직선의 방정식, 직선의 방정식 구하기

직선의 방정식은 중학교 때 공부했던 직선의 방정식, 일차함수와 일차방정식에서 살짝 다뤄본 적이 있어요. 일차함수 그래프의 모양이 평면좌표에서 직선이기 때문에 직선의 방정식이라고 한다고 했죠.

직선의 방정식 구하기는 일차함수 식 구하기, 직선의 방정식 구하기와 방법이 같아요. 다만 이제는 조금 더 세련된(?) 방법으로 직선의 방정식을 구할 수 있어요.

공식이 여러 개 나오는데 어떻게 공식이 유도되는지 잘 보고 잊어버리지 않도록 외워두세요.

직선의 방정식 구하기

직선의 방정식은 일차함수와 모양이 같아요. y = ax + b 꼴이죠. 그러니까 직선의 방정식을 구한다는 말은 a, b를 구한다는 것과 같아요. a는 기울기, b는 y절편이죠?

여러 경우에 a, b를 어떻게 구하는지 방법을 알아보죠.

기울기와 y절편이 주어졌을 때 직선의 방정식 구하기

일차함수의 일반형 y = ax + b에서 기울기는 a, y절편이 b죠. 기울기와 y절편이 주어졌으면 이 내용을 거꾸로 해서 직선의 방정식을 바로 구할 수 있겠죠?

직선의 방정식 구하기 - 기울기와 y절편을 알 때

기울기가 m이고, y절편이 n인 직선의 방정식 ⇒ y = mx + n

기울기와 한 점의 좌표가 주어졌을 때 직선의 방정식 구하기

y = ax + b에서 a를 알려준 거예요. 그럼 b만 구하면 되죠? 알려준 기울기가 m이고, 한 점의 좌표가 A(x₁, y₁)라고 한다면 이 식에 대입해서 b를 구할 수 있어요.

y = ax + b
y₁ = mx₁ + b (∵ 기울기 m과 (x₁, y₁) 대입)
b = y₁ - mx₁

y = ax + b
y = mx + (y₁ - mx₁) (∵ 기울기 m과 b = y₁ - mx₁ 대입)
y - y₁ = mx - mx₁
y - y₁ = m(x - x₁)

직선의 방정식 구하기 - 기울기와 한 점의 좌표를 알 때

기울기가 m이고, 한 점(x₁, y₁)을 지나는 직선의 방정식 ⇒ y - y₁ = m(x - x₁)

두 점을 지나는 직선의 방정식 구하기

두 점의 좌표 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)를 알면 기울기를 구할 수 있어요.

m =

기울기를 구했네요. 그럼 기울기와 두 점의 좌표를 알게 되었어요. 위에서 했던 공식에 바로 대입해보죠.

y - y₁ = (x - x₁)

직선의 방정식 구하기 - 두 점의 좌표를 알 때

그런데 한 가지 생각해야 할 게 기울기 에서 x₁ = x₂라면 분모가 0이 되어버리죠? 그러니까 이 공식으로는 x₁ = x₂일 때 직선의 방정식을 구할 수 없어요.

x₁ = x₂일 때는 그래프를 보듯이 모든 x좌표가 x₁으로 같고, y축에 평행한 x = x₁이 돼요.

직선의 방정식 구하기 - 두 점의 좌표를 알 때 - 두 점의 x좌표가 같을 때

y₁ = y₂라면 어떨까요? 기울기가 0이겠죠? 모든 점의 y좌표가 y₁으로 같고, x축에 평행인 y = y₁이 돼요.

직선의 방정식 구하기 - 두 점의 좌표를 알 때 - 두 점의 y좌표가 같을 때

y - y₁ = (x - x₁)
y - y₁ = 0 (∵ y₁ = y₂)
y = y₁

공식을 이용해서 구할 수 있으니 굳이 따로 외울 필요는 없겠네요.

두 점 (x₁, y₁), (x₂, y₂)를 지나는 직선의 방정식
x₁ ≠ x₂일 때, y - y₁ = (x - x₁)
x₁ = x₂일 때, x = x₁

x절편과 y절편이 주어졌을 때 직선의 방정식 구하기

x절편의 좌표 (a, 0), y절편의 좌표 (0, b)이 주어졌다고 해보죠. x절편과 y절편도 두 점의 좌표에요. 그러니까 위의 두 점을 지나는 직선의 방정식 공식에 넣어보죠.

여기서 a, b가 분모니까 a와 b는 0이 아니에요. a, b 중 하나라도 0일 때는 두 점을 지나는 직선의 방정식 구하는 방법으로 구하세요. 참고로 a = b = 0이면 (0, 0)인 점 하나만 알려준 거라서 직선의 방정식을 구할 수 없어요.

직선의 방정식 구하기 - x, y절편을 알 때

x절편이 (a, 0), y절편이 (0, b)인 직선의 방정식 ⇒ (단, ab ≠ 0)

다음을 보고 직선의 방정식을 구하여라.
(1) 기울기가 3이고 y절편이 5인 직선
(2) 기울기가 2이고 (3, 5)를 지나는 직선
(3) 두 점 (2, 5), (4, 6)을 지나는 직선
(4) x절편이 (3, 0), y절편이 (0, 6)인 직선

(1)은 기울기와 y절편을 알려줬네요.

y = mx + n
y = 3x + 5

(2)는 기울기와 한 점의 좌표를 알려줬고요.

y - y₁ = m(x - x₁)
y - 5 = 2(x - 3)
y = 2x - 1

(3)은 두 점의 좌표를 알려줬네요. 두 점의 x좌표가 서로 다르니까 공식을 이용할 수 있어요.

(4)는 x,y 절편을 알려줬는데 둘 다 0이 아니에요. 공식에 대입해보죠.