미정계수법

항등식의 성질에서는 항등식의 기본 꼴인 0x + 0 = 0을 이용해서 모르는 계수를 구했는데요. 이제는 조금 다른 방법을 이용해서 항등식의 계수를 구하는 걸 알아볼 거예요.

항등식의 계수를 구하는 걸 미정계수법이라고 하는데, 계수비교법과 수치대입법의 두 가지가 있어요. 어떤 방법을 이용하더라도 결과는 같아요. 하지만 문제에 따라서 편한 방식이 있으니까 어떤 문제에서 어떤 방법을 사용하는 것이 조금이라도 더 쉽게 푸는 건지 알아두었다가 상황에 맞게 잘 선택하세요.

특히 계수비교법보다는 수치대입법으로 풀어야 하는 문제가 조금 어렵게 나오는 경향이 있으니까 수치대입법에 대해서는 조금 더 신경을 쓰세요.

미정계수법은 이름에서 알 수 있듯이 항등식에서 미정인 계수를 찾아내는 방법이에요. 미정은 아직 정해지지 않았다는 뜻으로 모른다는 거죠. 즉, 구해야 하는 거예요. 계수비교법과 수치대입법의 두 가지가 있어요.

계수비교법

항등식에서 차수별로 각 항의 계수들을 비교해서 모르는 계수를 찾아내는 방법이에요. 항등식의 성질에서 했던 내용을 떠올려 보세요.

ax + b = cx + d가 x에 관한 항등식 ⇔ a = c, b = d
ax² + bx + c = a'x² + b'x + c'x에 관한 항등식 ⇔ a = a', b = b', c = c'

좌변과 우변에 있는 동류항끼리 계수가 같으면 항등식이라는 걸 이용하는 게 바로 계수비교법이에요.

ax + 3 = 2x - b가 x에 관한 항등식일 때, a, b를 구해보죠.

좌변의 x항과 우변의 x항의 계수가 같아야 하고, 좌변의 상수항과 우변의 상수항이 같아야 하므로 a = 2, -b = 3에서 b = -3이에요.

계수비교법은 차수별로 계수를 비교해야 하기 때문에 괄호가 있으면 모든 괄호를 풀고, 좌변, 우변에서 동류항 정리를 한 다음에 비교해야 해요.

수치대입법

수치대입법은 식의 x에 임의의 숫자를 대입하는 거예요. 항등식은 모든 x에 대해서 성립하니까 아무 숫자나 넣어도 식이 성립하잖아요. x에 임의의 값을 넣은 다음에 남는 문자들을 연립방정식으로 풀어내는 방법이에요. 수치대입법은 괄호를 풀 필요가 없이 바로 계산할 수 있는 장점이 있어요.

예를 들어 (x + 1)¹⁰같은 항이 들어있다면 이걸 전개해서 풀 수는 없겠죠?

x에 값을 대입할 때는 아무 값이나 넣는 게 아니라 모르는 계수가 있는 항을 없앨 수 있는 x값을 대입하는 게 좋아요.

a(x + 1)² + bx - 3 = 4x² + 2x + 1를 수치대입법으로 풀어보죠.

모르는 계수는 a, b인데, 첫 번째 a가 있는 항을 0으로 만드는 x는 -1이죠. x = -1이면 a(x + 1)² = 0이 돼요. x = -1을 대입해보죠.
a(-1 + 1)² + b × (-1) - 3 = 4 × (-1)² + 2 × (-1) + 1
-b - 3 = 4 - 2 + 1
b = -6

bx = 0이 되도록 x = 0을 대입해보죠.
a(0 + 1)² + b × 0 - 3 = 4 × 0² + 2 × 0 + 1
a - 3 = 1
a = 4

a = 4, b = -6이 되었네요.

계수비교법으로 풀어볼까요? 식을 전개해보죠.

a(x + 1)² + bx - 3 = 4x² + 2x + 1
a(x² + 2x + 1) + bx - 3 = 4x² + 2x + 1
ax² + 2ax + a + bx - 3 = 4x² + 2x + 1
ax² + (2a + b)x + a - 3 = 4x² + 2x + 1

x²의 계수: a = 4
x의 계수: 2a + b = 2 → b = -6
상수항: a - 3 = 1 → a = 4

계수비교법으로 풀어도 a = 4, b = -6이 나와요.

계수비교법, 수치대입법 중 어느 방법을 선택해서 값을 구해도 결과는 같아요. 문제에 따라서 좀 더 쉬운 방법을 선택해서 값을 찾으면 돼요.

때에 따라서는 계수를 없애지 못할 수도 있는데, 이때는 계수에 곱해지는 수가 1, -1 등 크기가 작은 숫자가 되도록 넣으면 돼요. 예를 들어 위 식에서 x = -2를 넣으면 a(x + 1)² = a가 되고, x = 1을 넣으면 bx = 1b가 되니까 계산하기가 편해지겠죠?

계수비교법: 괄호를 모두 전개 → 차수별로 계수가 같음을 이용해서 모르는 계수를 구함.
수치대입법: 모르는 계수가 있는 항을 0으로 하거나 가능한 한 작은 수로 만드는 x를 식에 대입하여 모르는 계수를 구함.

다음 식이 x에 관한 항등식일 때, a, b를 구하여라.
(1) a(x + 2)² - b(x + 3) - c + 1 = 2x² + 5x + 6
(2) a(x - 1)² + b(x - 1) + 2c = 3x + 5

(1)번은 계수비교법으로 풀어보죠. 일단 전개를 해서 동류항 정리를 해야겠죠?

a(x + 2)² - b(x + 3) - c + 1 = 2x² + 5x + 6
a(x² + 4x + 4) - bx - 3b - c + 1 = 2x² + 5x + 6
ax² + 4ax + 4a - bx - 3b - c + 1 = 2x² + 5x + 6
ax² + (4a - b)x + 4a - 3b - c + 1 = 2x² + 5x + 6

양 변에서 차수가 같은 미지수의 계수가 같아야 하므로 a = 2, 4a - b = 5, 4a - 3b - c + 1 = 6이에요.

a = 2이므로 4a - b = 5에서 b = 3
4a - 3b - c + 1 = 6에 a = 2, b = 3을 대입하면 c = -6

(2)번은 수치대입법으로 풀어보죠. 모르는 계수가 0이 되도록 하는 x = 1이에요. x = 1 대입
a(1 - 1)² + b(1 - 1) + 2c = 3 + 5
2c = 8
c = 4

그 다음에는 모르는 계수를 0으로 만드는 x는 없어요. 이럴 때는 계산을 쉽게 할 수 있게 계수에 곱해지는 숫자가 작아지도록 x를 대입하는 거예요. x = 0을 대입해보죠. c = 4라는 건 위에서 구했어요.
a(0 - 1)² + b(0 - 1) + 2 × 4 = 3 × 0 + 5
a - b = -3

이번에는 x = 2를 대입해보죠.
a(2 - 1)² + b(2 - 1) + 2 × 4 = 3 × 2 + 5
a + b = 3

a - b = -3과 a + b = 3을 연립방정식으로 풀면 a = 0 , b = 3

a = 0, b = 3, c = 4네요.