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11. 정육면체 모양의 주사위를 한 번 던질 때, 1의 눈이 나올 확률은?
①     ②      ③      ④ 

주사위를 던져서 나올 수 있는 눈의 경우의 수는 6가지죠. 1의 눈이 나오는 경우의 수는 1가지고요.

따라서 답은 ④번입니다.

[중등수학/중2 수학] - 확률, 확률의 뜻, 확률 공식

12. 평행사변형이 아닌 것은?

평행사변형의 성질은 다음과 같아요.

• 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
• 이웃한 두 각의 크기의 합은 180°
• 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
• 두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.

②번은 첫번째 성질에 나온 것처럼 두 쌍의 대각이 각각 100° , 80° 로 서로 같으므로 평행사변형이에요.

③번은 네 번째 성질에 나온 것처럼 대각선이 서로 다른 대각선을 이등분하므로 평행사변형이에요.

④번은 세 번째 성질에 나온 것처럼 두 쌍의 대변의 길이가 각각 2, 3으로 서로 같으므로 평행사변형이에요.

따라서 답은 ①번입니다. ①번이 평행사변형이 되려면 이웃한 변의 길이가 같은 게 아니라 ④번처럼 대변의 길이가 서로 같아야 해요.

[중등수학/중2 수학] - 평행사변형의 성질, 평행사변형의 특징

13. 그림에서 두 직육면체 A, B는 서로 닮은 도형이다. 두 도형의 닮음비가 1 : 2일 때, x의 값은?

① 5     ② 6     ③ 7     ④ 8

도형의 닮음비가 1 : 2라면 도형의 모든 대응변의 길이의 비도 1 : 2예요.

1 : 2 = 3 : x
x = 6

답은 ②번입니다.

[중등수학/중2 수학] - 닮은 도형의 성질

14. 가로의 길이가 5cm, 세로의 길이가 3cm인 직사각형이 있다.  이 직사각형의 넓이가 같은 정사각형 한 변의 길이는?
① cm    ② cm     ③ cm     ④ cm

가로 길이가 5cm, 세로 길이가 3cm인 직사각형의 넓이 = 5cm × 3cm = 15cm²

정사각형의 넓이는 (한 변의 길이)² 으로 한 변의 길이를 x라고 하면 x² = 15이므로 정사각형 한 변의 길이는 cm, 답은 ②번이네요.

[중등수학/중3 수학] - 제곱근의 뜻과 표현

15. x² - 1을 인수분해하면?

① (x + 1)²     ② (x + 2)²     ③ (x + 1)(x - 1)     ④ (x + 2)(x - 2)

제곱 - 제곱 형태로 일명 합차공식으로 인수부해할 수 있어요.

a² - b² = (a + b)(a - b)

x² - 1 = x² - 1² = (x + 1)(x - 1)

답은 ③번이네요.

[중등수학/중3 수학] - 인수분해 공식 - 완전제곱식, 합차공식

16. 이차방정식 (x + 3)(x - 2) = 0의 한 근이 -3이다. 다른 한 근은?

① -4     ② -2     ③ 2     ④ 4

(x + 3)(x - 2) = 0
x + 3 = 0 or x - 2 = 0
x = -3 or 2

따라서 답은 ③번입니다.

[중등수학/중3 수학] - 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이

17. 이차함수 y = (x + 1)² - 2의 그래프에 대한 설명으로 옳은 것은?

① 아래로 볼록하다.     ② 최솟값은 -1이다.
③ 축의 방정식은 x = 1이다.     ④ 꼭짓점의 좌표는 (1, 2)이다.

이차함수의 그래프의 특징을 먼저 정리해보죠.

이차함수 y = a(x - p)² + q (a > 0일 때)의 그래프에서

아래로 볼록
최솟값은 q
축의 방정식은 x = p
꼭짓점의 좌표는 (p, q)

문제에서는 a = 1로 a > 0이므로 아래로 볼록이어서 ①번은 옳은 설명이에요.

최솟값은 -2이므로 ②번은 틀린 설명이네요.

축의 방정식은 x = -1이므로 ③번도 틀렸고요.

꼭짓점의 좌표는 (-1, -2)이므로 ④번도 틀렸네요.

설명이 옳은 건 ①번이에요.

[중등수학/중3 수학] - 이차함수 그래프의 특징

18. 다음은 7명의 제기차기 기록을 작은 값부터 순서대로 나열한 것이다. 이 자료의 중앙값은?

16, 16, 17, 24, 31, 37, 45

① 16     ② 17     ③ 24     ④ 45

중앙값은 변량을 크기가 작은 것부터 큰 것으로 순서대로 놓았을 때 가운데 있는 값을 말해요.

총 7명의 기록이니까 4번째 있는 기록이 가운데이므로 네 번째있는 24가 중앙값이어서 답은 ③번이네요.

[중등수학/중3 수학] - 대푯값과 평균, 중앙값, 최빈값

19. 그림과 같이 가로의 길이가 8cm, 세로의 길이가 6cm인 직사각형이 있다. 이 직사각형의 대각선의 길이는?

① 9cm     ② 10cm     ③ 11cm     ④ 12cm

직사각형이지만 길이를 알고 있는 두 변과 대각선을 따로 떼보면 직각삼각형을 만들 수 있어요. 직사각형의 대각선은 직각삼각형의 빗변에 해당하죠.

대각선의 길이 = 빗변의 길이

피타고라스의 정리를 이용해서 빗변의 길이를 구할 수 있어요.

(빗변의 길이)²
= 8² + 6²
= 64 + 36
= 100

빗변의 길이 = 10cm

답은 ②번이네요.

[중등수학/중3 수학] - 피타고라스의 정리, 피타고라스의 정리 증명

20. 그림과 같이 가 지름인 원 O에서 ∠AOB = 80° 일 때, ∠x의 크기는?

① 30°     ② 40°     ③ 50°     ④ 60°

원주각의 크기는 중심각의 크기의 2배예요.

∠AOB가 중심각 ∠APB = ∠x은 원주각이므로 ∠x는 ∠AOB의 절반인 40°입니다.

답은 ②번이네요.

[중등수학/중3 수학] - 원주각과 중심각의 크기, 원주각의 성질

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2016년 제2회 중졸 검정고시 기출문제 정답
2016년 제2회 중졸검정고시 기출문제 정답

2017년 제1회 중졸검정고시 수학 기출문제입니다. 1 ~ 10번까지 문제와 풀이 과정을 적었습니다. 풀이 과정이 혹시 이해되지 않는다면 풀이 바로 아래에 있는 링크에 관련 개념과 공식이 있으니 참고하세요.

1. 다음은 140을 소인수분해하는 과정을 나타낸 것이다. 140을 소인수분해한 결과로 옳은 것은?

① 2 × 70     ② 2² × 35     ③ 2 × 7 × 10     ④ 2² × 5 × 7

소인수분해는 이름에서 알 수 있듯이 자연수를 소인수들의 곱으로 나타내는 걸 말해요. 따라서 소인수들만의 곱으로 된 것을 찾으면 되겠네요.

그림에서 동그라미 쳐진 숫자 4개가 있는데, 모두 소인수죠? 이 숫자 4개로 이루어진 ④번이 답입니다. 2는 두 개 있어서 거듭제곱으로 나타냈네요.

[중등수학/중1 수학] - 소인수분해, 소인수분해 하는 법, 소인수 뜻

2. 다음 중 정수가 아닌 유리수는?
① -2     ② 0     ③      ④ +3

유리수는 크게 정수와 정수가 아닌 유리수로 나눌 수 있어요. 정수는 음의 정수, 0, 양의 정수가 있고요. 정수가 아닌 유리수는 앞의 세가지가 아닌 유리수를 말해요. 약분했을 때 정수로 바꿀 수 없는 분수가 정수가 아닌 유리수라고 생각하면 쉽죠?

답은 ③번입니다.

[중등수학/중1 수학] - 유리수, 유리수의 분류

3. x = 3일 때, 4x - 5의 값은?
① -3     ② 2     ③ 7     ④ 12

x의 값을 알려주고 x가 있는 일차식에 대입해서 식의 값을 구하는 문제네요.

대입은 어떤 문자나 식을 값이 같은 것으로 바꿔주는 걸 말하죠. 여기서는 x와 3이 같으므로 x를 빼고 그 자리에 3을 넣어서 식의 값을 구할 수 있어요.

4x - 5
= 4 × x - 5
= 4 × 3 - 5
= 7

답은 ③번입니다.

[중등수학/중1 수학] - 대입, 식의 값

4. 일차방정식 2x - 1 = x + 2의 해는?
① x = -2     ② x = -1     ③ x = 2     ④ x = 3

일차방정식의 해를 구할 때는 등호의 왼쪽(좌변)에 문자, 등호의 오른쪽(우변)에 숫자를 이항시킨 다음, 문자의 계수로 양변을 나눠주면 돼요.

2x - 1 = x + 2
2x - x = 2 + 1
x = 3

x의 계수가 1이니까 나눠줄 필요가 없네요. 답은 ④번입니다.

[중등수학/중1 수학] - 일차방정식의 풀이, 일차방정식의 뜻, 이항

5. 매월 3만 원씩 x개월 동안 저축한 총 금액을 y만 원이라고 할 때, x와 y 사이의 관계식은?
① y = 3x     ② y = 4x     ③ y = 5x     ④ y = 6x

x에 따라 y의 값이 결정되는 함수 관계로 함수식을 구하는 문제네요.

1달 저축하면 3만원
2달 저축하면 6만원
3달 저축하면 9만원

따라서 저축한 개월 수와 3을 곱한 값이 저금한 총액이죠? y = 3x

답은 ①번입니다.

[중등수학/중1 수학] - 정비례와 반비례 - 함수의 관계식

6. 1분 동안 줄넘기 횟수를 조사하여 줄기와 잎 그림으로 나타낸 것이다. 잎이 가장 많은 줄기는?
① 2     ② 3     ③ 4     ④ 5

같은 줄에서 왼쪽 칸이 줄기, 오른쪽 칸이 잎을 내죠?

오른쪽 칸에서 개수가 가장 많은 것을 찾고 그것과 같은 줄에 있는 줄기를 찾으면 됩니다.

잎의 개수가 가장 많은 건 두번째 줄이고, 이줄의 줄기는 3이므로 답은 ②번입니다.

[중등수학/중1 수학] - 줄기와 잎 그림

7. 그림과 같이 두 직선 l과 m이 한 직선 n에서 만날 때, ∠x의 동위각은?

① ∠a     ② ∠b     ③ ∠c     ④ ∠d

동위각은 위치가 같은 곳에 있는 각을 말해요.

두 직선이 만날 때, 각의 위치를 편의상 왼쪽 위, 오른쪽 위, 왼쪽 아래, 오른쪽 아래로 나눠 보죠.

∠x는 직선 n, m이 만나서 생긴 네 각중 왼쪽 위에 있는 각이죠? 따라서 직선 n과 l이 만나서 생긴 네 각 중 ∠x가 있는 곳과 같은 왼쪽 위에 있는 각인 ∠d가 ∠x의 동위각이에요. 답은 ④번이네요.

[중등수학/중1 수학] - 맞꼭지각, 동위각, 엇각

8. 어른 입장료가 청소년 입장료의 2배인 박물관이 있다. 어른 2명과 청소년 1명의 입장료의 합이 5000원일 때, 청소년 1명의 입장료는?

① 500원     ② 1000원     ③ 1500원     ④ 2000원

어른의 입장료를 x, 청소년의 입장료를 y라고 해보죠.

어른의 입장료 x가 청소년 입장료 y의 두 배라고 했으니 x = 2y라는 식을 세울 수 있어요.

어른 2명과 청소년 1명의 입장료의 합은 2x + y인데 이게 5000원이라고 했네요. 2x + y = 5000

두 식을 연립방정식으로 풀어보죠.

x = 2y              … ①
2x + y = 5000     … ②

①식을 ②식에 대입해보죠.

2 × 2y + y = 5000
4y + y = 5000
y = 1000

청소년의 입장료는 1000원이네요. 답은 ②번입니다.

[중등수학/중2 수학] - 연립방정식이란
[중등수학/중2 수학] - 연립방정식의 풀이법 - 대입법

9. 수직선 위에 나타낸 x의 값의 범위를 부등식으로 표현하면?

① x>3     ② x<3     ③ x≥3     ④ x≤3

수직선에서 숫자 위에 빈 동그라미면 등호가 없고, 까만 동그라미면 등호를 포함해요.

x의 범위가 숫자의 오른쪽 영역이면 x는 그 숫자보다 크고, 숫자의 왼쪽 영역이면 x는 그 숫자보다 작죠.

그림에서 숫자 3에는 빈 동그라미이므로 등호가 없고, 숫자의 오른쪽 영역이 x의 범위이므로 3보다는 커요.

따라서 x는 3보다 크므로 답은 ①번입니다.

[중등수학/중2 수학] - 일차부등식의 풀이

10. 일차함수 y = 3x - 2의 그래프와 평행한 것은?
① y = -3x     ② y = -x     ③ y = x     ④ y = 3x

일차함수의 그래프가 서로 평행하려면 기울기가 같고, y절편이 달라야 해요.

문제에서 알려준 식은 y = 3x - 2이므로 기울기는 3이고 y절편은 -2죠.

보기의 네 식은 모두 문제의 식과 y절편이 다르지만 기울기가 같은 건 ④번이므로 답은 ④번입니다.

[중등수학/중2 수학] - 일차함수 그래프의 평행과 일치

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11. 직선 y = -x + 1에 수직이고, 원점을 지나는 직선의 방정식은?
① y = -2x     ② y = -x
③ y = x     ④ y = 2x

두 직선이 서로 수직이면 기울기의 곱 = -1이에요.

구하려는 직선의 방정식을 y = ax + b라고 하면 a × (-) = -1이어야 하므로 a = 2

기울기가 a이고 한 점(x₁, y₁)을 지나는 직선의 방정식은 y - y₁ = a(x - x₁)이므로 원점의 좌표와 기울기 2를 대입하면

y - 0 = 2(x - 0)
y = 2x

따라서 답은 ④번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직
[고등수학/고1 수학] - 직선의 방정식, 직선의 방정식 구하기

12. 원 x² + y² = 4와 직선 y = x의 위치관계는?
① 만나지 않는다.
② 한 점에서 만난다.
③ 서로 다른 두 점에서 만난다.
④ 서로 다른 세 점에서 만나다.

원과 직선의 위치관계는 직선의 방정식을 한 문자에 대하여 정리한 후에 원에 방정식에 대입해서 판별식을 구하여 알아볼 수도 있고, 원의 중심에서 직선까지의 거리와 반지름의 크기를 비교해서 알아볼 수도 있어요.

하지만 이 문제는 그래프를 머릿 속에 그려보면 답이 금방 나오는 문제네요. 원의 중심이 원점이고 직선의 방정식이 원점을 지나는 방정식이므로 이 두 도형은 서로 다른 두 점에서 만나요.

답은 ③번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 원과 직선의 위치관계

13. 원 (x - 3)² + (y - 2)² = 2를 y축에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은?
① (x - 3)² + (y - 2)² = 2     ② (x - 3)² + (y + 2)² = 2
③ (x + 3)² + (y - 2)² = 2     ④ (x + 3)² + (y + 2)² = 2

도형을 x축에 대하여 대칭이동하면 y → (-y)로 바꿔주고, y축에 대하여 대칭이동하면 x → (-x)로 바꿔주면 돼요.

문제에서 식을 y축에 대하여 대칭이동했으므로 x대신 (-x)를 대입해주면 되겠네요.

((x - 3)² + (y - 2)² = 2
→ {(-x) - 3}² + (y - 2)² = 2
     (-x - 3)² + (y - 2)² = 2
   {-(x + 3)}² + (y - 2)² = 2 (x + 3)² + (y - 2)² = 2

(-x - 3)을 (-1)로 묶어준 다음에 (-1)만 제곱해서 빼냈더니 ③번이 답인 걸 알 수 있네요.

[고등수학/고1 수학] - 점과 도형의 대칭이동 - x축, y축, 원점에 대하여 대칭이동

14. 그림에서 색칠한 부분의 영역을 부등식으로 나타낸 것은? (단, 경계선 제외)

①     ②      ③      ④ 

두 직선 x = 3, y = 1에 의해 나눠지는 영역이에요.

먼저 x = 3이라는 직선보다 왼쪽에 있으니까 x < 3이고, y = 1이라는 직선보다 위에 있으니까 y > 1이에요.

따라서 답은 ②번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 부등식의 영역 - y > f(x), y < f(x)

15. 가영, 예슬, 하경, 찬규가 분식집에서 각자 원하는 메뉴를 주문하고, 금액을 지불하려고 한다. 이 때 세집합 X, Y, Z에 대하여 두 함수 f: X → Y, g: Y → Z가 그림과 같을 때, (g ∘ f)(하경)의 값은? (단, g ∘ f는 f와 g의 합성함수)

① 1000원     ② 1500원     ③ 2000원     ④ 2500원

합성함수는 뒤에서 부터 순서대로 하나씩 대입하면 답을 구할 수 있어요.

(g ∘ f)(하경) = g(f(하경)) = g(김밥) = 1500원

답은 ②번이네요.

[고등수학/고1 수학] - 합성함수, 함성함수란

16. 함수 f(x) = x + 3의 역함수를 f^-1라고 할 때, f^-1(1)의 값은?
① -2     ② 0     ③ 2     ④ 4

주어진 함수의 역함수를 구해보죠.

y = x + 3
x = y - 3

f^-1(x) = x - 3이네요.

f^-1(1) = 1 - 3 = -2

따라서 답은 ①번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 역함수, 역함수 구하는 법

17. 정의역이 {x| 0 ≤ x ≤ 3}일 때, 함수 y = (x - 1)² - 1의 최댓값은?

① -3     ② 0     ③ 3     ④ 6

이차항의 부호가 양수이므로 위로 볼록인 함수예요. 이때 최댓값은 정의역의 양쪽 경곗값 중 끝값이에요. f(0)과 f(3)을 비교보면 되겠네요.

f(0) = (0 - 1)² - 1 = 0
f(3) = (3 - 1)² - 1 = 3

답은 ③번 3입니다.

[고등수학/고1 수학] - 이차함수의 최댓값과 최솟값, 이차함수의 최대최소

18. 무리함수 의 그래프를 x축 방향으로 a만큼 평행이동하면 의 그래프가 된다. a의 값은?

① -1     ② 0     ③ 1     ④ 2

어떤 도형을 x축 방향으로 a만큼 이동하면 x → x - a, y축 방향으로 b만큼 평행이동하면 y → y - b를 넣어주면 돼요.

x축 방향으로 a만큼 평행이동하면 x - a인데 이게 x - 1이에요. 따라서 a = 1이네요.

답은 ③번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 평행이동, 점과 도형의 평행이동

19. 표는 육십분법의 각을 호도법의 각으로 바꾼 것이다. (가)의 값은?

①      ②     ③     ④ π

비례식을 이용해서 풀어보죠.

180° : π = 90° : x
180° × x = 90° × π
x = 
x = 

답은 ②번이네요.

[고등수학/고1 수학] - 호도법, 라디안(radian)

20. 그림과 같은 석 장의 숫자 카드가 있다. 이 중에서 서로 다른 두 장의 카드를 택하여 만들 수 있는 두 자리 정수의 개수는?

① 6개     ② 8개     ③ 10개     ④ 12개

3개 중에 2개를 선택하는 경우의 수를 구하는 문제네요.

₃P₂ = 3 × 2 = 6

답은 ①번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 순열과 조합 - 순열이란?

1. 전제집합 U = {x|x는 1 ≤ x ≤ 10인 자연수}의 두 부분집합 A = {2, 3, 5, 7}, B = {x|x는 4의 약수}에 대하여 그림과 같이 벤 다이어그램의 색칠한 부분에 속하는 원소는?

① 1     ② 2     ③ 5     ④ 10

모든 집합을 원소나열법으로 써보죠.

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {2, 3, 5, 7} B = {1, 2, 4}

문제의 그림에서 색칠한 부분은 A ∩ B이므로 A와 B 양쪽 모두에 들어있는 원소를 찾아야 해요.

A ∩ B = {2}이므로 답은 ②번입니다.

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2. 다음 중 참인 명제는?
① 4 + 3 < 5이다.
② 2x + 3 = 5이다.
③ 3은 6의 약수이다.
④ x² = 1이면 x = 1이다.

일단 보기의 문장이 명제인지 아닌지 판단해봐야 겠네요. 그 다음에 진리집합을 이용해서 참/거짓을 알아보지요.

①번은 명제는 맞아요. 그런데, 부등식의 좌변이 더 작다고 되어있으므로 틀렸죠. 거짓인 명제입니다.

②번은 미지수가 있어서 미지수의 값에 따라 참/거짓이 달라지는 조건이고요.

③번은 6의 약수 = {1, 2, 3, 6}이므로 3은 6의 약수가 맞죠? 따라서 참인 명제네요.

④번은 P = {1, -1}, Q = {1}로 거짓인 명제네요.

따라서 답은 ③번입니다.

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3. 복소수 = a + bi를 만족하는 두 실수 a, b에 대하여 a - b의 값은? (단, = a - bi, i = )
① 1     ② 2     ③ 3     ④ 4

복소수 위에 ￣ 표시는 숫자는 똑같고, 허수 부분의 부호를 반대로 바꾸라는 뜻으로 켤레복소수를 의미해요.

 = 3 + 2i = a + bi

a = 3, b = 2이므로 a - b = 3 - 2 = 1로 답은 ①번입니다.

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4. 두 다항식 A = x, B = x - 3의 곱 AB는?
① x² - 3x     ② x² - x     ③ x² + x     ④ x² + 3x

AB = x(x - 3) = x² - 3x

분배법칙을 이용해서 그냥 전개하면 답을 쉽게 구할 수 있어요.

답은 ①번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 다항식의 덧셈과 뺄셈, 다항식의 곱셈

5. 그림은 조립제법을 이용하여 x에 대한 다항식 x² - x - 3을 일차식 x - 1로 나눌 때의 몫과 나머지를 구하는 과정이다. 이 때 몫은?
① x     ② x + 2     ③ 2x - 1     ④ 2x + 1

조립제법을 한 결과네요. 조립제법을 한 결과의 가장 아랫줄에서 오른쪽 끝에 ㄴ 안에 있는 건 나머지, 그 외의 것이 몫의 항인데, 오른쪽부터 상수항, 일차항, 이차항, ……이에요.

그림에서 몫은 2x + 1, 나머지는 -2네요.

따라서 답은 ④번이에요.

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6. 유리식 를 간단히 하면? (단, x ≠ 2)
① -2     ② 2     ③ x - 2     ④ x + 2

유리식을 계산할 때는 일단 분모가 같아지도록 통분을 하고, 분자를 계산하죠. 분자를 계산할 때는 인수분해를 해서 약분을 하면 식이 간단해져요.

문제에서는 분모가 같으니까 따로 통분을 할 필요가 없네요.

분모가 같으니까 두 번째 줄에서 분자를 바로 계산했어요. 분자가 모두 제곱인 항의 차로 되어 있어서 3번째 줄에서 인수분해를 했고, 4번째 줄에서는 (x - 2)를 약분했더니 답이 나왔네요.

답은 ④번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 유리식, 분수식, 유리식의 사칙연산

7. 이차방정식의 x² + x - 2 = 0의 두 근을 α, β라고 할 때, 의 값은?
① -     ②      ③      ④ 

두 근을 직접 구해서 풀 수도 있고, 근과 계수와의 관계를 이용해서 풀 수도 있어요.

x² + x - 2 = 0
(x + 2)(x - 1) = 0
x = -2 or 1

답은 ②번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 이차방정식의 근과 계수와의 관계

8. 연립방정식 의 해가 x = -2, y = a, z = b일 때, a + b의 값은?
① 1     ② 2     ③ 3     ④ 4

위에서부터 차례대로 1, 2, 3식이라고 해보죠. 1, 2, 3 세 식을 모두 더해볼까요?

x = -2라는 걸 알려줬으므로 1식과 3식에 x = -2를 대입해보죠.

x = -2를 1식에 대입 x + y = 1 → y = 3
x = -2를 3식에 대입 z - x = 3 → z = 1

a = 3, b = 1이므로 a + b = 3 + 1 = 4

답은 ④번이네요.

[고등수학/고1 수학] - 연립방정식 - 미지수가 3개인 연립일차방정식

9. 이차부등식 x(x - 3) ≤ 0의 해를 수직선 위에 옳게 나타낸 것은?

이차부등식에서 좌변의 식이 우변의 0보다 작거나 같은 경우에요. 이때는 좌변의 식을 0이 되게 하는 두 수 사이의 값이 부등식의 해예요.

x(x - 3) ≤ 0
0 ≤ x ≤ 3

이 해를 부등식으로 옳게 나타낸 것은 ②번이네요.

[고등수학/고1 수학] - 이차부등식, 이차부등식의 해

10. 그림에서 두 점 A(1, -1), B(3, 2) 사이의 거리는?
①      ②      ③      ④ 

좌표평면에서 두 점 사이의 거리를 구하는 문제네요. 공식부터 볼까요?

A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)일 때 

A(1, -1), B(3, 2)이므로 공식에 그대로 넣어보죠.

답은 ④번이네요.

[고등수학/고1 수학] - 두 점 사이의 거리, 좌표평면위의 두 점 사이의 거리

11. 상자 안에 1에서 9까지의 자연수가 각각 적힌 아홉 개의 크기가 같은 구슬이 들어 있다. 이 중에서 임의로 한 개의 구슬을 꺼낼 때, 4의 배수가 나올 확률은?
①      ②      ③      ④ 

상자 안에 1 ~ 9까지의 자연수가 적힌 구슬이 있으니까 구슬을 꺼낼 수 있는 모든 경우의 수는 9가지고요. 이 중 4의 배수인 경우의 수는 4, 8 두 가지 경우에요.

어떤 사건이 일어날 확률은 (그 사건이 일어나는 경우의 수) ÷ (모든 경우의 수)이므로 임의의 구슬을 꺼냈을 때 4의 배수가 나올 확률은 ②입니다.

[중등수학/중2 수학] - 확률, 확률의 뜻, 확률 공식

12. 그림과 같이 ∠C = 90°인 직각삼각형 ABC에서 변AC = 변BC이다. x의 크기는?
① 35°     ② 40°     ③ 45°     ④ 50°

삼각형의 내각의 합은 180°인데, ABC의 꼭지각인 ∠C = 90°이므로 두 밑각의 크기의 합은 ∠A + ∠B = 90°이지요.

변AC = 변BC이므로 △ABC는 두 변의 길이가 같은 이등변삼각형이에요. 이등변삼각형의 두 밑각은 크기가 같아요.

∠A + ∠B = 90°
x + x = 90°
x = 45°

답은 ③번입니다.

[중등수학/중1 수학] - 삼각형 내각의 합과 외각의 크기, 외각의 합
[중등수학/중2 수학] - 이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건

13. 그림에서 □ABCD ∽ □EFGH이고, 변BC = 2cm, 변FG = 3cm이다. 변AD = 4cm일 때, 변EH의 길이는?
① 3cm     ② 4cm     ③ 5cm     ④ 6cm

닮은 도형에서는 대응하는 모든 변에서 닮음비가 일정해요.

변BC와 변FG가 대응하고, 변AD와 변EH가 대응하네요.

변BC : 변FG = 변AD : 변EH
2 : 3 = 4 : x
2 × x = 3 × 4
x = 6

따라서 답은 ④번입니다.

[중등수학/중2 수학] - 닮은 도형의 성질
[중등수학/중2 수학] - 닮음의 위치, 닮음의 중심

14. 10의 제곱근은?
① ±2    ②      ③      ④ ±4

양수의 제곱근은 절댓값의 크기가 같고 부호가 반대인 음의 제곱근, 양의 제곱근 두 개가 있어요.

10의 제곱근은 10에 제곱근 기호를 씌워주고, 여기에 양의 제곱근과 음의 제곱근의 부호를 함께 써서 이므로 답은 ③번입니다.

[중등수학/중3 수학] - 제곱근의 뜻과 표현

15. 넓이가 x² + 3x + 2인 직사각형 모양의 그림이 있다. 가로 길이가 x + 2일 때, 세로의 길이는?
① x + 1     ② x + 2     ③ x + 3     ④ x + 4

넓이는 가로 × 세로니까 (x + 2)(세로 길이) = x² + 3x + 2

우변을 인수분해하면 되겠네요.

x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)

가로 길이가 x + 2니까 다른 하나인 x + 1이 세로 길이겠네요. 답은 ①번입니다.

[중등수학/중3 수학] - 인수분해 공식 - 완전제곱식, 합차공식
[중등수학/중3 수학] - 인수분해 공식 두 번째

16. 이차방정식 (x - 2)(x + 1) = 0의 두 근을 a, b라 할 때, a + b의 값은?
① 1     ② 2     ③ 3     ④ 4

어떤 두 식을 곱했을 때 0이 되었다는 건 두 식 중 하나가 0이라는 뜻이에요. 둘 다 0일 수도 있고요.

x - 2 = 0이라면 x = 2
x + 1 = 0이라면 x = -1

둘 다 동시에 0이 되는 x는 없네요.

a = 2, b = -1이라고 하면 a + b = 2 + (-1) = 1이라서 답은 ①번입니다.

[중등수학/중3 수학] - 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이

17. 이차함수 y = -x²의 그래프에 대한 설명으로 옳은 것은?
① 아래로 볼록하다.     ② 제2사분면을 지난다.     ③ 점 (-2, 2)를 지난다.      ④꼭짓점의 좌표는 (0, 0)이다.

그래프를 보거나 식을 보고 그래프의 성질을 파악할 수 있어요.

문제의 이차함수는 이차항의 계수가 음수이므로 위로 볼록이에요. 그래프에서도 위로 볼록한 모습을 볼 수 있어요. ①번은 틀렸네요.

그래프에서 보면 제3사분면과 제4사분면만 지나므로 ②번은 틀렸어요.

(-2, 2)를 이차함수식에 넣어보면 식이 성립하지 않아요. 문제의 이차함수가 이 점을 지나지 않는다는 뜻이에요. 그래프 상에서도 (-2, 2)가 아니라 (-2, -2)를 지나네요. ③번도 틀렸어요.

함수식이 표준형으로 주어져 있으니 꼭짓점의 좌표를 구할 수 있죠? (0, 0) ④번은 맞네요.

따라서 답은 ④번입니다.

[중등수학/중3 수학] - 이차함수 그래프의 특징
[중등수학/중3 수학] - 이차함수 그래프, y = (x-p)² + q

18. <보기>는 수학 동아리 회원 10명의 수학 성적을 조사한 자료이다. 수학 성적의 최빈값은?
65     70     50     95     70
70     65     70    100     80
① 65     ② 70     ③ 80     ④95

최빈값은 변량 중 도수가 가장 많은 값을 말해요. 간단히 말해 등장(?) 횟수가 가장 많은 값이죠.

보기에서 50은 도수가 1, 65는 2, 70은 4, 80은 1, 95는 1, 100은 1이에요.

따라서 도수가 가장 높은 ② 70이 답입니다.

[중등수학/중3 수학] - 대푯값과 평균, 중앙값, 최빈값

19. 다음과 같이 ∠C = 90°인 직각삼각형 ABC에서 tanB의 값은?
①      ②      ③      ④ 

직각삼각형에서 tan = 로 구해요.

높이 = 5, 밑변 = 12이므로 답은 ①번입니다.

[중등수학/중3 수학] - 삼각비, sin, cos, tan

20. 그림과 같이 현 AB는 원 O의 지름이다. 호 AB에 대한 원주각 ACB의 크기는?
① 80°     ② 90°     ③ 100°     ④110°

원주각의 크기는 중심각 크기의 절반이에요.

원의 지름은 중심각의 크기가 180이고 원주각의 크기는 그 절반인 90이므로 답은 ②번입니다.

[중등수학/중3 수학] - 원주각과 중심각의 크기, 원주각의 성질

1. 그림은 60을 소인수분해하는 과정이다. 소인수분해한 결과로 옳은 것은?
① 2 × 30     ② 2² × 15
③ 2 × 3 × 10     ④ 2² × 3 × 5

소인수분해는 어떤 수를 소인수들의 곱으로만 나타낸 것을 말하죠. 그림에서 소인수들은 색으로 표시가 되어있는 2, 2, 3, 5입니다. 따라서 이들을 곱으로 나타낸 ④번이 정답입니다.

[중등수학/중1 수학] - 소인수분해, 소인수분해 하는 법, 소인수 뜻

2. 보기에서 가장 큰 수와 가장 작은 수의 합은?
-5, 4, 0, 7, -3
① -4     ② -1     ③ 2     ④ 3

음의 정수, 0, 양의 정수를 모두 합쳐 정수라고 해요. 보기에서 음의 정수는 -5, -3, 양의 정수는 4, 7이네요. 0도 있고요.

정수 중에서는 음의 정수가 가장 작고, 그다음은 0이고, 양의 정수가 제일 커요. 음의 정수 < 0 < 양의 정수

-5, -3 < 0 < 4, 7

음의 정수는 숫자의 절댓값이 작을수록 크고, 양의 정수에서는 숫자의 절댓값이 클수록 커요.

-5과 -3은 음의 정수인데, -3의 숫자의 절댓값이 더 작으므로 -5 < -3이고, 4, 7은 양의 정수인데, 7의 절댓값이 더 크므로 4 < 7이에요.

결국 -5 < -3 < 0 < 4 < 7이에요.

가장 큰 수는 7, 가장 작은 수는 -5입니다.

7 + (-5)를 구해야 하는데, 두 정수의 부호가 달라요. 부호가 다른 두 정수를 더할 때는 부호는 절댓값이 더 큰 정수의 부호고, 숫자는 두 수의 차죠.

7의 절댓값이 -5보다 크므로 부호는 +, 두 수의 차는 7 - 5이므로 2입니다.

7 + (-5) = +2

따라서 답은 ③번입니다.

[중등수학/중1 수학] - 정수, 양의 정수, 음의 정수, 0, 양수와 음수
[중등수학/중1 수학] - 정수의 대소관계, 정수의 크기 비교
[중등수학/중1 수학] - 정수의 덧셈, 덧셈에 대한 교환법칙, 결합법칙

3. x = 5일 때, 3x - 4의 값은?
① 10     ② 11     ③ 12     ④ 13

미지수의 값을 알려주고 미지수를 포함한 식의 값을 구하는 것을 대입이라고 하죠?

대입은 대신 넣는 거라서 원래 문자를 없애고 그 자리에 숫자를 넣는 거예요. 3x - 4에 x = 5를 대입하면 식의 x 자리에 5를 넣고, x는 없애는 겁니다.

3x - 4
= 3 × x - 4          (∵ 생략된 곱셈기호 표시)
= 3 × 5 - 4          (∵ x = 5 대입)
= 15 - 4
= 11

따라서 답은 ②번이네요.

[중등수학/중1 수학] - 대입, 식의 값
[중등수학/중1 수학] - 곱셈기호의 생략, 나눗셈 기호의 생략

4. 일차방정식 2x - 7 = 3의 해는?
① 3     ② 4     ③ 5     ④ 6

좌변에는 미지수, 우변에는 상수항이 오도록 이항하고, 동류항 정리를 한 다음에 미지수의 계수로 양변을 나눠주면 일차방정식의 해를 구할 수 있어요.

2x - 7 = 3
2x = 3 + 7  (∵ 좌변에 미지수, 우변에 상수항)
2x = 10      (∵ 동류항 정리)
x = 5         (∵ 미지수의 계수인 2로 양변을 나눔)

답은 ③번이네요.

[중등수학/중1 수학] - 등식의 성질, 등식의 성질을 이용한 일차방정식의 풀이
[중등수학/중1 수학] - 일차방정식의 풀이, 일차방정식의 뜻, 이항

5. 좌표평면 위에 있는 점 P의 좌표는?
① P(-3, 2)     ② P(-2, 3)     ③ P(2, -3)     ④ P(3, -2)

점 P에서 좌표축으로 직선을 그어서 만나는 점의 좌표를 보면 점 P의 좌표를 구할 수 있어요.

점 P에서 아래로 직선을 그으면 x축과 -2에서 만나고, 오른쪽으로 직선을 그으면 y축과 3에서 만나요. 점 P의 x좌표는 -2, y좌표는 3이므로 답은 ② P(-2, 3)입니다.

[중등수학/중1 수학] - 순서쌍과 좌표, 좌표평면

6. 민지네 반 학생 30명이 1학기 동안 읽은 책 수를 나타낸 도수분포표이다. 책을 6권 이상 읽은 학생 수는?
① 12명     ② 14명     ③ 16명     ④ 18명

도수분포표는 계급을 나누고 그 계급에 해당하는 도수를 적은 표에요.

6권 이상을 읽은 학생 수를 구하려면 왼쪽 계급이 6 이상인 6 이상 ~ 8 미만, 8 이상 ~ 10 미만 두 계급에 해당하는 도수를 더해야죠.

11 + 7 = 18(명)

답은 ④번이네요.

[중등수학/중1 수학] - 도수분포표, 변량, 계급, 계급값, 도수
[중등수학/중1 수학] - 도수분포표 만드는 법

7. 원 O에서 AOB = 30°, 호 AB = 6cm, 호 CD = 24cm일 때, x의 크기는?
① 120°     ② 130°    ③ 140°     ④ 150°

원 O위에 호 AB와 호 CD가 있어요. 하나의 원에서 호의 길이는 중심각의 길이에 비례해요.

(호 AB의 길이) : (호 AB의 중심각) = (호 CD의 길이) : (호 CD의 중심각)

6: 30 = 24 : x
6 × x = 30 × 24
x = 30 × 24 ÷ 6
x = 30 × 4
x = 120(°)

따라서 답은 ①번입니다.

[중등수학/중1 수학] - 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각

8. a² × b³ × a⁴ × b⁵를 간단히 하면?
① a³b⁵     ② a⁴b⁶     ③ a⁵b⁷     ④ a⁶b⁸

지수법칙을 이용해서 식을 간단히 하는 문제입니다. 식을 간단히 하려면 한 가지 중요한 게 있어요. 밑이 같아야 하고 곱하기 혹은 나누기여야만 하는 거죠. 밑이 다르면 지수법칙을 적용할 수 없어요.

문제에는 a, b라는 서로 다른 문자가 밑으로 되어 있어서 a끼리만, b끼리만 지수법칙을 적용할 수 있겠네요.

a² × b³ × a⁴ × b⁵
= (a² × a⁴) × (b³ × b⁵)    (∵곱셈에 대한 교환, 결합법칙)
= a^{2 + 4} × b^{3 + 5}           (∵ 지수법칙)
= a⁶ × b⁸
= a⁶b⁸                        (∵ 곱셈기호 생략)

답은 ④번이네요.

[중등수학/중2 수학] - 지수법칙 - 곱셈, 거듭제곱
[중등수학/중2 수학] - 지수법칙 - 나눗셈, 괄호, 분수

9. 일차부등식 2x > 6의 해를 수직선 위에 나타내면?

일차부등식의 해를 구하는 방법은 일차방정식의 해를 구하는 것과 비슷해요. 좌변에 미지수, 우변에 상수항이 오도록 이항하고 동류항 정리한 다음에 양변을 미지수의 계수로 나누는 거지요. 다만 마지막에 미지수의 계수로 양변을 나눌 때 미지수의 계수가 음수면 부등호의 방향이 바뀌어야 해요.

2x > 6
= x > 3

일차방정식의 해를 수직선에 나타낼 때, 미지수가 숫자보다 크면 선을 오른쪽으로, 미지수가 숫자보다 작으면 선을 왼쪽으로 그어요. 그리고 부등호에 등호가 들어있는지도 확인해야 하죠.

x > 3이므로 선은 3보다 오른쪽으로 그어져야 하고, 등호가 들어있지 않으므로 점을 까맣게 칠하지 않고 그냥 하얗게 둔 ①번이 답이네요.

[중등수학/중2 수학] - 일차부등식의 풀이

10. 그림은 일차함수 y = x - 2의 그래프이다. 이 그래프가 점 (5, a)를 지날 때, a의 값은?
① 2     ② 3     ③ 4     ④ 5

일차함수가 어떤 점을 지난다면 그 점의 좌표를 일차함수 식에 대입했을 때 참이어야 해요. y = x - 2가 (5, a)를 지나므로 x = 5, y = a를 대입하면 참이어야 하죠.

y = x - 2
a = 5 - 2
a = 3

a = 3이므로 ② 3이 답이네요.

[중등수학/중2 수학] - 일차함수의 그래프

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수학방 블로그의 글을 모아 처음으로 책을 낸 게 벌써 2년이 넘었네요. [기타] - 수학방 책이 나왔습니다.

책을 쓴 어엿한 저자라는 자부심을 느낄 수 있었고, 블로그를 다른 영역으로 확장할 수 있다는 것을 알게 되었던 재미있는 경험이었습니다.

그러다 얼마전에 퍼플 관리자로부터 2학기를 맞아 교보문고 퍼플에서 출판한 교재들을 소개하려고 하는데 그 중 수학방의 중고등수학 시리즈도 함께 하면 좋겠다고 메일을 받았습니다.

별건 아니고 그냥 정말 간단하게 5개 정도 문항에 답하는 형식이죠. 그렇게 인터뷰했던 게 교보문고 퍼플의 네이버 포스트에 실렸습니다.

수학 포기하지 마요. 친절한 수학 교재 "수학방의 중고등수학"

특별한 내용은 없고, 블로그와 책 출판에 대한 얘기들입니다. 어떤 문항은 블로그 포스트에 몇 번 쓴 적이 있기도 한 건데 여기저기 흩어져 있는 걸 한 군데 모아놓고 조금 정리한 거예요.

시간날 때 한 번 읽어보시고, 수학방의 중고등수학 책 홍보도 좀 해주세요. ㅎ

수학방의 중고등수학이 교보문고 퍼플 교재 열전 vol 1.이니까 앞으로 다른 교재들도 많이 소개될 것 같아요. 그 외에도 교보문고 퍼플의 네이버 포스트에는 퍼플 사용법과 저작권 정보 등 다른 다양한 이야기들이 많으니까 한 번 봐두시면 도움이 될 겁니다.

사교육 걱정없는 세상이라는 단체에서 수포자들을 위한 소책자를 발간했습니다. 웃어라. 수포자!이라는 책으로 수포자들에게 수학을 어떤 방향으로 어떻게 공부해야 하는지 큰 그림을 그릴 수 있도록 도와주는 내용이에요. 소책자라서 구체적인 방법까지 들어있진 않고, 담론 수준이긴 하지만 무시할 만한 내용은 아닙니다.

현직 수학 교사와 학원 원장, 강사, 수학과 교수 등 여러 사람이 함께 만든 책이라서 내용은 의심할 필요가 없어요. 학생들이나 학부모님들이 꼭 읽어봤으면 하는 마음에 소개해봅니다.

아래는 책의 주요 내용입니다.

1. 학원에 보냈더니 수학 성적이 오르던데요?
2. 수학은 양이 많고 어려운 과목이라 선행학습이 필요한 것 아닌가요?
3. 초등학교 입학 전 두 자리 계산까지는 미리 해놔야 한다던데요?
4. 스토리텔링 수학을 대비하려면 학원에 가야 한다 덴데요?
5. 초등학교 때 연산 훈련을 많이 해놔야 시험을 잘 볼 수 있잖아요?
6. 수학은 한 번 뒤처지면 따라잡을 수 없다던데요?
7. 수학을 잘하면 영재교육원이나 영재학교에 보내야 한다면서요?
8. 중학교 수학부터는 부모도 손을 못 댄다면서요?
9. 수학은 속도전이라 공식 암기가 필수라던데요?
10. 고등학교 수학만큼은 선행학습 안 하면 안 된다던데요?
11. 수학 문제집을 여러 권 풀어봐야 입시에서 유리하잖아요?
12. 수학을 못 해도 살아가는 데 별 불편이 없던데요?

개인적으로도 책 내용은 구구절절이 옳은 얘기라고 생각합니다. 하지만 현실에서 적용하기에는 부담스러운 방법들이죠. 방법이 나빠서가 아니라 이제까지 우리가 해왔던 익숙한 방식이 아니거든요. 모두가 다 알고 있는 건데 실천하기가 조금 힘들죠.

책 제목처럼 본인이 수포자거나 수학에 자신이 없는 학생이라면, 수학 성적이 시원치 않은 자녀가 있는 학부모님이라면 꼭 한 번 읽어봤으면 좋겠습니다. 책 속에 있는 내용을 실천해 봐도 절대로 손해 보지 않을 겁니다. 하나 주의할 건 저 내용이 옳다고 해도 모든 학생에게 100% 다 옳다고 할 수는 없겠지요. 학생에 따라 공부 환경과 학습 목표에 따라 맞지 않을 수도 있으니 책 내용을 꼼꼼히 잘 읽어보고 판단하세요.

사교육 걱정없는 세상에서 여러 정보를 얻을 수 있으니까 가입하셔도 좋을 듯하네요.

"웃어라, 수포자!"는 전자책으로 볼 수도 있고, 종이책으로 살 수도 있어요. 어떤 형태로든 한 번쯤 꼭 읽어보세요.

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11. 직선 2x - y - 1 = 0과 평행이고 (0. 5)를 지나는 직선의 방정식은?
① y = -2x - 5     ② y = -x + 1
③ y = x + 1     ④ y = 2x + 5

어떤 직선이 다른 직선과 평행하려면 두 직선의 기울기가 같고, y절편이 달라요.

2x - y - 1 = 0
y = 2x - 1

기울기가 2이므로 구하려는 직선의 기울기도 2입니다.

기울기가 m이고, (x₁, y₁)을 지나는 직선의 방정식은 y - y₁ = m(x - x₁)이에요.

y - 5 = 2(x - 0)
y = 2x + 5

답은 ④번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 직선의 방정식, 직선의 방정식 구하기
[고등수학/고1 수학] - 두 직선의 위치관계 - 평행, 일치, 수직

12. 다음과 같이 중심이 (2, 1)이고, 원점을 지나는 원의 방정식은?

① (x - 2)² + (y - 1)² =     ② (x - 2)² + (y - 1)² = 5
③ (x - 1)² + (y - 2)² =      ④ (x - 1)² + (y - 2)²= 5

원의 중심이 (2, 1)이고 원점 (0, 0)을 지나므로 원의 중심에서 원점까지의 거리가 원의 반지름이에요.

r² = 1² + 2²
r² = 5

원의 중심이 C(a, b)이고, 반지름이 r인 원의 방정식은 (x - a)² + (y - b)² = r²이에요.

원의 중심이 (2, 1)이고 r² = 5이므로 공식에 넣어보면 원의 방정식은 (x - 2)² + (y - 1)² = 5입니다.

따라서 답은 ②번이네요.

[고등수학/고1 수학] - 원의 방정식, 원의 방정식 표준형

13. 좌표평면 위의 점 (-1, 0)을 x축 방향으로 5만큼, y축 방향으로 2만큼 평행이동한 점의 좌표는?
① (-6, -2)     ② (1, 5)     ③ (2, 6)     ④ (4, 2)

좌표평면 위의 점 P(x, y)를 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 점 P'의 좌표는 (x + a, y + b)예요. 점을 평행이동하면 이동한 만큼을 더해주는 거죠.

(-1, 0)를 x축 방향으로 5만큼, y축 방향으로 2만큼 평행이동했으니 각 좌표에 더해줘야겠네요.

(-1, 0) → (-1 + 5, 0 + 2) = (4, 2)

답은 ④번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 평행이동, 점과 도형의 평행이동

14. 연립부등식 의 영역을 좌표평면 위에 나타낸 것은? (단, 경계선은 제외)

연립부등식의 영역은 각 부등식을 만족하는 영역의 공통 부분이므로 각 부등식의 영역을 먼저 구해야 해요.

x² + y² < 4의 영역은 원의 방정식 x² + y² = 4를 경계로 나뉘는 영역 중 하나예요. 4가 더 크니까 영역을 바로 알 수도 있어요. 하지만 영역을 찾기가 어렵다면 원 위에 있지 않은 점(ex. 원점)을 부등식에 대입했을 때 식을 만족하면 그 점을 포함한 영역이 부등식의 영역인 거고, 아니라면 그 점을 포함하지 않은 다른 부분이 부등식의 영역인 거예요.

x² + y² < 4에 원점 (0, 0)을 대입하면 부등식을 만족하므로 x² + y² = 4에 의해 나뉘는 영역 중 원점이 있는 원의 안쪽 부분이 이 부등식의 영역입니다. 보기 그림 중에 ①번과 ②을 합친 게 이 부등식의 영역입니다.

y > x의 영역도 같은 방법으로 찾아요. y = x의 그래프를 그리면 두 영역으로 나뉘는데, y = x가 지나지 않는 (1, 0)이나 (0, 1) 같은 점을 대입해서 부등식의 영역을 찾을 수 있어요. (1, 0)을 대입하면 부등식을 만족하지 않으므로 (1, 0)을 포함하지 않는 영역이 y > x의 영역이네요. 보기 그림 중에 ①번과 ③을 합친 영역이죠.

각 부등식의 영역을 구했으니까 둘을 공통으로 만족하는 곳을 찾으면 되는데, ①번이 답이에요.

[고등수학/고1 수학] - 부등식의 영역 - y > f(x), y < f(x)
[고등수학/고1 수학] - 부등식의 영역 2 - f(x, y) > 0, f(x, y) < 0
[고등수학/고1 수학] - 연립부등식의 영역, 연립부등식의 영역 구하기

15. 그림과 같은 함수 f: X → Y에 대하여 f^-1(a) = 2를 만족하는 a의 값은? (단, f^-1는 f의 역함수)
① 1     ② 2     ③ 3     ④ 5

f^-1는 f의 역함수이므로 f(x) = y라면 f^-1(y) = x인 관계가 성립해요.

f^-1(a) = 2는 f(2) = a인 관계이므로 a = 3이네요. 답은 ③번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 역함수, 역함수 구하는 법

16. 분수함수 의 그래프가 다음과 같을 때, a의 값은?
① -2     ② -1     ③ 1     ④ 2

분수함수 의 특징 중 하나인 점근선을 구해보죠. x = 2, y = a예요. 문제에서 준 그래프에서 점근선을 구하면 x = 2, y = -1이므로 이걸 비교하면 a = -1인 걸 알 수 있어요.

답은 ②번이네요.

[고등수학/고1 수학] - 유리함수 2, 분수함수

17. 이차함수 y = x² - 2x + 5는 x = a에서 최솟값 4를 갖는다. a의 값은?
① 1     ② 2     ③ 4     ④ 6

범위가 실수 전체인 함수는 최댓값과 최솟값 중 하나를 갖는데, 그 값은 꼭짓점에서 생겨요. 꼭짓점을 구하기 쉽게 모양을 표준형으로 바꿔보죠.

y = x² - 2x + 5
y = (x² - 2x) + 5
y = (x² - 2x + 1 - 1) + 5
y = (x - 1)² + 4

꼭짓점이 (1, 4)이고 아래로 볼록한 이차함수이므로 x = 1일 때 y = 4를 최솟값으로 갖네요.

답은 ①입니다.

[고등수학/고1 수학] - 이차함수의 최댓값과 최솟값, 이차함수의 최대, 최소
[고등수학/고1 수학] - 이차함수의 최대, 최소와 이차함수 최대, 최소의 활용

18. 그림과 같이 반지름의 길이가 3cm, 호의 길이가 cm인 부채꼴의 넓이는?

반지름이 r이고, 중심각의 크기가 θ인 부채꼴 호의 길이를 l, 넓이를 S라고 하면
l = rθ
S = r²θ = rl

이 공식에 반지름과 호의 길이를 그대로 대입해보죠.

 = π(cm²)

답은 ③번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 부채꼴 호의 길이와 넓이, 호도법 이용

19. 그림과 같이 원점 O와 P(-1, 1)을 지나는 동경 OP가 지나는 각을 θ라고 할 때, tanθ의 값은?
① -    ② -1     ③ 1     ④ 

일단 θ가 제2사분면위의 각이므로 tanθ는 (-)예요.

tanθ =  = -1

답은 ②번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 일반각, 시초선, 동경, 양의 각, 음의 각, 사분면의 각
[고등수학/고1 수학] - 삼각함수의 뜻, 삼각함수의 정의, sin, cos, tan, 삼각함수 값의 부호

20. 그림과 같이 세 종류의 과일과 두 종류의 채소가 있다. 정민이가 한 종류의 과일과 한 종류의 채소를 섞어 주스를 만들려고 한다. 과일과 채소에서 각각 한 종류씩 선택할 수 있는 경우의 수는?
① 4     ② 6     ③ 8     ④ 10

과일을 선택하는 사건과 채소를 선택하는 사건은 두 사건 모두 일어나야 하는 사건이므로 이 두 사건 모두가 일어나야 하는 경우의 수는 곱의 법칙을 이용해서 구할 수 있어요.

세 종류의 과일 중 하나를 선택할 수 있는 경우의 수는 3가지, 두 종류의 채소 중 하나를 선택할 수 있는 경우의 수는 2가지네요.

3 × 2 = 6(가지)

답은 ②번이네요.

[고등수학/고1 수학] - 합의 법칙, 곱의 법칙

1. 두 집합 A, B에 대하여 A ∩ B = Φ인 것은?
① A = {1, 3}, B = {2, 4, 6}
② A = {a, b, c}, B = {c, d, e}
③ A = {1, 2, 4}, B = {x|x는 6의 약수}
④ A = {x|x는 5 이하의 짝수}, B = {1, 2, 3}

A ∩ B = Φ는 집합 A와 B 사이에 공통으로 들어있는 원소가 하나도 없다는 뜻이니까 공통된 원소가 있는지 없는지 찾아보면 되겠네요.

보기에 있는 집합의 원소를 모두 원소나열법으로 표시해서 공통 원소가 있는지 확인해보죠.

① A = {1, 3}, B = {2, 4, 6}이므로 공통된 원소가 하나도 없네요. A ∩ B = Φ
② A = {a, b, c}, B = {c, d, e}로 양쪽 모두에 c가 들어있으므로 A ∩ B = {c}
③ A = {1, 2, 4}, B = {1, 2, 3, 6}으로 양쪽에 1, 2가 공통으로 들어있어요. A ∩ B = {1, 2}
④ A = {2, 4}, B = {1, 2, 3}으로 양쪽에 2가 공통으로 들어있어요. A ∩ B = {2}

따라서 답은 ①번입니다.

[고등수학/수학 2] - 교집합과 합집합

2.  다음 중 참인 명제는?
① 1 + 2 > 5이다.
② x + 3 = 5이다.
③ x = 2이면 2x = 4이다.
④ 2의 배수는 4의 배수이다.

① 1 + 2 = 3 < 5이므로 틀린 명제죠.
②는 미지수 x가 있어서 x에 따라 참, 거짓이 달라지니까 명제가 아니라 조건이에요.
③도 ②번처럼 미지수 x가 있지만, x가 정해져 있어서 x가 달라지지 않죠. 그래서 조건이 아니라 명제예요. x = 2이면 2x = 4는 참인 명제네요.
④에서 6, 10 등은 2의 배수지만 4의 배수는 아니므로 반례가 존재합니다. 따라서 거짓인 명제예요.

답은 ③번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 명제와 조건, 진리집합, 조건의 부정
[고등수학/고1 수학] - 명제의 참, 거짓, 반례

3. 두 실수 x, y에 대하여 (x - 3) + (y + 2)i = 0이 성립할 때, x + y의 값은? (단, i = )
① -5     ② -1     ③ 1     ④ 5

어떤 두 복소수가 같으려면 실수 부분끼리 같고, 허수 부분끼리 같아야 하죠. 그런데, 0 = 0 + 0i이므로 어떤 복소수가 0과 같다면 실수 부분 = 0, 허수 부분 = 0이에요.

(x - 3) + (y + 2)i = 0
x - 3 = 0, y + 2 = 0

x = 3, y = -2

x + y = 3 - 2 = 1

답은 ③번이네요.

[고등수학/고1 수학] - 복소수, 허수와 허수단위

4. 두 다항식 A = x² + 1, B = -x - 1에 대하여 A + B는?
① x     ② x + 2     ③ x² - 2     ④ x² - x

A + B에 두 다항식을 대입해서 동류항끼리 계산하면 되는 문제입니다.

A + B
= (x² + 1) + (-x - 1)
= x² - x

답은 ④번이네요.

[고등수학/고1 수학] - 다항식의 덧셈과 뺄셈, 다항식의 곱셈

5. 다음 중 x에 대한 항등식은?
① x = 1
② 2x² - x = 0
③ (x + 2)² = 2x + 5
④ x(x + 2) = x² + 2x

항등식은 미지수가 있는 식 중에서 미지수에 어떤 값은 대입해도 항상 참인 등식을 말해요.

양변에서 모든 동류항의 계수가 서로 같으면 항등식이라고 할 수 있어요. ax² + bx + c = a'x² + b'x + c'일 때, a = a', b = b', c = c'이면 항등식이죠.

① x = 1은 미지수 x가 1일 때만 참인 방정식이에요.

② 2x² - x = 0에서 좌변의 이차항 계수는 2, 우변의 이차항의 계수는 0으로 서로 다르므로 다른 항은 비교할 것도 없이 항등식이 아니에요. 방정식입니다.

③ (x + 2)² = 2x + 5
x² + 4x + 4 = 2x + 5
위와 마찬가지로 좌변의 이차항의 계수는 1이고, 우변의 이차항의 계수는 0으로 서로 다르므로 항등식이 아니에요. 방정식입니다.

④ x(x + 2) = x² + 2x
x² + 2x = x² + 2x
양변에서 이차항의 계수는 1, 일차항의 계수는 2로 모든 동류항의 계수가 서로 같으므로 이 식은 항등식이네요.

따라서 답은 ④번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 항등식과 항등식의 성질

6.  = 2일 때, 의 값은?
① 1     ② 2     ③ 3     ④ 4

곱셈공식의 변형 공식에 그대로 대입하면 되는 문제입니다.

답은 ②번이네요.

[고등수학/고1 수학] - 고1 곱셈공식의 변형, 곱셈공식의 변형 유도

7. 이차방정식 x² + 2x + m - 3 = 0이 중근을 가질 때, 실수 m의 값은?
① 0     ② 2     ③ 4     ④ 6

이차방정식이 중근을 가지면 판별식 D = 0이에요.

이차방정식 ax² + bx + c = 0의 판별식 D = b² - 4ac
2² - 4 × 1 × (m - 3) = 0
4 - 4m + 12 = 0
4m = 16
m = 4

답은 ③번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 이차방정식의 판별식, 실근, 허근

8. 연립방정식 의 해가 x = a, y = b, z = 1일 때, a - b의 값은?
① 2     ② 4     ③ 6     ④ 8

원래는 연립방정식의 해를 구해야 하는데, z = 1이라는 걸 알려줬으니까 굳이 연립방정식의 기본 풀잇법대로 풀 필요가 없네요.

세 식 중 z가 들어있는 식에 z = 1을 대입해보죠.

y + z = 3
y + 1 = 3
y = 2

z + x = 5
1 + x = 5
x = 4

x - y = a - b = 4 - 2 = 2

답은 ①번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 연립방정식 - 미지수가 3개인 연립일차방정식

9. 이차방정식 x² - 5x + 4 ≤ 0을 만족하는 자연수 x의 개수는?
① 1     ② 2     ③ 3     ④ 4

x² - 5x + 4 ≤ 0
(x - 1)(x - 4) ≤ 0
1 ≤ x ≤ 4

1이상 4이하의 자연수는 1, 2, 3, 4로 네 개네요. 따라서 답은 ④번입니다.

[고등수학/고1 수학] - 이차부등식, 이차부등식의 해
[고등수학/고1 수학] - 이차부등식의 풀이, 판별식과 이차부등식의 해

10. 좌표평면 위의 두 점 A(-2, 0), B(4, 6)에 대하여 선분 AB의 중점의 좌표는?
① (-1, 1)     ② (0, 2)     ③ (1, 3)     ④ (2, 4)

두 점 A(a, b), B(c, d)일 때 선분 AB의 중점의 좌표 M이에요. 두 직선을 1 : 1로 내분하는 점이니까요.

 = 1

 = 3

답은 ③ (1, 3)이네요.

[고등수학/고1 수학] - 선분의 내분점과 외분점 공식 1 - 수직선

11. 선생님이 소설 4권과 시집 3권을 추천해 주셨다. 이 중 한 권의 책을 선택할 경우의 수는? (단, 모든 책은 서로 다르다.)
① 4     ② 5     ③ 6     ④ 7

전체 7권의 책 중에서 1권을 고르는 경우이므로 7가지입니다.

답은 ④번이네요.

[중등수학/중2 수학] - 경우의 수, 합의 법칙, 곱의 법칙

12. 그림과 같은 평행사변형 ABCD에서 ∠x의 크기는?
① 30°     ② 35°     ③ 40°     ④ 45°

평행사변형에서 두 대각의 크기는 같아요. 그러므로 ∠B = ∠D = 60°

삼각형 내각의 크기의 합은 180°이므로
(?ACD의 내각의 크기의 합) = ∠x + ∠C + ∠D
180° = ∠x + 80° + 60°
x = 40°

답은 ③ 40°네요.

[중등수학/중2 수학] - 평행사변형의 성질, 평행사변형의 특징
[중등수학/중1 수학] - 삼각형 내각의 합과 외각의 크기, 외각의 합

13. 그림과 같이 큰 정사각형의 각 변을 3등분하여 작은 정사각형 9개를 만들었다. 두 정사각형의 닮음비가 3 : 1일 때, 넓이의 비는?
① 3 : 1     ② 6 : 1     ③ 8 : 1     ④ 9 : 1

정사각형은 닮은 도형이죠? 닮은 도형의 넓이의 비는 닮음비 제곱의 비예요.

닮음비 3 : 1 → 넓이의 비 3² : 1² = 9 : 1

답은 ④번입니다.

[중등수학/중2 수학] - 닮은 도형의 넓이의 비와 부피의 비 1

14. 그림과 같은 두 직사각형의 넓이의 합은?
① 3cm² ② 5cm²     ③ 8cm²     ④ 15cm²

(왼쪽 직사각형의 넓이) = 3 × = 3
(오른쪽 직사각형의 널이) = 5 ×  = 5

제곱근을 포함한 수를 더할 때는 근호에 싸여있는 제곱근을 문자취급해서 마치 동류항 계산하듯이 하면 돼요.

3 + 5 = (3 + 5) = 8

답은 ③번입니다.

[중등수학/중3 수학] - 제곱근의 덧셈과 뺄셈

15. 직사각형 모양의 사진이 있다. 사진의 넓이는 x² + 4x + 3이고 세로의 길이는 x + 1일 때, 가로의 길이는?
① x + 1     ② x + 2     ③ x + 3     ④ x + 4

(직사각형의 넓이) = (세로 길이) × (가로 길이)
x² + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)

세로 길이가 x + 1이므로 가로 길이는 x + 3입니다. 답은 ③번이네요.

[중등수학/중3 수학] - 인수분해 공식 두 번째

16. 이차방정식 (x + 2)(x - 2) = 0의 두 근의 곱은?
① -4     ② 0     ③ 2     ④ 4

(x + 2)(x - 2) = 0
x = -2 or 2

두 근이 ±2이므로 두 근의 곱은 -4

답은 ①번입니다.

[중등수학/중3 수학] - 인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이

17. 이차함수 y = (x - 1)² - 4의 그래프에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?
① 아래로 볼록하다.     ② 최솟값은 -4이다.
③ 점(0, -3)을 지난다.     ④ 꼭짓점의 좌표는 (1, 4)이다.

y = (x - 1)² - 4
y = x² - 2x - 3

이차항의 계수가 양수이므로 그래프는 아래로 볼록이에요.

그래프에서 가장 아래에 있는 점의 좌표는 (1, -4)로 이차함수의 최솟값은 -4고요.

x = 0일 때, y = -3이므로 점 (0, -3)을 지나요. y절편

꼭짓점의 좌표는 (1, 4)가 아니라 (1, -4)죠. 틀렸네요.

답은 ④번입니다.

[중등수학/중3 수학] - 이차함수 그래프 그리기
[중등수학/중3 수학] - 이차함수 그래프의 특징 [중등수학/중3 수학] - y = ax² + bx + c의 그래프, 이차함수 일반형

18. 그림은 높이가 12cm, 모선의 길이가 13cm, 반지름의 길이가 xcm인 원뿔이다. x의 값은?
① 4     ② 5     ③ 6     ④ 7

높이와 모선, 반지름을 이으면 직각삼각형이에요. 피타고라스의 정리를 이용해보죠.

x² + 12² = 13²
x² = 13² - 12²
x² = (13 + 12)(13 - 12)
x² = 25
x = ±5

반지름 x는 길이이므로 x = 5(cm, x > 0)

답은 ② 5입니다.

[중등수학/중3 수학] - 피타고라스의 정리, 피타고라스의 정리 증명

19. 그림과 같이 ∠C = 90°인 직각삼각형 ABC에서 sinB의 값은?
①      ②      ③      ④ 

sin은 기준각을 중심으로 이므로 답은 ③번입니다.

[중등수학/중3 수학] - 삼각비, sin, cos, tan

원주각은 중심각의 절반이지요. 특히 지름의 원주각은 90°이므로 ∠APB = 90°

삼각형 내각의 합은 180°이므로
(△ABP 내각의 합) = ∠PAB + ∠PBA + ∠APB
180° = ∠x + 55° + 90°
∠x = 35°

답은 ④ 35°입니다.

[중등수학/중3 수학] - 원주각과 중심각의 크기, 원주각의 성질

1. (-2) × (+3)의 값은?
① -6     ② -1     ③ 1     ④ 6

두 정수의 곱셈 문제네요. 정수의 곱셈에서는 음수의 개수가 홀수면 결과의 부호는 (-), 음수의 개수가 짝수면 결과의 부호는 (+)지요. 그리고 숫자는 절댓값의 곱이고요. 음수의 개수가 1개로 홀수니까 결과의 부호는 (-)고, 두 수의 절댓값의 곱은 2 × 3 = 6입니다.

따라서 답은 ① -6이네요.

[중등수학/중1 수학] - 정수의 곱셈, 곱셈에 대한 교환법칙, 결합법칙

2. 54를 소인수분해하면 2 × 3^a이다. 이때, a의 값은?
① 1     ② 2     ③ 3     ④ 4

54 = 2 × 3³으로 a = 3이므로 답은 ③ 3입니다.

[중등수학/중1 수학] - 소인수분해, 소인수분해 하는 법, 소인수 뜻

3. x = 2일 때, 3x - 2의 값은?
① 3     ② 4     ③ 5     ④ 6

x = 2를 3x - 2의 x 자리에 대입하는 문제네요.

3x - 2
= 3 × 2 - 2
= 4

답은 ② 4네요.

[중등수학/중1 수학] - 대입, 식의 값

4. 한 개에 1,200원 하는 음료수 2개와 한 개에 700원인 과자 몇 개를 구입한 금액이 4, 500원이었다. 구입한 과자의 개수는?
① 2     ② 3     ③ 4     ④ 5

한 개에 1,200원하는 음료수 2개의 값은 1200 × 2 = 2400(원)
한 개에 700원하는 과자의 개수를 x개라고 하면 과자의 값은 700x(원)

2400 + 700x = 4500
24 + 7x = 45
7x = 21
x = 3

구입한 과자의 개수가 3개이므로 답은 ② 3입니다.

[중등수학/중1 수학] - 문자와 식, 문자를 포함한 식
[중등수학/중1 수학] - 일차방정식의 풀이, 일차방정식의 뜻, 이항

5. 좌표평면 위의 두 점 P, Q의 좌표로 옳은 것은?
① P(-2, 0), Q(2, 3)     ② P(-2, 0), Q(3, 2)     ③ P(0, -2), Q(2, 3)     ④ P(0, -2), Q(3, 2)

점 P는 x축 위의 -2와 만나므로 x좌표는 -2고, 점  P에서 오른쪽으로 선을 그어보면 y축 위의 0과 만나므로 y좌표는 0이에요.  P(-2, 0)

점 Q에서 x축으로 선을 그으면 3과 만나니까 x좌표는 3이고, y축으로 선을 그으면 2와 만나므로 y좌표는 2에요. Q(3, 2)

따라서 답은 ②번입니다.

[중등수학/중1 수학] - 순서쌍과 좌표, 좌표평면

6. 그림은 20개 도시에서 미세먼지 농도를 조사하여 나타낸 히스토그램이다. 미세먼지가 40㎍/m³인 도시의 개수는?
① 1     ② 3     ③ 5     ④ 6

40㎍/m³이상인 도시의 개수니까 40이상 50미만, 50이상 60미만인 도시들의 개수를 더해야겠네요. 40이상 50미마인 도시의 개수는 5개, 50이상 60미만인 도시의 개수는 1개로 둘을 더하면 6개입니다.

따라서 답은 ④ 6입니다.

[중등수학/중1 수학] - 히스토그램과 히스토그램의 특징, 히스토그램 그리기

7. 그림의 삼각형 ABC에서 ∠A = 80°, ∠B = 40°일 때, ∠x의 크기는?
① 80°     ② 100°     ③ 120°     ④ 140°

삼각형 한 외각의 크기는 다른 두 내각의 크기의 합과 같아요.

∠x는 ∠C의 외각이므로 다른 두 내각 ∠A, ∠B의 합과 같아요.
∠x = ∠A + ∠B = 80° + 40° = 120°

따라서 답은 ③번입니다.

[중등수학/중1 수학] - 삼각형 내각의 합과 외각의 크기, 외각의 합

8. 연립방정식 을 풀면?
① x = -4, y = 5 ② x = -3, y = 7     ③ x = -2, y = 9     ④ x = -1, y = 3

연립방정식을 푸는 문제인데, x 계수의 절댓값이 같고 부호가 반대니까 두 식을 더해보죠.

2x + 3y = 7 … ①
-2x + y = 13 … ②

① + ②
4y = 20
y = 5 … ③

③식을 ②식에 대입해보죠.
-2x + 5 = 13
2x = -8
x = -4

따라서 답은 ① x = -4, y = 5입니다.

[중등수학/중2 수학] - 연립방정식의 풀이법 - 가감법 1

9.  일차부등식 x + 3 > 6의 해를 수직선 위에 옳게 나타낸 것은?

x + 3 > 6
x > 3

일단 3을 기준으로 하는데 x가 3보다 크니까 오른쪽으로 향해야 겠네요. 그리고 부등호에 등호(=)가 없으므로 해를 나타내는 동그라미 가운데는 비워둬야 하고요.

따라서 답은 ①번입니다.

[중등수학/중2 수학] - 일차부등식의 풀이

10. 다음은 일차함수 y = 2x + a의 그래프이다. a의 값은?
① 1     ② 2     ③ 3     ④ 4

y = 2x + a에서 a는 일차함수의 y절편과 값이 같아요. 그래프가 y축과 만나는 점이 2이므로 a = 2입니다.

답은 ②번이네요.

[중등수학/중2 수학] - 그래프를 보고 직선의 방정식 구하기

지주연이 알려주는 인도 베다수학 증명에서 했던 글에 내용을 조금 더 추가했어요. 십의 자리가 같은 두 자리 자연수의 곱셈, 일의 자리 숫자가 같은 두 자리 자연수의 곱셈이었는데, 여기에는 한 가지씩 조건을 더 추가됐을 때, 베다수학을 이용해서 곱셈을 더 빨리할 수 있거든요.

증명하는 과정은 조금 귀찮을 수 있지만, 결론만 보면 정말 간단하니까 심심할 때 읽어보세요.

베다수학으로 곱셈 빨리하기

십의 자리 숫자가 같고, 일의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수의 곱

77 × 73을 그림으로 설명해볼까요?

원리는 기본적으로 앞서 지주연이 알려주는 인도 베다수학 증명했던 것과 같아요. 사각형 하나를 옮겨서 큰 사각형 1개, 작은 사각형 1개의 넓이를 이용하는 거지요. 그런데 여기서 일의 자리 숫자 3과 7을 더하면 10이잖아요. 그래서 10의 자릿수를 하나 올려주는 거예요. 70 + 7 + 3 = 70 + 10 = 80

사각형의 가로 길이가 간단해지는 효과를 얻었어요.

이번에는 그림이 아닌 수식을 이용해서 증명해보죠.

십의 자리가 같고 일의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수를 A = 10x + y, B = 10x + z(x ≠ 0인 자연수, y, z는 자연수, y + z = 10)이라고 해보죠.

AB
= (10x + y)(10x + z)
= 10²x² + 10xy + 10zx + yz
=10²x² + 10x(y + z) + yz
= 10²x² + 10²x + yz                   (∵y + z = 10)
= 10²x(x + 1) + yz

이게 식으로 증명하려니 조금 복잡해 보이는데, 제일 아래 줄만 보죠.

두 수 중 한 수의 십의 자리에 1을 더해서 다른 수의 십의 자리와 곱하고 거기에 두 수의 일의 자리 숫자를 연결 또는 합체(?)하면 된다는 거예요.

52 × 58을 계산해 볼까요? 두 수의 십의 자리 숫자가 5로 같고, 일의 자리 숫자를 더하면 10이죠? 2 + 8 = 10

십의 자리 숫자 5에 1을 더한 6에 십의 자리 숫자 5를 곱하면 6 × 5 = 30이에요. 여기에 일의 자리를 곱한 2 × 8 = 16을 연결하면 52 × 58 = 3016을 얻을 수 있어요.

한 단계씩 나눠서 보죠.

1. 십의 자리 숫자 5에 1을 더해줍니다. 5 + 1 = 6
2. ①의 결과에 숫자가 같은 십의 자리 숫자를 한 번 곱해줍니다. 6 × 5 = 30
3. 숫자가 다른 일의 자리 숫자를 곱해요. 2 × 8 = 16
   
4. ②, ③의 결과를 연결합니다. 30 & 16 = 3016

일의 자리 숫자가 같고, 십의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수의 곱

이번에는 일의 자리가 같고 십의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수의 곱을 알아보죠.

두 자연수를 A = 10x + z, B = 10y + z(x, y ≠ 0인 자연수, z는 자연수, x + y = 10)이라고 해보죠.

AB
= (10x + z)(10y + z)
= 10²xy + 10zx + 10yz + z²
= 10²xy + 10z(x + y) + z²
= 10²(xy + z) + z²       (∵ x + y = 10)

중간은 복잡하니까 마지막 줄만 볼까요.

두 수의 십의 자리를 곱하고 거기에 일의 자릿수를 더해요. 그리고 일의 자릿수를 제곱해서 연결 또는 합체(?)하는 거죠.

37 × 77을 풀어보죠.

두 수의 십의 자리를 곱하면 3 × 7 = 21인데 여기에 일의 자리 7을 더하면 28이에요. (3 × 7 + 7) = 28. 여기에 일의 자릿수의 제곱 7 × 7 = 49를 연결하면 2849가 나와요.

한 단계씩 나눠서 보죠.

1. 서로 다른 십의 자리 숫자를 곱해줍니다. 3 × 7 = 21
2. ①의 결과에 숫자가 같은 일의 자리 숫자를 한 번 더해줍니다. 21 + 7 = 28
3. 숫자가 같은 일의 자리 숫자를 곱해요. 7 × 7 = 49
   
4. ②, ③의 결과를 연결합니다. 28 & 49 = 2849

다음 계산을 하여라.
(1) 81 × 89
(2) 19 × 99

(1)번은 십의 자리 숫자 같고, 일의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수의 곱이네요.

1. 십의 자리 숫자 8에 1을 더해줍니다. 8 + 1 = 9
2. ①의 결과에 숫자가 같은 십의 자리 숫자를 한 번 곱해줍니다. 9 × 8 = 72
3. 숫자가 다른 일의 자리 숫자를 곱해요. 1 × 9 = 09
4. ②, ③의 결과를 연결합니다. 72 & 09 = 7209

(2)번은 일의 자리 숫자가 같고, 십의 자리 숫자의 합이 10인 두 자리 자연수의 곱이네요.

1. 서로 다른 십의 자리 숫자를 곱해줍니다. 1 × 9 = 9
2. ①의 결과에 숫자가 같은 일의 자리 숫자를 한 번 더해줍니다. 9 + 9 = 18
3. 숫자가 같은 일의 자리 숫자를 곱해요. 9 × 9 = 81
4. ②, ③의 결과를 연결합니다. 18 & 81 = 1881

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보통 한 단원을 공부할 때는 앞에서 공부하지 않았던 새로운 내용을 공부해요. 그런데 그게 완전히 생뚱맞게 새로운 내용은 아니에요. 앞에서 공부했던 것에 조금 추가하는 거지요. 그런데 많은 학생은 그 연관관계를 이해는 걸 상당히 어려워하죠.

이 글에서는 방정식이라는 식이 어떻게 바뀌는지 알아볼 거예요. 그러면 그 식의 관계에 대해서 더 잘 이해할 수 있고, 문제를 풀거나 내용을 이해하는 데 훨씬 더 도움이 되지요. 아주 중요한 내용입니다. 꼭 읽어보세요.

방정식의 변화

공부하는 식의 종류에는 여러 가지가 있어요. 방정식, 부등식, 함수 등이 있죠.

방정식을 어떤 순서로 공부했나요? 중학교 1학년 때는 일차방정식, 2학년 때는 연립방정식, 3학년 때는 이차방정식, 고등학교 1학년 때는 삼차, 사차 등의 고차방정식과 연립이차방정식을 공부해요.

학년이 올라갈수록 차수가 늘어나거나 식의 개수가 늘어나죠. 그래서 문제를 푸는 방법도 어려워져요. 그런데 이게 단순히 똑같은 범주의 방정식인 건만은 아니에요.

일차방정식을 하나 풀어보죠.

5 + 3x = x + 7
3x - x = 7 - 5
2x = 2
x = 1

등식의 성질을 이용해서 일차방정식을 풀었어요.

이번에는 연립방정식을 풀어보죠.

위의 식을 ①식, 아래 식을 ②식이라고 하면,

①식 + ②식
2x = 8
x = 4

①식 - ②식
2y = 2
y = 1

두 식을 더했더니 2x = 8이라는 식이 나왔죠? 이 식은 이 식은 미지수가 x뿐인 일차방정식이에요. 미지수가 2개인 연립방정식의 두 식을 더했더니 미지수가 1개인 일차방정식으로 식이 바뀌었어요.

두 식을 빼면 2y = 2라는 y에 대한 일차방정식이 나와요. 마찬가지로 미지수가 2개인 연립방정식이 미지수가 1개인 일차방정식으로 바뀌었죠.

두 식을 더하거나 빼서 연립방정식을 일차방정식으로 바꾸는 게 연립방정식 풀이의 핵심이에요.

이차방정식도 풀어보죠.

x² - 5x + 6 = 0
(x - 2)(x - 3) = 0

x - 2 = 0 → x = 2
x - 3 = 0 → x = 3

x² - 5x + 6 = 0를 인수분해하면 (x - 2)(x - 3) = 0인데, 좌변이 일차식 두 개의 곱으로 되어 있어요. 이 일차식은 일차방정식이고, 여기서 미지수 x의 값을 구했어요.

이차방정식을 인수분해하니까 일차방정식 2개 되었죠? 차수가 2차에서 1차로 낮아졌어요.

인수분해해서 이차방정식을 일차방정식으로 바꾸는 게 이차방정식 문제 푸는 방법이죠. 근의 공식을 이용하는 건 제외로 하고요.

고차방정식과 연립이차방정식은 예시는 생략하죠. 삼차, 사차의 고차방정식도 인수분해를 하죠? 그러면 삼차방정식이 이차방정식이 되고, 이 이차방정식은 다시 바로 위에서 했던 것처럼 인수분해해서 일차방정식 2개로 바꾸는 거죠. 결국, 삼차방정식은 일차방정식 3개로 바꿔서 풀어요.

• 일차방정식은 그대로 풀고요.
• 연립방정식은 식을 더하고 빼서 일차방정식으로 모양을 바꿔서 풀어요.
• 이차방정식은 인수분해를 해서 일차방정식으로 모양을 바꿔서 풀어요.
• 삼차방정식은 인수분해해서 이차방정식으로 모양을 바꾸고, 이 이차방정식은 인수분해를 한 번 더 해서 일차방정식으로 모양을 바꿔서 풀어요.
• 사차, 오차도 계속 이런 식으로 풀죠.

우리가 문제를 푸는 건 그냥 이차방정식을 풀고, 연립방정식을 푸는 게 아니라 식의 형태를 우리가 기존에 알고 있는 식(일차방정식)으로 바꾸는 거예요.

연립방정식에서 두 식을 더하고 빼는 건 일차방정식으로 바꾸기 위해서예요. 이차방정식에서 인수분해를 하는 이유는 바로 인수분해를 해야 일차방정식으로 모양을 바꿀 수 있기 때문이죠. 인수분해를 왜 해야 하는지, 연립방정식의 두 식을 왜 더하고 빼야 하는지 이유를 알겠죠?

즉, 그 단원에서 실제로 공부하는 건 일차방정식으로 바꾸는 방법뿐이에요. 그 이후 과정인 일차방정식을 푸는 건 이미 알고 있는 거고요.

그러니까 방정식을 푸는 건 기본적으로 일차방정식의 풀이법 + 일차방정식으로 변환법이에요.

이곳 수학방에서 공부를 했던 분이라면 글 중간마다 차수가 낮아지고 미지수가 줄어드는 걸 설명한 부분이 꽤 많다는 걸 아실 거예요. 바로 일차방정식으로의 변환법을 다른 말로 하면 미지수의 개수와 식의 차수를 낮추는 방법이거든요.

일차방정식 따로 이차방정식 따로 있는게 아니라 그들의 관계를 이해하고 식이 어떻게 바뀌는지 이해하면 공부하는게 훨씬 더 쉬워질 거예요.

물론 이건 방정식에만 적용되는 건 아닙니다. 함수에도 다른 식에도 적용되는 거에요.

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지주연이 알려주는 인도 베다수학 증명, 설명에서 베다수학이 성립하는 이유를 도형과 수식을 이용해서 증명해봤어요. 이제는 이 베다수학을 이용해서 실제 계산을 해보면서 어떻게 적용하는지를 알아보죠.

베다수학은 이제까지 해보지 않은 새로운 방식이라서 약간 낯설긴 하지만 익숙해지면 암산을 빨리할 수 있는 괜찮은 방법이에요. 다만 모든 경우에 다 활용할 수 있는 건 아니고 특별한 조건을 갖추었을 때만 사용할 수 있으니 그 점까지 함께 알아두시면 될 것 같네요.

베다 수학 실전 활용

베다수학을 이용해서 곱셈할 수 있는 경우는 몇 가지가 있는데요. 여기서는 십의 자리 수가 같은 두 자리 자연수의 곱, 일의 자리 수가 같은 두 자리 자연수의 곱 이렇게 두 가지 경우를 알아보겠습니다.

십의 자리 숫자가 두 자리 자연수의 곱

십의 자리 숫자가 7로 같은 두 수의 곱을 그림으로 표시해봤어요.

두 자릿수 두 개의 곱이니까 총 4개의 숫자가 있는데요.

1. 숫자가 같은 십의 자리 수 하나를 뺀 나머지 수를 서로 더해줍니다. 77 + 3 = 80
2. ①의 결과에 값이 같아서 ①에서 뺐던 십의 자리 숫자를 곱해요. 80 × 70 = 5600
3. 십이 자리는 같으니까 그냥 두고 서로 다른 일의 자리 숫자를 곱해요. 7 × 3 = 21
4. ②, ③의 결과를 더 해줍니다. 5600 + 21 = 5621

일의 자리가 같은 두 자리 자연수의 곱

이번에는 일의 자리가 같은 두 자리 자연수의 곱을 알아보죠.

1. 숫자가 같은 일의 자리 수를 하나 뺀 나머지 수들만 서로 더해줍니다. 37 + 70 = 107
2. ①의 결과에 값이 같아서 ①에서 뺐던 일의 자리 숫자를 곱해요. 107 × 7 = 749
3. 일의 자리는 같으니까 그냥 두고 서로 다른 십의 자리 숫자를 곱해요. 30 × 70 = 2100
4. ②, ③의 결과를 더 해줍니다. 749 + 2100 = 2849

위에서 설명한 베다수학을 이용해서 다음 값을 구하여라.
(1) 57 × 53
(2) 86 × 46

(1)번은 십의 자리가 같은 두 자리 자연수의 곱이네요.

1. 숫자가 같은 십의 자리 수 하나를 뺀 나머지 수를 서로 더해줍니다. 57 + 3 = 60
2. ①의 결과에 값이 같아서 ①에서 뺐던 십의 자리 숫자를 곱해요. 60 × 50 = 3000
3. 십이 자리는 같으니까 그냥 두고 서로 다른 일의 자리 숫자를 곱해요. 7 × 3 = 21
4. ②, ③의 결과를 더 해줍니다. 3000 + 21 = 3021

(2)번은 일의 자리가 같은 두 자리 자연수의 곱이고요.

1. 숫자가 같은 일의 자리 수를 하나 뺀 나머지 수들만 서로 더해줍니다. 86 + 40 = 126
2. ①의 결과에 값이 같아서 ①에서 뺐던 일의 자리 숫자를 곱해요. 126 × 6 = 756
3. 일의 자리는 같으니까 그냥 두고 서로 다른 십의 자리 숫자를 곱해요. 80 × 40 = 3200
4. ②, ③의 결과를 더 해줍니다. 756 + 3200 = 3956

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