순열에 이어 조합이에요. 조합과 순열은 너무 비슷해서 구분하기 어려워요. 정확히 말하면 문제를 푸는 식이 특별히 어려운 게 아닌데 서술형으로 된 문제를 읽고 순열로 풀어야 하는지 조합으로 풀어야 하는지 결정하기가 어렵죠.
교과서에 나와 있는 여러 문제를 잘 읽어보고 순열과 조합을 구별할 수 있도록 유형을 잘 익혀두세요.
이 글에서는 조합의 뜻과 표현법을 알아보고 순열과의 관계를 이용해서 조합을 구하는 방법도 알아보죠.
조합이란
보통 가수들의 음반은 트랙 번호라고 해서 1번부터 노래가 순서대로 번호가 매겨져 있어요.
그룹 f(x)가 새로운 음반을 발매하려고 한다고 치죠. a부터 j까지 총 10곡의 노래가 있는데 이 중 5곡을 앨범에 넣으려고 해요. 몇 가지 경우의 수가 나오는지 계산해보죠.
이 과정을 두 단계로 나눠서 생각해볼까요? 앨범에 넣을 노래 다섯 곡을 고르는 단계와 이 다섯 곡의 노래들을 앨범에 넣을 때 앨범에 실을 순서를 결정하는 단계요.
먼저 1단계로 앨범에 넣은 다섯 곡을 결정하는 단계예요. 10곡 중에서 5곡을 고르는 경우의 수는 몇 가지가 있을까요?
- 10곡 중에서 한 곡을 고르는 경우의 수: 10
- ①에서 고른 한 곡을 뺀 나머지 9곡 중에서 한 곡을 고르는 경우의 수: 9
- ①, ②에서 고른 2곡을 뺀 나머지 8곡 중에서 한 곡을 고르는 경우의 수: 8
- ①, ②, ③에서 고른 3곡을 뺀 나머지 7곡 중에서 한 곡을 고르는 경우의 수: 7
- ①, ②, ③, ④에서 고른 4곡을 뺀 나머지 6곡 중에서 한 곡을 고르는 경우의 수: 6
①, ②, ③, ④, ⑤의 과정은 동시에 연달아서 일어나는 사건이므로 곱의 법칙을 이용해야겠지요?
10 × 9 × 8 × 7 × 6
그런데, 여기서 주의해야 할 게 있어요. ①에서 a, ②에서 b, ③에서 c, ④에서 d, ⑤에서 e라는 곡을 골랐을 때와 ①에서 b, ②에서 c, ③에서 d, ④에서 e, ⑤에서 a를 골랐을 때 차이가 있나요? 곡이 뽑힌 순서는 다르지만 두 경우 모두 a, b, c, d, e라는 다섯 곡을 뽑은 결과는 같지요? 두 경우가 서로 같으니까 단순히 10 × 9 × 8 × 7 × 6으로 경우의 수를 구할 수 없어요.
1단계는 10곡 중에서 5곡을 고르기만 했어요. 어떤 곡을 먼저 고르고 나중에 고르고는 아무런 상관이 없지요. 이처럼 서로 다른 n개에서 순서와 상관없이 r개를 고르는 걸 조합이라고 해요. 순열과 달리 조합에서는 순서가 중요하지 않아요. 그냥 r개를 고르기만 하면 돼요.
n개에서 r개를 고르는 조합은 영어단어 Combination의 첫 글자 C를 따서 nCr이라고 나타내고 엔씨알이라고 읽어요.
이 경우에는 10C5가 되겠죠.
1단계로 5곡을 다 정했어요.
이제 2단계로 앨범에 넣을 순서 즉, 트랙 번호를 정해야 해요. 트랙 번호를 매기는 건 순서대로 해야 하죠? 1단계에서 뽑은 5곡에서 한 곡씩 모두 뽑아서 순서를 매기는 거니까 이때의 경우의 수는 순열이에요. 5P5 = 5!
이번에는 1, 2단계를 하나의 과정으로 생각해보죠. 결과적으로는 10개의 노래 중에서 앨범에 넣을 5곡을 순서대로 뽑아서 트랙 번호를 정하는 거예요. 순열이죠? 10P5에요.
1, 2단계는 동시에 연달아서 일어나는 사건이므로 곱의 법칙을 이용해서 경우의 수를 구할 수 있어요. 그런데 이 경우의 수는 1, 2단계를 한 과정으로 본 10P5로 구한 경우의 수와 같죠.
계산 결과가 중요한 건 아니니까 결과를 구하지는 않을게요. 모양을 잘 보세요. n = 10, r = 5인 순열과 조합의 관계를 알 수 있죠?
이걸 n과 r을 사용해서 일반적인 순열과 조합의 관계로 나타내보죠.
여기서 r은 개수에요. 그러니까 당연히 0보다 커야겠죠? 그리고 n개 중에서 뽑는 거니까 n보다 클 수는 없어요. n보다 작거나 같지요. 0 < r ≤ n
서로 다른 n개에서 r개를 순서와 상관없이 고르는 조합의 수는
(단, 0 < r ≤ n)
조합은 순열과 팩토리얼을 이용해서 표현할 수 있겠죠? 식으로 한 번, 말로 한 번 풀어서 써보면 다음 그림처럼 나타낼 수 있어요.
조합을 구하는 방법을 조금 더 쉽게 알 수 있겠죠?
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