 식을 사용하니까 나눠지는 식을 f(x)라고 하고, 몫은 Q(x)라고 해요. f(x)를 x - 4로 나눌 때의 나머지는 x = 4를 대입했을 때의 값이죠? 이건 f(4)라고 표현할 수 있잖아요.
f(x)를 (x - 4)로 나눌 때의 나머지 = f(4)
이번에는 같은 식을 2x - 1로 나누었을 때의 나머지를 구해보죠. 식을 써보면 아래처럼 될 거예요.
f(x) = x3 + 2x2 - 3x + 7 = (2x - 1)Q(x) + R
마찬가지로 수치대입법을 이용해서 x = 을 대입하면 (2x - 1)Q(x) = 0이 되어서 우변은 R만 남죠.
두 보기에서 확인할 수 있듯이 f(x)를 일차식으로 나눌 때의 나머지 R은 (나누는 일차식) = 0이 되는 x를 f(x)에 대입한 값과 같아요.
나머지정리
x에 대한 다항식 f(x)를 일차식 (x - α)로 나누었을 때 나머지 R = f(α)
x에 대한 다항식 f(x)를 일차식 (ax + b)로 나누었을 때의 나머지 R =
다항식 f(x)를 (x - 1)로 나눈 나머지는 1, (x - 2)로 나눈 나머지는 3일 때, f(x)를 (x - 1)(x - 2)로 나눈 나머지를 구하여라.
문제를 식으로 나타내 보죠.
f(x)를 (x - 1)로 나눈 나머지가 1 → f(1) = 1
f(x)를 (x - 2)로 나눈 나머지가 3 → f(2) = 3
f(x)를 (x - 1)(x - 2)로 나누기 → f(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x) + R(x)
여기서 중요한 건 나머지는 나누는 식보다 차수가 작다는 거예요. 나누는 식이 (x - 1)(x - 2)로 이차식이니까 R은 상수항일 수도 있지만, x에 관한 일차식일 수도 있어요. x에 관한 일차식이니까 R(x) = ax + b라고 나타내야 합니다.
f(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x) + ax + b
f(1) = (1 - 1)(1 - 2)Q(1) + a + b = 1
a + b = 1
f(2) = (2 - 1)(2 - 2)Q(2) + 2a + b = 3
2a + b = 3
a + b = 1, 2a + b = 3을 연립방정식으로 풀면 a = 2, b = -1이 되므로 R(x) = ax + b = 2x - 1이에요.
나머지정리는 나누는 식이 일차식일 때뿐 아니라 그보다 더 높은 차수의 식일 때도 사용할 수 있다는 걸 알 수 있죠? 또, 나누는 식 = 0이 되는 x의 개수가 더 많아지는 것도 확인할 수 있어요.
나누는 식이 일차식이면 R은 상수
나누는 식이 이차식이면 R(x) = ax + b
나누는 식이 삼차식이면 R(x) = ax2 + bx + c
인수정리
다항식의 나눗셈에서 다항식 A를 0이 아닌 다항식 B로 나누었을 때 나머지 R = 0이면 나누어떨어진다고 했어요. R = 0이니까 f(x)로 바꿔서 표현하면 f(x) = (x - α)Q(x)가 되겠죠?
나머지정리에 의해서 f(x)에 x = α를 대입하면 f(α) = 0이 돼요.
f(x) = (x - α)Q(x)에서 f(x)는 (x - α)와 Q(x)라는 두 다항식의 곱으로 되어있어요. 이렇게 어떤 다항식이 두 개 이상의 다항식의 곱으로 표시하는 걸 인수분해라고 했어요. 곱해져 있는 다항식을 인수라고 하죠? 따라서 (x - α)와 Q(x)는 f(x)의 인수에요.
그래서 이걸 인수정리라고 하는 거예요.
인수정리
x에 대한 다항식 f(x)가 (x - α)로 나누어떨어진다.
⇔ f(x) = (x - α)Q(x)
⇔ f(α) = 0
⇔ f(x)가 (x - α)를 인수로 가진다.
f(x)가 (ax + b)로 나누어떨어진다.
⇔ f(x) = (ax + b)Q(x)
⇔ = 0
⇔ f(x)가 (ax + b)를 인수로 가진다.
인수정리는 나머지정리 중에서 나머지 R = 0일 때를 말하는 거예요.
다항식 f(x) = 3x3 - ax2 + x - 6가 x - 2로 나누어떨어질 때 a의 값을 구하여라.
다항식 f(x)가 x - 2로 나누어떨어지면 f(2) = 0이에요.
f(2) = 3 × 23 - a × 22 + 2 - 6 = 0
4a = 24 + 2 - 6
4a = 20
a = 5
f(x) = 3x3 - 2x2 + ax - b가 (x - 1)과 (x - 2)로 나누어떨어질 때, a, b를 구하여라.
f(x)가 (x - 1)로 나누어떨어진다. ⇔ f(x) = (x - 1)Q1(x) ⇔ f(x)는 (x - 1)을 인수로 가진다. ⇔ f(1) = 0
f(x)가 (x - 2)로 나누어떨어진다. ⇔ f(x) = (x - 2)Q2(x) ⇔ f(x)는 (x - 2)을 인수로 가진다. ⇔ f(2) = 0
f(x)가 (x - 1)과 (x - 2) 두 개 모두를 인수로 가지므로 이걸 식으로 나타내면 f(x) = (x - 1)(x - 2)Q(x)로 쓸 수 있어요.
f(1) = 3 × 13 - 2 × 12 + a - b = 0
a - b = -1
f(2) = 3 × 23 - 2 × 22 + 2a - b = 0
2a - b = -16
a - b = -1, 2a - b = -16를 연립방정식으로 풀어보면 a = -15, b = -14
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f(x)=(x-1)^2(x-3)Q(x)+ax^2+bx+c에서 f(x)가 (x-1)^2로 나누어 떨어질때 ax^2+bx+c는 어떻게 (x-1)^2으로 나누어 떨어지나요? 이해가 안되요ㅠㅠ
f(x)가 (x-1)^2으로 나누어 떨어지니까 나머지 R = 0이잖아요.
ax^2 + bx + c = (x-1)^2Q'(x) + 0 이어야죠.
ax^2 + bx + c
= (x-1)^2Q'(x)
= a(x-1)^2 + ....
대체 왜 ax^2 + bx + c = (x-1)^2Q(x) + 0 이 나오는 건가요? f(x)가 어떻게 ax^2 + bx + c가 되는지 이해가 안되네요ㅠㅠ 아참 글들은 잘보고 있어요~ 감사합니다^^
f(x)가 나누어떨어지려면 나머지 R = 0이어야 하죠. 두 가지 경우가 있어요.
1. ax^2 + bx + c = 0일 때
--> a = b = c = 0으로 문제에서 원하는 답은 아닐 거예요.
2. ax^2 + bx + c도 (x - 1)^2으로 나누어떨어질 때
--> 이때가 바로 ax^2 + bx + c = (x-1)^2Q'(x)이죠. 그리고 이건 f(x)가 아니고 나머지 부분이니까 R(x)라고 하는 게 더 낫죠.
f(x) = (x-1)^2(x-3)Q(x) + ax^2+bx+c
= (x-1)^2(x-3)Q(x) + (x-1)^2Q'(x)
= (x-1)^2 {(x-3)Q(x) + Q'(x)}
ax^2 + bx + c를 (x - 1)^2으로 나누어 떨어지도록 만들어주는 게 핵심이에요.
비밀댓글입니다
너무 공부가 잘돼요
잘되면 좋은 거죠. ㅎㅎ
도와주세요ㅠㅠㅠㅠ
2차식까진 나머지 정리를 할만한데 3차부터 못하겠어요...
이 문제는 어떻게 풀죠?
x에 대한 다항식 f(x)를 (x-1)제곱으로 나누었을때의 나머지는 x+2이고, x-2로 나누었을 때의 나머지는 3이다. f(x)를 (x-1)제곱(x-2)로 나누었을 때의 나머지는?
그리고 늘 글 열심히 읽고 있습니당
나머지 정리 노란상자 바로 아래 있는 문제가 식의 차수만 다를 뿐 같은 유형이에요.
참고해서 풀어보세요.
"1000^11을998로 나누었을때의 나머지는?"에서
x=1000, x^11=(x-2)Q(x)+R이라하면 x=2일때의 나머지R은 2^11입니다.정답은52인데, R이52가아닙니다.
나누는수보다 나머지가 왜 더큰지 궁금합니다.
R은 x-2보다 차수가작은 상수항일뿐이고, R의 값과 1000의 대소관계는 위 식에서 설명할수 없는건가요?
x=1000이라고 문제에서 전제가 되었는데, x=2를 대입하다니요..난감해요..ㅠ
수1수2만드실생각없으신가요
나머지 정리를 할 때 주어진 다항식에 있는 미지수에 0을 대입하면 나누는 수가 달라져도 항상 결과가 같은데요. 어떤 오류가 있는 거죠?
항상 도움 많이 받고 있습니다 :)
비밀댓글입니다
와
인수정리 햇갈렸는데...
덕분에 해결 됐네요
f(x)를 (x-1)로 나눈 나머지가 1이고 f(x)를 x제곱+x+1로 나눈 나머지가 x+2이다. f(x)를 (x-1)(x제곱+x+1)로 나눈 나머지는?
이라는 문제인데 도와주세요.
"다항식 f(x)=2x^3-ax^2+4를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 3이다"가 무슨말인지 알려주실수 있나요?
f(x)
= 2x^3 - ax^2 + 4
= (x - 1)Q(x) + 3
x = 1을 대입해보세요.
본문의 내용이 질문하신 내용에 대한 설명이니까 시간 내서 다시 한 번 읽어보세요. 천천히 읽다보면 이해가 되실 거예요.
비밀댓글입니다
고등 1학년 과정 빠진부분 복습하고 있었는데 아주 만족하고 돌아갑니당^^
또 오세용^^
[다항식 2x³+ax²+bx+2가 (x+1)(2x-1)로 나누어 떨어지도록 상수 a,b의 값을 구하시오.]
어떻게 풀면 될까용 ㅠㅠ
하.....
2021.5.2 (일)
마지막 예제하고 똑같은 유형이에요. 계수 a, b의 위치만 다를 뿐 푸는 방법은 똑같아요. 참고해서 풀어보세요.
혹시 나머지정리에서 항상 나머지가 나누는 수보다 작은 이유가 있을까요?? 약속인건가요??
나머지가 나누는 수보다 크면 한 번 더 나눌 수 있잖아요.
11 ÷ 2일 때, 몫이 5, 나머지가 1
11 ÷ 2일 때, 몫이 4, 나머지가 3
아래처럼 하지는 않죠.
(x+2)^3 - 1을 인수 정리 이용해서 인수 분해 하려면 어떻게 하나요?
a^3 - b^3 꼴이니까 인수분해 공식을 그대로 적용해서 하는 게 더 쉬워요.
굳이 인수정리를 이용할 거라면 일단 전개해서 인수정리 방법대로 하면 돼요.
https://mathbang.net/321
안녕하세요 선생님! 이틀동안 생각했는데 제 생각이 맞는지 모르겠어서요ㅠㅠ 일차식으로 나눌 때 왜 나누는 식이 분수로 바뀌나요? 나눠야되서 그런건가요?!
나누는 식이 분수식으로 바뀌는 게 아니라 나누는 식 = 0이 되게 하는 x의 값을 식에 대입하는 거예요.
선생님 안녕하세용! 초등학교 때 이후로 분수를 오랜만에 봐서 헷갈려서 그러는데요 ㅠㅠ
½+⅜+¾+⅝ 이런 혼합으로 된 분수계산이나 3•¾ 이런 자연수와의 곱이나
수는 신경 쓰지 마시구여 약분이 되는 분수라 하고
서로 서로 분자든 분모든 상관없이 걍 막 하면 되는 건가요?
아님 뭐 같은 분수의 분자분모끼리만 된다거나
양 쪽 분모는 분자끼리만 된다거나 분모는 분모끼리만 된다거나 이런 게 있나요?
넘므 멍청하져 ㅜㅜㅜ 헷갈려서요 ㅜㅠ
통분하시면 돼요.
여기서 그것까지 설명할 수는 없으니 자세한 건 검색해보세요.
비밀댓글입니다
6f(1)=a+b=2가 f(1)=a+b=12가 되는이유가 뭐죠? 곱하는건가요
반대로 -4f(-2)=4가 f(-2)=-1이렇게 되는이유가 도대체 뭐죠...
첫번째는 식을 잘못 쓰신 것 같네요.
두번째는 -4로 나눈 겁니다.