수학방

수열의 귀납적 정의에 대해서 공부할 건데, 먼저 귀납이 무슨 뜻인지 부터 알아보죠.

귀납(歸納)에서 귀(歸)는 돌아올 귀인데, 돌아오다, 돌아가다의 뜻이에요. 밖에 나갔다가 집으로 돌아오는 걸 귀가라고 하고, 외국에 있다가 한국에 다시 들어오는 걸 귀국이라고 하죠?

납(納)은 들일 납인데, 들이다, 바치다, 받아들이다의 뜻이에요. 세금을 내는 걸 납세라고 하고, 은행 창구에서 돈을 받는 걸 수납이라고 하죠?

정리하면, 귀납은 “돌아가게 해서 받아들인다. → 개별적 사실들을 모아 받아들여 일반적 결론으로 돌아간다.”는 뜻으로 이해하면 돼요.

수열의 명시적 정의, 귀납적 정의

수열을 정의하는 방법에는 두 가지가 있어요.

첫 번째 방법은 a_n = 2n + 1처럼 a_n을 n에 대한 공식으로 직접 나타내는 방법으로 명시적 정의라고 해요. 이제까지 우리가 공부했던 방법이에요.

두 번째 방법은 반복되는 규칙을 관계식으로 나타내는 방법으로 귀납적 정의라고 해요. 처음 몇 개의 항과 이웃하는 항들과의 관계식을 이용해요.

a₁ = 1, a_{n + 1} = a_n + 2이라고 해보죠.

첫 번째 항은 1이에요. a₁ = 1이라서 첫 번째 항은 1이에요. a_{n + 1} = a_n + 2이니까다음 항은 바로 앞항보다 2만큼 큰 관계가 있어요. 결과적으로 이 수열은 첫째항이 1이고, 공차 2인 등차수열이에요.

a₁ = 2, a_{n + 1} = 3a_n일 때, a₁ = 2라서 첫째항이 2고 a_{n + 1} = 3a_n이니까 다음 항은 바로 앞항의 3배인 관계가 있어요. 즉, 첫째항이 2고 공비가 3인 등비수열이죠.

여기서 a_{n + 1} = a_n + 2와 a_{n + 1} = 3a_n처럼 이웃하는 항들 사이의 관계를 나타내는 식을 점화식이라고 해요.

등차수열과 등비수열의 귀납적 정의

등차수열, 등차수열의 일반항에서 첫째항이 a이고, 공차가 d인 등차수열은 a_n = a + (n - 1)d라고 했죠? 같은 등차수열을 귀납적으로 정의하면 수열 {a_n}이 첫째항이 a이고, 공차가 d인 등차수열일 때, a₁ = a, a_{n + 1} = a_n + d (n = 1, 2, 3, …)이라고 정의해요.

등차수열을 첫째항 a와 이웃하는 항(n항, n + 1항) 사이의 관계식으로 정의했잖아요.

등비수열, 등비수열의 일반항, 등비중항에서 첫째항이 a이고, 공비가 r인 등비수열은 a_n = ar^{n - 1}이었어요. 같은 등비수열을 귀납적으로 정의하면 수열 {a_n}이 첫째항이 a이고, 공비가 r인 등비수열일 때, a₁ = a, a_{n + 1} = ra_n (n = 1, 2, 3, …)이라고 정의해요.

등비수열도 등차수열과 마찬가지로 첫째항과 이웃하는 항 사이의 관계식을 이용했어요.

여러 가지 점화식

이웃하는 항들 사이의 관계를 나타내는 식(점화식)을 보면 이 수열이 등차수열인지 등비수열인지 알 수 있어요.

(1) a_{n + 1} = a_n + d → a_{n + 1} - a_n = d(일정) → 공차가 d인 등차수열
(2) a_{n + 1} = raⁿ → a_{n + 1} ÷ a_n = r(일정) → 공비가 r인 등비수열
(3) a_{n + 1} - a_n = a_{n + 2} - a_{n + 1} → 2a_{n + 1} = a_n + a_{n + 2} → 등차수열
(4) a_{n + 1} ÷ a_n = a_{n + 2} ÷ a_{n + 1} → (a_{n + 1})² = a_n × a_{n + 2} → 등비수열

다음과 같이 귀납적으로 정의된 수열 {a_n}의 일반항을 구하시오. (단, n = 1, 2, 3, …)
(1) a₁ = 3, a₂ = 6, a_{n + 1} = a_n + 3
(2) a₁ = 3, a₂ = 6, (a_{n + 1})² = a_n × a_{n + 2}

(1) a₁ = 3이고, a_{n + 1} = a_n + 3이므로 이 수열은 첫째항이 3이고, 공차가 3인 등차수열이에요.

첫째항이 a, 등차가 d인 등차수열의 일반항은 a_n = a + (n - 1)d예요. 공식에 넣어보죠.

a_n = 3 + (n - 1)3 = 3n

(2) a₁ = 3, (a_{n + 1})² = a_n × a_{n + 2}이므로 이 수열은 첫째항이 3인 등비수열이에요.

공비를 구해야겠네요.

r = $\frac{a_{2}}{a_{1}}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

첫째항이 a, 등비가 r인 등비수열의 일반항은 a_n = ar^{n - 1}이에요. 공식에 넣어보죠.

a_n = 3 × 2^{n - 1}

일반항이 분수꼴인 수열의 합

부분분수

부분분수는 분수의 분모를 다항식의 곱으로 나타내고, 이를 이용해서 분수를 나누는 걸 말해요. 그냥 둬도 되는데 굳이 나누는 이유는 분자, 분모의 차수를 낮출 수 있어서예요. 차수가 낮거나 숫자가 작으면 계산하기 편리해지잖아요.

앞으로 분모가 인수분해가 되면 좌변을 우변처럼 바꿔서 계산하세요.

분자는 다 1인데, 좌변의 분모는 분모의 곱 AB, 우변 앞은 분모의 차 B - A, 괄호 안은 분수의 빼기에요. 빼는 순서도 잘 보세요.

부분분수 공식을 유도해볼까요? 분자, 분모에 같은 수를 곱해도 값은 바뀌지 않죠? 그걸 이용하는 겁니다.

숫자를 넣어서 좀 쉬운 걸 한 번 해보죠.

부분분수 공식을 이용하면 분모가 연속된 숫자나 식의 곱으로 이루어진 다항식들의 합을 구하기가 쉬워요. 아래 예제를 보죠.

다음을 간단히 하여라.$$\frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{3}{(x+1)(x+4)} +\cdots \frac{1}{(x+9)(x+10)}$$

유리식의 덧셈은 분모를 통분해서 구하는데, 앞 식을 통분하면 분모는 10차식 분자는 8차식이 돼요. 전개하고 더할 수는 없겠죠? 이럴 때 부분분수 공식을 이용해요..

각 항을 부분분수로 바꿔보죠.

우변의 괄호 앞에 있는 분수는 1이니까 없어지고 괄호 안 부분만 남겠죠? 이걸 한 번에 쭉 써보죠.

윗줄에서 두 번째, 세 번째 항이 없어지고, 네 번째, 다섯 번째 항이 없어지고, 계속 없어지다가 결국에는 첫 번째 항과 마지막 항만 남아요. 두 항의 덧셈만 하면 끝이죠.

앞으로는 이런 문제가 나오면 위 과정을 다 거칠 필요 없이 첫 번째 항과 마지막 항만 바로 구해서 계산하면 돼요.

분자가 1이 아닐 때도 있는데, 이럴 때는 분자를 인수분해해서 묶으면 돼요.

분모가 1이 아닐 때도 마찬가지로 묶고요.

다음 합을 구하여라. $$\frac{1}{1\times 2} + \frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots+\frac{1}{9\times 10}$$

분모가 유리식인 수열의 합이네요. 수열의 일반항을 이용해서 수열의 합으로 나타내고, 수열의 일반항인 분수를 쪼개(?) 보죠.

일반항이 무리식인 수열의 합

유리식은 통분해서 계산하는 게 기본이죠. 하지만 앞서 일반항이 유리식일 때 수열의 합을 구하는 문제는 통분이 아니라 분수를 쪼개서(?) 계산했어요.

무리식은 분모의 유리화를 하는 게 기본이죠. 이건 다르지 않아요. 일반항이 무리식이라면 분모를 유리화하는 게 첫 번째예요.

다음 합을 구하여라. $$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{10}}$$

분모가 무리식인 수열의 합이네요. 수열의 일반항을 이용해서 수열의 합으로 나타내고, 수열의 일반항의 분모를 유리화해요.

중학교 1학년 수학 목차입니다. 각 게시글 하단의 목차보다 여기 있는 목차를 이용해주세요.

각 목차의 순서에 맞게 따라서 공부하시면 진도 걱정없이 학습할 수 있어요. 혹시 빠진 내용이 있거나 추가하고 싶은 내용이 있으면 언제든 댓글 남겨주세요.

중2 수학 목차
중3 수학 목차

1. 자연수
   • 거듭제곱
   • 소수와 합성수
   • 에라토스테네스의 체
   • 소인수분해
   • 소인수분해를 이용하여 약수 개수구하기
   • 최대공약수의 뜻과 최대공약수 구하는 방법
   • 최소공배수의 뜻과 최소공배수 구하는 방법
   • 최대공약수와 최소공배수의 관계
2. 정수와 유리수
   • 양수와 음수, 정수
   • 절댓값과 수직선
   • 정수의 대소관계
   • 부등호의 사용
   • 정수의 덧셈, 교환법칙, 결합법칙
   • 정수의 뺄셈
   • 정수의 덧셈과 뺄셈의 혼합계산
   • 정수의 곱셈, 교환법칙, 결합법칙
   • 정수의 나눗셈과 혼합계산
   • 분배법칙
   • 유리수와 유리수의 분류
   • 유리수와 수직선, 유리수의 대소관계
   • 유리수의 덧셈과 뺄셈
   • 유리수의 곱셈과 나눗셈
3. 문자와 식, 일차방정식의 풀이
   • 문자와 식, 문자를 포함하는 식
   • 곱셈기호와 나눗셈 기호의 생략
   • 대입, 식의 값
   • 항, 계수, 차수, 단항식과 다항식, 일차식
   • 단항식의 곱셈과 나눗셈, 일차식의 곱셈과 나눗셈
   • 동류항, 일차식의 덧셈과 뺄셈
   • 방정식과 항등식
   • 등식의 성질, 등식의 성질을 이용한 일차방정식의 풀이
   • 일차방정식의 풀이
   • 복잡한 일차방정식의 풀이
   • 일차방정식의 활용 1 - 숫자, 나이
   • 일차방정식의 활용 2 - 거리, 속력, 시간, 농도
4. 그래프와 비례관계
   • 순서쌍과 좌표평면
   • 그래프의 뜻과 표현
   • 정비례와 그래프
   • 반비례와 그래프

1. 도형의 기초
   • 점, 선, 면, 직선, 반직선, 선분
   • 두 점 사이의 거리와 중점
   • 평각, 직각, 예각, 둔각
   • 맞꼭지각, 동위각, 엇각
   • 직교와 수직, 수선과 수선의 발, 점과 직선 사이의 거리
   • 점, 직선, 평면의 위치 관계
   • 평면에서 점과 직선의 위치관계, 두 직선의 위치관계
   • 공간에서 두 직선의 위치관계, 공간에서 평면과 직선의 위치관계
   • 공간에서 두 평면의 위치관계
   • 평행선의 성질, 평행선에서의 동위각과 엇각
   • 작도, 길이가 같은 선분의 작도, 크기가 같은 각의 작도
   • 삼각형의 정의, 삼각형의 대변, 대각
   • 삼각형의 작도
   • 도형의 합동, 삼각형의 합동 조건
2. 평면도형
   • 다각형, 내각, 외각, 정다각형
   • 대각선의 개수 구하기, 대각선 개수 공식
   • 삼각형 내각의 합과 외각의 크기, 외각의 합
   • 다각형 내각의 크기의 합과 외각의 크기의 합
   • 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각
   • 원주율, 원의 둘레, 원의 넓이, 부채꼴의 둘레, 부채꼴의 넓이
3. 입체도형
   • 다면체, 각뿔, 각기둥, 각뿔대
   • 정다면체의 뜻, 정다면체의 종류
   • 회전체와 원뿔대, 회전체의 성질
   • 각기둥의 겉넓이와 부피, 원기둥의 겉넓이와 부피
   • 각뿔의 겉넓이와 부피, 원뿔의 겉넓이와 부피
   • 구의 겉넓이와 부피
4. 통계
   • 대푯값과 평균, 중앙값, 최빈값
   • 줄기와 잎 그림
   • 도수분포표, 변량, 계급, 도수의 뜻
   • 도수분포표 만드는 방법
   • 히스토그램
   • 도수분포다각형
   • 상대도수와 상대도수의 분포표
   • 상대도수의 그래프

중학교 2학년 때 공부했던 삼각형의 외심 기억하죠? 이번에는 삼각형 외심의 좌표를 구해볼까요?

삼각형 외심의 좌표는 2가지 방법으로 구할 수 있어요.

첫번째는 외심의 정의를 이용하는 방법이에요. 두번째는 외심의 성질을 이용하는 방법이고요.

삼각형 외심의 좌표 구하기 - 외심의 정의 이용

첫번째 외심의 정의를 이용해서 외심의 좌표를 구해보죠.

삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이에요. 물론, 세 변의 수직이등분선을 다 구하지 않고, 두 변의 수직이등분선의 교점만 구해도 돼요.

여기서는 변의 수직이등분선이라는 게 결정적인 힌트에요. 일단 삼각형에서 두 변의 방정식을 각각 구하고, 이 두 변과 수직이등분선의 방정식을 구해서 이 두 방정식의 교점을 찾는 거예요. 어려워보이죠? 하지만 생각보다 더 어려울 거예요.

좌표 위에 세 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)를 꼭짓점으로 하는 △ABC의 외심의 좌표를 구해보죠.

1단계, 두 변의 방정식을 각각 구해야하는데, 두 점을 지나는 직선의 방정식을 공식을 이용해서 구할 수 있어요.

$$ \overline{AB}의 방정식: y - y_{1} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} (x - x_{1})\\ 중점: \left( \frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2} \right)$$ $$ \overline{BC}의 방정식: y - y_{2} = \frac{y_{3} - y_{2}}{x_{3} - x_{2}} (x - x_{2})\\ 중점: \left( \frac{x_{2} + x_{3}}{2}, \frac{y_{2} + y_{3}}{2} \right)$$

2단계, 각 변의 수직이등분선의 방정식을 구해보죠.

$\overline{AB}$의 방정식과 중점을 구했으니, 여기에 수직이등분선의 직선의 방정식을 구할 수 있죠? 두 직선이 서로 수직이면 기울의 곱 = -1이에요. $$ \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \times 기울기 = -1\\ 기울기 = - \frac{x_{2} - x_{1}}{y_{2} - y_{1}}$$

이 직선은 $\overline{AB}$의 중점을 지나니까 기울기와 한 점의 좌표를 알 때 직선의 방정식 구하는 공식으로 구할 수 있어요.

$$ y - \frac{y_{1} + y_{2}}{2} = - \frac{x_{2} - x_{1}}{y_{2} - y_{1}} \left( x - \frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)$$

같은 방법으로 $\overline{BC}$의 수직이등분선의 방정식을 구할 수 있죠?

$$ \frac{y_{3} - y_{2}}{x_{3} - x_{2}} \times 기울기 = -1\\ 기울기 = - \frac{x_{3} - x_{2}}{y_{3} - y_{2}}$$

이 직선은 $\overline{BC}$의 중점을 지나요.

$$ y - \frac{y_{2} + y_{3}}{2} = - \frac{x_{3} - x_{2}}{y_{3} - y_{2}} \left( x - \frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)$$

3단계, 연립방정식을 이용해서 이 두 직선의 교점을 구하면 바로 외심의 좌표예요.

이 이후의 과정은 너무 복잡하니까 그냥 구하지 말죠. 아무튼 순서를 잘 기억하세요.

1. 삼각형의 두 꼭짓점을 이용해서 변의 방정식과 중점을 구한다. × 2
2. 각 변의 수직이등분선의 방정식을 구한다.
3. 연립방정식을 이용하여 ②에서 구한 수직이등분선의 교점의 좌표를 구한다.

삼각형 외심의 자표구하기 - 외심의 성질 이용

두 번째 방법은 삼각형 외심의 성질을 이용하는 방법이에요.

삼각형 외심의 성질은 무엇이었나요? 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리가 같잖아요. 그러니까 외심의 좌표를 점O(x, y)라고 놓고, 좌표평면에서 두 점 사이의 거리 공식을 이용해서 $\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC}$ 를 구하는 거죠.

A = B = C꼴의 연립방정식이니까 A = B or B = C or C = A 중 2개를 골라서 연립방정식을 만들고 풀면 돼요.

진짜로 풀지는 말고, 그 방법만 알고 있으면 돼요.

결과는 이거예요. 심심하면 외워보세요.

$$x = \frac{ (x_1^2 + y_1^2)(y_2 - y_3) + (x_2^2 + y_2^2)(y_3 - y_1) + (x_3^2 + y_3^2)(y_1 - y_2) }{ 2 \cdot (x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2))}\\\\ y = \frac{ (x_1^2 + y_1^2)(x_3 - x_2) + (x_2^2 + y_2^2)(x_1 - x_3) + (x_3^2 + y_3^2)(x_2 - x_1) }{ 2 \cdot (x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2))}$$

하나의 삼각형을 작도할 수 있는 경우가 세 가지 있어요. 특정한 조건이 주어지면 다른 삼각형은 그릴 수 없고 단 하나의 삼각형만 그릴 수 있는 경우요.

삼각형을 작도할 수 있는 조건은 삼각형을 그리는 데 뿐 아니라 다음에 공부할 삼각형의 합동에서도 아주 중요하니까 꼭 기억해야 해요.

삼각형은 변이 3개, 각이 3개예요. 그래서 변의 길이와 각의 크기 중 섞어서 3개를 알면 삼각형을 그릴 수 있어요.

• 변의 길이 3개
• 변의 길이 2개와 각의 크기 1개
• 변의 길이 1개와 각의 크기 2개

각의 크기 3개를 알 때도 삼각형을 그릴 수는 있는데, 딱 하나의 삼각형을 그리는 게 아니라 여러 삼각형을 그릴 수 있어서 이건 제외해요.

• 세 변의 길이를 알 때
• 두 변의 길이와 그 사이 끼인각의 크기를 알 때
• 한 변의 길이와 양쪽 끝각의 크기를 알 때

세 가지 중에 첫 번째는 세 변의 길이를 알 때예요. 세 변의 길이를 알면 컴퍼스를 이용해서 삼각형을 그릴 수 있어요. 세 변의 길이만큼 컴퍼스를 벌려서 원을 그리고 그 교점들을 연결하면 돼요.

주의해야 할 건 세 변의 길이를 알고 있다고 해서 무조건 삼각형을 그릴 수 있는 게 아니에요.

가장 긴 변의 길이가 다른 두 변의 길이의 합보다 크거나 같으면 삼각형을 그릴 수 없어요. 예를 들어 세 변의 길이가 1cm, 2cm, 100cm라면 삼각형을 그릴 수 없는 거죠. 마찬가지로 1cm, 2cm, 3cm면 삼각형을 그릴 수 없어요.

세 변의 길이를 줬을 때 길이가 가장 긴 변의 길이는 다른 두 변 길이의 합보다 작아야 삼각형을 그릴 수 있어요. 이거 중요하니까 잊으면 안돼요. 1cm, 2cm, 2.999cm는 삼각형을 그릴 수 있어요.

두 번째는 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때예요. 두 변의 길이를 알려준다고 했잖아요. 끼인각은 그 두 변이 만나서 생기는 각이에요. 다른 각은 안돼요. 꼭 길이를 알려준 두 변이 만나서 생기는 각이어야 해요. 이때는 끼인각을 먼저 그려요. 그다음 각 변의 길이만큼만 남기는 거예요.

마지막은 한 변의 길이와 양쪽 끝각의 크기를 알 때예요. 한 변을 긋고 양쪽에 주어진 각과 크기가 같은 각을 넣으면 삼각형을 그릴 수 있어요.

삼각형의 작도

세 변의 길이를 알 때

삼각형을 작도하는 첫 번째는 세 변의 길이를 알 때예요. 세 변의 길이를 알면 컴퍼스를 이용해서 그릴 수 있어요.

1. 길이가 같은 선분의 작도에 나온 방법대로 한 변을 그려요. $\overline{AB}$라고 할게요.
2. $\overline{AB}$의 한쪽 끝 점 A에 바늘을 놓고 다른 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요.
3. $\overline{AB}$의 반대쪽 끝 점 B에 바늘을 놓고 마지막 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요.
4. ②와 ③의 교점 점 C에서 점 A와 점 B로 선을 그으면 △ABC가 돼요.

두 변의 길이와 그 사이 끼인각의 크기를 알 때

삼각형을 작도하는 두 번째는 두 변의 길이와 그 사이 끼인각의 크기를 알 때예요.

끼인각을 먼저 그려야 하는데, 크기가 같은 각의 작도에 있는 방법대로 알려준 각과 크기가 같은 각을 그려요. ∠POQ라고 해보죠.
1. 점 O에 바늘을 놓고 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요. 이때 원과 $\overline{OQ}$가 만나는 교점을 점 B라고 할게요.
2. 다시 점 O에 바늘을 놓고 다른 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요. 이 원과 $\overline{OP}$가 만나는 교점을 점 A라고 할게요.
3. 점 A와 점 B를 연결하면 △AOB가 생겨요.

한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때

삼각형의 작도 마지막은 한 변의 길이와 양 끝각를 알 때예요.

1. 길이가 같은 선분의 작도에 나온 방법대로 한 변을 그려요. $\overline{AB}$라고 해보죠.
2. $\overline{AB}$의 한쪽 끝 점 A에 미리 알려준 크기의 각을 크기가 같은 각의 작도의 방법으로 그려요. 이때 선분을 충분히 길게 그려요. 이 선분을 $\overline{AP}$라고 하죠.
3. $\overline{AB}$의 반대쪽 끝 점 B에 알려준 다른 크기의 각을 그려요. 이때 선분을 $\overline{BQ}$라고 하고 $\overline{BQ}$와 $\overline{AP}$의 교점을 점 C라고 해보죠.
4. ②와 ③의 교점 C에서 점 A와 점 B로 선을 그으면 △ABC가 생겨요.

작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스를 이용해서 도형을 그리는 걸 말해요. 눈금 있는 자로 그리거나 각도기를 가지고 그리는 건 작도가 아니에요. 작도할 때 몇 가지 조건을 주는데, 그 조건에 맞추려면 굳이 눈금 있는 자와 각도기가 필요가 없거든요.

눈금 없는 자는 선을 그을 때 써요. 두 점을 연결해서 선을 그을 때와 이미 그려져 있는 선분을 더 길게 그릴 때요.

컴퍼스는 원래 기능대로 원을 그릴 때 쓰고요. 자에 눈금이 없으니 길이를 잴 수가 없잖아요. 이때 컴퍼스를 이용해서 주어진 선분의 길이만큼을 다른 곳에 옮길 수 있어요.

길이가 같은 선분의 작도

한 선분을 주고 이 선분과 길이가 같은 다른 선분을 그리는 거예요.

처음 선분을 $\overline{AB}$라고 해보죠.

1. 자를 이용해서 직선 l을 긋고 그 위에 점 P를 잡아요.
2. 컴퍼스로 $\overline{AB}$의 길이를 재요.
3. 점 P에 컴퍼스를 대고 $\overline{AB}$의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려서 원과 직선 l이 만나는 점을 점 Q라고 해보죠.
4. 이 $\overline{PQ}$가 처음 선분 $\overline{AB}$와 길이가 같은 선분이에요.

크기가 같은 각의 작도

하나의 각을 주고, 이 각과 크기가 같은 각을 그리는 거예요. 이 각을 ∠XOY라고 해볼게요.

1. 이 ∠XOY에서 점 O에 컴퍼스를 대고 원을 그려요. 원과 선분 OX가 만나는 점을 P, 원과 선분 OY가 만나는 점을 Q라고 해보죠.
2. 일단 이렇게 해놓은 상태에서 크기가 같은 새로운 각을 그릴 선분을 하나 그어요. 선분 l이라고 할까요?
3. 선분 l의 한쪽 끝점 A에 컴퍼스 바늘을 놓고 ①에서 그렸던 원과 반지름이 같은 원을 그려요. 이 원이 선분 l과 만나는 점을 B라고 해보죠.
4. 컴퍼스를 이용해서 점 P와 점 Q 사이의 거리만큼을 재요. 그리고 점 B에 컴퍼스의 바늘을 놓고 원을 그립니다. 이 원과 ③에서 그린 원과의 교점이 생겨요. 이 교점을 C라고 할게요.
5. 점 A와 점 C를 자를 대고 연결해요.

이 ∠BAC가 ∠POQ와 크기가 같은 각입니다.

분수함수 중에 $y\quad =\quad \frac{cx \quad + \quad d}{ax \quad + \quad b} $꼴의 함수가 있어요. 이 함수는 분자에서 일차항의 계수인 a ≠ 0이어야 하고, 식에 사용된 계수들이 ad - bc ≠ 0이어야 해요.

분자에서 일차항의 계수 a = 0이면 $y \quad = \quad \frac{c}{b}x\quad + \quad \frac{d}{b}$꼴로 계수가 유리수인 다항함수예요. 그래서 a ≠ 0이어야 해요.

ad - bc = 0이면 안되는 이유를 알아보죠.

$$ \begin{align}ad \quad - \quad bc \quad & = \quad 0\\ \\ ad \quad & = \quad bc\\ \\ d \quad & = \quad \frac{bc}{a} \end{align}$$

ad - bc = 0일 때, 먼저 bc를 이항해요. 그리고 앞에서 본 것처럼 a ≠ 0이니까 양변을 a로 나눴더니 d = $\frac{bc}{a}$가 됐어요.

이번에는 위에서 얻은 d = $\frac{bc}{a}$를 원래의 분수함수 $y\quad = \quad \frac{cx \quad + \quad d}{ax \quad + \quad b} $에 대입하고 분자, 분모를 각각 일차항의 계수로 묶어보죠.

$$ \begin{align} y \quad & = \quad \frac{cx \quad + \quad d}{ax \quad + \quad b} \\ \\ y \quad & = \quad \frac{cx \quad + \quad \frac{bc}{a}}{ax \quad + \quad b}\\ \\ y \quad & = \quad \frac{c \left(x\quad + \quad \frac{b}{a}\right)}{a \left(x \quad + \quad \frac{b}{a} \right)} \\ \\ y \quad & = \quad \frac{c}{a} \end{align}$$

괄호 부분을 약분했더니 y = $\frac{c}{a}$가 되었고, 이건 상수함수예요.

분모에 문자가 있어야 분수식이라고 하고, 함수식이 분수식이어야 분수함수인데, 이건 그냥 상수함수라서 다항함수예요. 그래서 분수함수에서는 ad - bc ≠ 0이라는 조건이 있어요.

수학적 귀류법은 어떤 명제가 참임을 증명하고 싶은데, 직접 증명하기 어려울 때 사용하는 간접 증명 방법이에요.

쉽게 말해 명제를 거짓이라고 가정했더니 말이 안된다(모순이 발생한다)는 걸 보임으로써 결국 그 명제가 참이라는 걸 증명하는 거예요.

수학적 귀류법은 다음의 3단계를 거쳐요.

1. 어떤 명제가 있는데, 이 명제가 거짓이라고 가정해요.
   증명하고 싶은 명제의 결론을 부정해서 가정으로 삼아요.
2. 가정에서 논리적 결론을 이끌어 내어, 모순이 생기는 걸 보여서, 가정이 틀렸다는 걸 확인해요.
   가정을 바탕으로 논리적으로 전개하다 보면 기존에 알려진 사실이나 정의에 모순되는 결과가 나오는 걸 보여줘요. 모순이 생겼으니 처음에 세웠던 가정이 거짓이에요.
3. 결국 원래 명제가 참이라는 결론에 도달해요.
   원래 증명하고 싶었던 명제가 참이라는 결론을 내려요.

예를 들어보죠. "김철수는 남자이다."를 증명해볼까요?

1. 명제가 거짓이라고 가정: 김철수는 남자가 아니다. → 김철수는 여자이다.
2. 모순: 여자는 OOO, ~~~ 같은 신체적, 생물학적 특징이 있어야 하는데, 김철수는 그런 특징이 없으므로 "김철수는 여자"라는 가정이 틀렸다.
3. 결론: 김철수는 여자가 아니다. → "김철수는 남자다."는 참이다.

"$\sqrt{2}$는 무리수"임을를 수학적 귀류법으로 증명하시오.

1. 명제가 거짓이라고 가정: $\sqrt{2}$는 무리수가 아니다. → $\sqrt{2}$는 유리수이다.
   유리수는 $\frac{a}{b}$ (a, b는 서로소인 정수, b ≠ 0) 꼴로 나타낼 수 있는 수예요.
2. $\sqrt{2}$ = $\frac{a}{b}$
     2 = $\frac{a^{2}}{ b^{2}}$           (∵양변 제곱)
   2b² = a²
   
   a²이 2의 배수니까 a도 2의 배수여야 해요. 따라서 a = 2k (k는 정수)라고 둘 수 있어요.
   
   a = 2k를 2b² = a²에 대입하면
   2b² = a²
   2b² = (2k)²
   2b² = 4k²
   b² = 2k²
   
   b²도 2의 배수이므로 b도 2의 배수여야 해요.
   
   a, b 모두 2의 배수이므로 a, b는 서로소인 정수라고 했던 가정과 모순이 생겨요. 가정 "$\sqrt{2}$는 유리수"가 틀렸다는 걸 알 수 있어요.
3. 명제 "$\sqrt{2}$는 무리수이다."는 참인 명제예요.

명제 “모든 홀수는 짝수가 아니다.”를 귀류법으로 증명하시오.

명제를 부정해야 하는데, 조건의 부정에 나온 것처럼 "모든"은 "어떤"으로 바꿔요.

1. 명제가 거짓이라고 가정: 어떤 홀수가 짝수이다.
2. 홀수는 2n+1, 짝수는 2n (n은 정수)이므로 어떤 홀수가 짝수이면
   2n + 1 = 2m
   2n + 1 = 2m
   1 = 2m - 2n
   1 = 2(m - n)
   
   1이 2의 배수라는 결론이 나오는데, 이는 말이 안되죠. 모순이에요. 가정이 틀렸어요.
3. 모든 홀수는 짝수가 아니다. (명제는 참이다)

이차방정식의 판별식을 이용해서 두 근이 실근인지 허근인지 판별할 수 있어요. 이번에 공부할 건 조금 확장된 버전(?)인데요. 교육과정에 있는 내용은 아닌데, 그냥 한 번 해보죠.

이차방정식은 모르지만, 이차방정식 두 근의 합과 곱을 알 때, 두 근이 실근인지 허근인지 확인하는 방법이에요. 판별식을 이용하는 방법보다 한 단계만 더 거치는 거니까 어렵지는 않아요.

식을 알면 두 근을 구해서 실근인지 허근이지 판별할 수 있는데, 식을 모르니까 두 근을 구할 수 없고, 근을 모르니까 실근인지 허근인지 판별할 수 없어요.

하지만, 이차방정식의 판별식, 실근, 허근에서도 근을 구하지 않고 실근, 허근을 판별했어요. 즉, 식을 알기만 하면 근을 구할 수 없을더라도 실근, 허근을 판별할 수는 있어요.

판별식을 이용하려면 식을 알아야 하죠. 그런데 식을 몰라요. 합과 곱만 알아요. 어떻게 해야 할까요? 식을 먼저 구해야겠죠? 식을 구하는 방법이 뭘까요? 바로 두 수를 근으로 하는 이차방정식, 두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식이에요.

그러니까 합과 곱을 이용해서 이차방정식을 만들고, 그렇게 만든 이차방정식에서 판별식을 구하면 두 근이 실근인지 허근인지 확인할 수 있어요.

두 근의 합과 곱을 알 때 이차방정식은 다음과 같아요.

두 근의 합이 m이고 곱이 n, 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x² - mx + n) = 0
a(x² - 합x + 곱) = 0

위 공식을 전개해보면 ax² - amx + an = 0이에요.

나머지 과정은 다 알죠?

D = (-am)² -  4  × a  ×   an

• D > 0이면 서로 다른 두 실근
• D = 0이면 중근(실근)
• D < 0이면 서로 다른 두 허근

두 근의 합이 9, 곱이 18이고 이차항의 계수가 2인 이차방정식의 근의 종류를 판별하여라.

근이 뭔지는 모르지만, 두 근의 합과 곱, 이차항의 계수를 알려줬네요. 식을 구할 수 있어요.

a(x² - 합x + 곱) = 0

2(x²  +  9x +  18)  =  0
2x² + 18x + 36 = 0

이제 식을 알았으니 판별식을 사용할 수 있어요.

D/4 = 9² - 2 × 36
= 81 - 72
= 9 > 0

D/4 > 0이니까 서로 다른 두 실근이에요.

여기서 한 가지 더 알아둘 건, 이차항의 계수는 별 필요가 없다는 거예요.

합이 m, 곱이 n, 이차항의 계수가 a인 이차방정식
a(x - mx + n) = 0
ax² - amx + an = 0

D = (-am)² - 4 × a × an
= a²m² - 4a²n
= a²(m² - 4n)

a²은 무조건 양수니까 뒤 (m² - 4n)의 부호만 알면되죠?

이차항의 계수 없이 공식의 괄호부분만 볼까요?

x² - mx + n = 0

D = (-m)² - 4 × 1 × an
= m² - 4n

결국 이차항의 계수는 판별식의 부호에 아무런 영향을 미치지 않아요.

폄면에서 두 직선의 위치관계에서 두 직선은 만나는 경우와 만나지 않는 경우가 있었어요. 만나는 경우는 2가지였으니까 전체 총 3가지 경우가 있었죠. 한 점에서 만난다, 일치, 만나지 않는다(평행)

공간에서 두 평면의 위치 관계는 한 점(교점)이 아니라 한 직선(교선)에서 만난다는 것 빼고는 평면에서 두 직선의 위치 관계와 똑같아요. 한 직선에서 만난다. 일치, 평행

두 평면 사이의 수직 관계

공간에서 평면과 직선의 수직에서 평면과 평면에 있지 않는 직선이 수직으로 만나는 경우를 공부했는데요. 평면 Q와 수직인 직선 l이 평면 P에 포함할 때, 평면 P와 평면 Q도 서로 수직이에요. Q ⊥ l → P ⊥ Q

두 평면 사이의 거리

평행한 두 평면 P, Q사이에는 거리를 구할 수 있어요. 평행하지 않은 평면 사이의 거리는 구할 수 없고요. 평행하지 않으면 사이가 일정하지 않으니까 위치에 따라 값이 달라지잖아요.

평행한 두 평면 중 한 평면 위의 점에서 다른 평면에 그은 수선의 길이를 평행한 두 평면 P, Q 사이의 거리라고 하고, 이 거리는 두 평면 사이 어디에서든 일정해요.
$P\quad\parallel\quad Q\quad\rightarrow\quad\overline{AB}\quad=\quad\overline{CD}$

반대로 서로 다른 점에서 구한 거리가 일정하면 두 평면은 평행이에요.

위치 관계가 여러 개 나와서 헷갈릴 수 있으니 한 번 정리하고 넘어가죠.

육하원칙 중에 어디에서 무엇을 이라는 항목이 있어요. 위치 관계에서는 어디에서 무엇들의 위치 관계인지가 중요해요.

어디에서에 해당하는 게 평면과 공간이에요. 이 두 곳에서 여러 항목들의 위치 관계를 따져요.

무엇들의 위치 관계를 따지느냐면 점과 직선, 점과 평면, 두 직선, 직선과 평면, 두 평면이에요.

두 가지 항목 사이의 위치 관계를 따지는데, 평면에서는 평면과 다른 항목의 위치 관계를 따질 수 없죠? 그래서 평면에서는 점과 직선, 두 직선의 위치 관계만 다뤄요.

공간에서는 다 다룰 수 있는데, 평면에서의 위치 관계가 그대로 성립하고 여기에 새로 추가되거나 살짝 바뀌는 형태예요. 그러니까 평면에서의 위치 관계를 먼저 잘 알아두고, 공간에서는 똑같은 것, 추가되는 것, 바뀌는 것이 뭔지 이해하면 공부하기 더 쉬워요.

평면에서 점과 직선의 위치 관계 : 직선이 점을 지난다(= 직선 위의 점), 직선이 점을 지나지 않는다(= 점이 직선 위에 있지 않다.)
이 관계를 이용해서 공간에서 점과 직선, 점과 평면의 위치 관계를 쉽게 외울 수 있어요.

(평면에서 점과 직선의 위치 관계) = (공간에서 점과 직선의 위치 관계)
(평면에서 점과 직선의 위치 관계)에서 직선을 평면으로 = (공간에서 점과 평면의 위치 관계)

평면에서 점과 직선의 위치 관계 : 한 점에서 만난다. 일치, 평행
이걸 살짝 바꾸면 공간에서 두 직선, 직선과 평면, 두 평면의 위치 관계를 알 수 있어요.

(평면에서 두 직선의 위치 관계) + 꼬인 위치 = (공간에서 두 직선의 위치 관계)
(평면에서 두 직선의 위치 관계)에서 일치를 포함으로 = (공간에서 직선과 평면의 위치 관계)
(평면에서 두 직선의 위치 관계)에서 한 점을 한 직선으로 = (공간에서 두 평면의 위치 관계)

표로 정리해 보죠.

기본 도형 - 점, 선, 면, 직선, 반직선, 선분>에서 점, 선, 면에 대해서 공부했어요. 이제 점, 선, 면 사이의 위치 관계를 공부할 거예요. 점과 선 사이의 위치 관계, 선과 면 사이의 위치 관계 같은 거요.

대신, 점은 그대로 점, 선은 직선, 면은 평면을 다뤄요.

가로 점과 세로 직선이 만나는 칸의 (O) 표시는 점과 직선의 위치 관계를 공부한다는 뜻이고, 가로 직선과 세로 직선이 만나는 칸의 (O) 표시는 두 직선의 위치 관계를 공부한다는 뜻이에요.

점과 점 사이의 위치 관계는 X로 되어있는데, 이건 다루지 않는다는 뜻이에요.

가로 직선과 세로 점이 만나는 칸에 (-) 표시 되어 있는 건 가로 점과 세로 직선이 만나는 칸에 (O) 표시 된 것과 중복되는 거라서 그렇게 표시했고요.

어디에서의 위치를 다룰 것이냐도 중요한데요. 평면과 공간에서 각 항목들의 위치 관계를 따져요. 그러니까 점과 직선의 위치 관계를 따지는데 이걸 평면에서의 위치 관계, 공간에서의 위치 관계 이렇게 2번 다루죠.

다만 평면에서 평면의 위치 관계를 다룰 수 없으므로 평면과 다른 항목의 위치 관계는 공간에서만 다뤄요. 다시 정리해보죠.

그러니까 총 7가지 위치 관계를 다뤄요.

2015 교육과정 수학 1과 2022 교육과정 대수가 목차가 같아 하나로 작성하였습니다.

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대수

1. 지수함수와 로그함수
   • 거듭제곱근
   • 실수인 거듭제곱근
   • 거듭제곱근의 성질
   • 지수의 확장 - 정수 지수
   • 지수의 확장 - 유리수 지수
   • 지수의 확장 - 실수 지수
   • 지수함수와 그 그래프
   • 지수함수 그래프의 평행이동
   • 지수방정식과 풀이
   • 지수부등식과 풀이
   • 로그의 정의
   • 로그의 성질
   • 로그의 밑 변환 공식
   • 로그의 성질 두 번재 - 밑 변환 공식 이용
   • 상용로그, 상용로그의 지표와 가수
   • 상용로그표, 비례부분의 법칙
   • 상용로그의 활용 - 단리와 복기
   • 로그함수와 그래프
   • 로그함수 그래프의 평행이동
   • 로그방정식
   • 로그부등식
2. 삼각함수
   • 일반각, 시초선, 동경, 양의 각, 음의 각, 사분면의 각
   • 호도법과 라디안
   • 부채꼴 호의 길이와 넓이
   • 삼각함수의 뜻과 정의, sin, cos, tan
   • 삼각함수 사이의 관계
   • 삼각함수 각의 변환 1 - 2nπ ± θ, -θ
   • 삼각함수 각의 변한 2 - π ± θ, π/2 ± θ
   • 삼각함수 각의 변환 총정리
   • 삼각함수표
   • 삼각함수의 그래프 - sin 그래프
   • 삼각함수의 그래프 - cos 그래프
   • 삼각함수의 그래프 - tan 그래프
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   • 삼각함수를 포함한 식의 최댓값과 최솟값
   • 삼각방정식
   • 삼각부등식
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   • 삼각형의 넓이
   • 헤론의 공식
   • 평행사변형의 넓이, 사각형의 넓이
3. 수열
   • 수열의 뜻
   • 등차수열, 등차수열의 일반항
   • 등차수열 일반항의 성질, 등차중항
   • 등차수열의 합 공식
   • 등차수열의 합과 등차수열 일반항의 관계
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   • 등비수열의 합 공식
   • 등비수열의 합과 등비수열 일반항의 관계
   • 수열의 활용 - 원리합계, 단리
   • 수열의 활용 - 원리합계, 복리
   • 여러 가지 수열의 합, 시그마(∑)
   • 시그마(∑)의 기본 성질
   • 자연수 거듭제곱의 합 공식, 유도
   • 여러 가지 수열
   • 수학적 귀납법

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공통수학 1

1. 다항식
   • 다항식의 덧셈과 뺄셈, 곱셈
   • 곱셈공식
   • 곱셈공식의 변형
   • 다항식의 나눗셈
   • 항등식과 항등식의 성질
   • 미정계수법 - 계수비교법, 수치대입법
   • 나머지정리, 인수정리
   • 조립제법 1 - 조립제법 하는 법
   • 조립제법 2 - 나누는 식의 x의 계수가 1이 아닐 때
   • 인수분해 공식
   • 복잡한 식의 인수분해 - 치환, 복이차식
   • 인수정리를 이용한 인수분해
2. 방정식과 부등식
   • 허수와 허수단위, 복소수
   • 켤레복소수와 켤레복소수의 성질
   • 복소수의 사칙연산
   • i의 거듭제곱, 음수의 제곱근의 성질
   • 방정식 ax + b = 0의 풀이, 부정, 불능
   • 절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이
   • 이차방정식의 판별식, 실근, 허근
   • 이차방정식 근과 계수와의 관계
   • 두 수를 근으로하는 이차방정식, 두 근의 합과 곱이 주어졌을 때 이차방정식
   • 이차방정식의 켤레근
   • 이차방정식의 인수분해
   • 이차방정식의 실근의 부호
   • 이차함수 총정리
   • 이차함수의 최댓값과 최솟값
   • 이차함수의 최대, 최소와 활용
   • 이차함수의 그래프와 이차방정식의 실근
   • 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계
   • 이차방정식의 실근의 위치
   • 고차방정식의 인수분해, 고차방정식의 풀이
   • 고차방정식의 풀이 - 치환, 복이차식
   • 삼차방정식 근과 계수와의 관계
   • 삼차방정식의 허근 ω의 성질
   • 연립이차방정식의 풀이 1
   • 연립이차방정식의 풀이 2 - 대칭식
   • 부등식의 성질
   • 부등식 ax > b의 풀이, 부정, 불능
   • 연립부등식
   • 여러가지 연립부등식
   • 절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 풀이
   • 절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이 2
   • 이차부등식, 이차부등식의 해
   • 이차부등식의 해와 판별식
   • 이차부등식의 해와 이차함수의 그래프
   • 해가 주어졌을 때 이차부등식 구하기
   • 이차부등식이 항상 성립할 조건
   • 연립이차부등식
3. 순열과 조합
   • 합의 법칙, 곱의 법칙
   • 순열이란
   • 계승, 팩토리얼(!)
   • 순열의 활용
   • 조합이란
   • 조합의 성질
   • 조합의 활용
4. 행렬
   • 행렬, 행렬의 뜻, 정사각행렬
   • 행렬의 성분, 두 행렬이 서로 같을 조건
   • 행렬의 덧셈과 뺄셈, 행렬의 덧셈에 대한 성질
   • 영행렬
   • 행렬의 실수배, 행렬의 실수배에 대한 성질
   • 행렬의 곱셈, 행렬의 거듭제곱
   • 행렬의 곱셈에 대한 성질
   • 단위행렬

공통수학 2

1. 도형의 방정식
   • 두 점 사이의 거리
   • 선분의 내분점과 외분점
   • 좌표평면 위의 내분점과 외분점
   • 내분점과 외분점의 관계
   • 삼각형 무게중심의 좌표
   • 직선의 방정식, 직선의 방정식 구하기
   • 직선의 방정식 일반형과 표준형
   • 절댓값 기호를 포함한 식의 그래프
   • 두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직
   • 두 직선의 위치관계와 일차방정식의 해의 개수
   • 교점을 지나는 직선의 방정식
   • 점과 직선 사이의 거리
   • 원의 방정식
   • 원의 방정식 일반형과 표준형
   • 아폴로니오스의 원
   • 축에 접하는 원의 방정식
   • 두 원의 교점을 지나는 원의 방정식
   • 원과 직선의 위치관계
   • 원의 접선의 방정식 1 - 접점을 알 때
   • 원의 접선의 방정식 2 - 기울기를 알 때
   • 원의 접선의 방정식 3 - 원 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식
   • 점과 도형의 평행이동
   • 점과 도형의 대칭이동 - x축, y축, 원점
   • 점과 도형의 대칭이동 - 직선에 대한 대칭이동
2. 집합과 명제
   • 집합의 뜻
   • 집합에서 원소란π
   • 집합의 표현방법 - 조건제시법, 원소나열법, 벤다이어그램
   • 집합의 분류 - 원소개수에 따른 분류(무한집합, 유한집합, 공집합)
   • 집합의 원소의 개수
   • 집합의 포함관계 - 부분집합
   • 진부분집합과 부분집합의 성질
   • 부분집합 구하기, 부분집합의 개수 구하기
   • 특정한 원소를 포함하는 부분집합의 개수 구하기
   • 교집합과 합집합
   • 전체집합과 여집합, 차집합
   • 집합의 연산법칙 - 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙
   • 집합의 연산법칙 - 드모르간의 법칙
   • 유한집합의 원소의 개수
   • 명제와 조건, 진리집합, 조건의 부정
   • 명제의 참, 거짓
   • 명제의 역, 이, 대우, 삼단논법
   • 필요조건, 충분조건, 필요충분조건
   • 수학에서의 정의, 증명, 정리
   • 절대부등식, 부등식의 증명에 사용되는 실수의 성질
   • 절대부등식의 증명 - 산술, 기하, 조화평균
   • 절대부등식의 증명 - 코시 슈바르cm 부등식
3. 함수
   • 함수의 정의
   • 정의역, 공역, 치역, 서로 같은 함수
   • 함수의 그래프
   • 일대일 대응, 일대일함수
   • 합성함수
   • 합성함수의 성질
   • 역함수, 역함수 구하는 방법
   • 역함수의 성질과 그래프
   • 유리식, 분수식, 유리식의 사칙연산
   • 여러가지 유리식의 풀이
   • 유리함수
   • 유리함수 2 - 분수함수
   • 분수함수의 역함수
   • 무리식, 무리식의 연산
   • 무리함수
   • 무리함수 2
   • 무리함수의 역함수

반비례

정비례와 반대인 경우를 볼까요?

넓이가 30cm2인 사각형을 만들려고 해요. 가로의 길이를 xcm, 세로의 길이를 ycm라고 할 때, x와 y의 관계를 알아보죠.

가로의 길이가 1cm → 2cm로 두 배가 되면 세로의 길이는 30cm → 15cm로 $\frac{1}{2}$배가 되고, 가로의 길이가 1cm → 3cm로 3배가 되면 세로의 길이는 30cm → 10cm로 $\frac{1}{3}$배가 되죠.

이처럼 x가 2배, 3배가 될 때, y는 $\frac{1}{2}$배, $\frac{1}{3}$배가 되는 걸 반비례라고 해요.

x, y 사이의 관계를 알아볼까요?

x × y = 1 × 30 = 2 × 15 = 3 × 10 = 5 × 6 = 6 × 5 = 30

x × y = 30이니까 y = $\frac{30}{x}$이라는 관계식으로 나타낼 수 있어요.

x, y가 반비례하면 xy = a (a ≠ 0) 이라는 관계가 성립해요.

$$xy = a\quad\rightarrow\quad y\quad = \quad \frac{a}{x}\\(a\quad \ne \quad 0)$$

반비례의 그래프

y = $\frac{a}{x}$ (a ≠ 0)의 그래프는 어떤 특징이 있는지 알아볼까요?

y = $\frac{12}{x}$ 그래프를 그려보죠.

먼저 순서쌍을 찾아보면 …, (-12, -1), (-6, -2), (-4, -3), (-3, -4), (-2, -6), (-1, -12), (1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1), …이 있네요. 물론 중간마다 x = 0.1, 0.11, …, 0.2, 0.22, … 같은 순서쌍도 찾을 수 있겠죠. 이런 점들을 좌표평면에 표시하면 아래처럼 돼요. 직선이 아니라 x축, y축에 가까워지면서 한없이 뻗어 나가는 곡선이 2개가 그려졌어요. 한 쌍의 곡선이라서 쌍곡선이라고 해요. 이 곡선은 제1사분면과 제3사분면을 지나네요.

y = -$\frac{12}{x}$의 그래프도 그려보죠.

먼저 순서쌍을 찾으면 …, (-12, 1), (-6, 2), (-4, 3), (-3, 4), (-2, 6), (-1, 12), (1, -12), (2, -6), (3, -4), (4, -3), (6, -2), (12, -1), …이 있네요. 마찬가지로 정수가 아니라 유리수 순서쌍도 무수히 많을 거고요. 좌표평면에 점을 찍어봤더니 아래 그림처럼 그래프가 그려졌어요. x축, y축에 가까워지면서 한없이 뻗어 나가는 2개의 곡선인데, 곡선은 제2사분면과 제4사분면을 지나가요.

y = $\frac{a}{x}$ (a ≠ 0)에서 분수의 분모인 x는 0이 될 수 없으니까 y축과 만나지 않아요. 또 a ≠ 0이므로 y ≠ 0이어서 x축과도 만나지 않죠. 대신 x축, y축에 한없이 가까워지지만 할 뿐이에요. x ≠ 0, y ≠ 0이니까 원점도 지나지 않죠. 모양도 직선이 아니라 곡선이에요. 그리고 a > 0이면 x와 y의 부호가 같으니까 제1사분면과 제3사분면을 지나요. a < 0이면 x의 부호와 y의 부호가 반대라서 제2사분면과 제4사분면을 지나고요.

y = $\frac{a}{x}$(a ≠ 0)의 그래프 그리기

y = $\frac{a}{x}$는 직선이 아니라 곡선이라서 가능하면 많은 순서쌍을 찾아야 해요. 그래서 그 순서쌍을 좌표평면에 나타내고, 곡선으로 연결하는 거죠. 기본적인 형태는 같아요. 지나는 점만 다르다고 생각하면 돼요.

몇 번 연습해보면 그릴 수 있어요.

다음에 그려진 그래프를 보고, x, y의 관계식을 구하여라.

(1)은 제2사분면과 제4사분면을 지나는 직선이에요. y = ax의 그래프인데, a < 0인 그래프죠. 원점 O와 (1, -3)을 지나요. y = ax에 x = 1, y = -3을 대입하면 a를 구할 수 있어요.

y = ax
-3 = a × 1
a = -3

y = -3x의 그래프네요.

(2)는 제1사분면과 제3사분면을 지나는 곡선이에요. y = $\frac{a}{x}$의 그래프라는 얘기죠. 이 그래프는 (1, 5)를 지나네요. x = 1, y = 5를 대입해보죠.

$$y\quad = \quad \frac{a}{x}\\5\quad = \quad\frac{a}{1}\\a\quad = \quad 5$$

$y = \frac{5}{x}$의 그래프군요.