중학교 2학년 때 공부했던 삼각형의 외심 기억하죠? 이번에는 삼각형 외심의 좌표를 구해볼까요?
삼각형 외심의 좌표는 2가지 방법으로 구할 수 있어요.
첫번째는 외심의 정의를 이용하는 방법이에요. 두번째는 외심의 성질을 이용하는 방법이고요.
삼각형 외심의 좌표 구하기 - 외심의 정의 이용
첫번째 외심의 정의를 이용해서 외심의 좌표를 구해보죠.
삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이에요. 물론, 세 변의 수직이등분선을 다 구하지 않고, 두 변의 수직이등분선의 교점만 구해도 돼요.
여기서는 변의 수직이등분선이라는 게 결정적인 힌트에요. 일단 삼각형에서 두 변의 방정식을 각각 구하고, 이 두 변과 수직이등분선의 방정식을 구해서 이 두 방정식의 교점을 찾는 거예요. 어려워보이죠? 하지만 생각보다 더 어려울 거예요.
좌표 위에 세 점 A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)를 꼭짓점으로 하는 △ABC의 외심의 좌표를 구해보죠.
1단계, 두 변의 방정식을 각각 구해야하는데, 두 점을 지나는 직선의 방정식을 공식을 이용해서 구할 수 있어요.
$$ \overline{AB}의 방정식: y - y_{1} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} (x - x_{1})\\ 중점: \left( \frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2} \right)$$ $$ \overline{BC}의 방정식: y - y_{2} = \frac{y_{3} - y_{2}}{x_{3} - x_{2}} (x - x_{2})\\ 중점: \left( \frac{x_{2} + x_{3}}{2}, \frac{y_{2} + y_{3}}{2} \right)$$
2단계, 각 변의 수직이등분선의 방정식을 구해보죠.
$\overline{AB}$의 방정식과 중점을 구했으니, 여기에 수직이등분선의 직선의 방정식을 구할 수 있죠? 두 직선이 서로 수직이면 기울의 곱 = -1이에요. $$ \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \times 기울기 = -1\\ 기울기 = - \frac{x_{2} - x_{1}}{y_{2} - y_{1}}$$
이 직선은 $\overline{AB}$의 중점을 지나니까 기울기와 한 점의 좌표를 알 때 직선의 방정식 구하는 공식으로 구할 수 있어요.
$$ y - \frac{y_{1} + y_{2}}{2} = - \frac{x_{2} - x_{1}}{y_{2} - y_{1}} \left( x - \frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)$$
같은 방법으로 $\overline{BC}$의 수직이등분선의 방정식을 구할 수 있죠?
$$ \frac{y_{3} - y_{2}}{x_{3} - x_{2}} \times 기울기 = -1\\ 기울기 = - \frac{x_{3} - x_{2}}{y_{3} - y_{2}}$$
이 직선은 $\overline{BC}$의 중점을 지나요.
$$ y - \frac{y_{2} + y_{3}}{2} = - \frac{x_{3} - x_{2}}{y_{3} - y_{2}} \left( x - \frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)$$
3단계, 연립방정식을 이용해서 이 두 직선의 교점을 구하면 바로 외심의 좌표예요.
이 이후의 과정은 너무 복잡하니까 그냥 구하지 말죠. 아무튼 순서를 잘 기억하세요.
- 삼각형의 두 꼭짓점을 이용해서 변의 방정식과 중점을 구한다. × 2
- 각 변의 수직이등분선의 방정식을 구한다.
- 연립방정식을 이용하여 ②에서 구한 수직이등분선의 교점의 좌표를 구한다.
삼각형 외심의 자표구하기 - 외심의 성질 이용
두 번째 방법은 삼각형 외심의 성질을 이용하는 방법이에요.
삼각형 외심의 성질은 무엇이었나요? 외심에서 세 꼭짓점에 이르는 거리가 같잖아요. 그러니까 외심의 좌표를 점O(x, y)라고 놓고, 좌표평면에서 두 점 사이의 거리 공식을 이용해서 $\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC}$ 를 구하는 거죠.
A = B = C꼴의 연립방정식이니까 A = B or B = C or C = A 중 2개를 골라서 연립방정식을 만들고 풀면 돼요.
진짜로 풀지는 말고, 그 방법만 알고 있으면 돼요.
결과는 이거예요. 심심하면 외워보세요.
$$x = \frac{ (x_1^2 + y_1^2)(y_2 - y_3) + (x_2^2 + y_2^2)(y_3 - y_1) + (x_3^2 + y_3^2)(y_1 - y_2) }{ 2 \cdot (x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2))}\\\\ y = \frac{ (x_1^2 + y_1^2)(x_3 - x_2) + (x_2^2 + y_2^2)(x_1 - x_3) + (x_3^2 + y_3^2)(x_2 - x_1) }{ 2 \cdot (x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2))}$$