이제 함수에 대해서는 다 알았나요? 이제는 원래 있던 함수를 이용해서 새로운 함수를 만들 거예요. 합성함수는 이름에서 알 수 있듯이 어떤 무언가를 서로 합해서 만든 함수에요. 그러니까 두 개 이상의 함수를 합하는 거지요.

함수의 정의만 제대로 알고 있다면 합성함수에 대해서도 금방 이해할 수 있을 거예요.

함성함수는 그림으로 이해해도 좋고, 식으로 이해해도 좋아요. 별로 어렵지 않은 내용으로 순서만 잘 지키면 금방 해결할 수 있는 문제들이니까 쉽게 생각하세요.

합성함수

세 집합이 있어요.

X = {유재석, 신동엽, 강호동, 김병만, 김구라}
Y = {무한도전, SNL, 우리 동네 예체능, 정글의 법칙, 라디오스타}
Z = {일, 월, 화, 수, 목, 금, 토}

집합 X의 임의의 원소인 출연자가 집합 Y의 원소인 프로그램에 출연하는 경우를 대응시켜보면 함수가 돼요. 이 함수를 f라고 해보죠.

집합 Y의 임의의 원소인 프로그램이 방영되는 요일을 집합 Z의 요일에 대응하면 이것도 함수가 되죠. 함수 g라고 할게요.

그럼 집합 X의 출연자가 TV에 나오는 날을 집합 Z에 대응시킬 수 있겠죠? 유재석, 신동엽은 토요일, 강호동은 화요일, 김병만은 금요일, 김구라는 수요일에 TV에 나와요.

합성함수

이처럼 두 개의 함수를 이용해서 새로운 하나의 함수를 얻을 수 있어요.

마치 명제의 삼단논법에서 p → q이고 q → r이면 p → r이 되는 것처럼 f: X → Y이고, g: Y → Z이면 X → Z라는 새로운 함수가 되는 거지요.

두 함수 f: X → Y, g: Y → Z가 주어졌을 때, X의 임의의 원소 x에 대하여 Z의 원소 g(f(x))를 대응시킴으로써 X를 정의역, Z를 공역으로 하는 새로운 함수를 정의할 수 있어요. 이 함수를 f와 g의 함성함수라고 하고 g ο f: X → Z로 나타냅니다.

(g ο f)(x) = g(f(x))
합성함수 간략히

f와 g를 합성한 함성함수는 f ο g가 아니라 g ο f 예요. 순서에 주의하세요.

함수 f에서 공역은 집합 Y에요. 치역은 공역의 부분집합이죠.
{함수 f의 치역} ⊂ {함수 f의 공역}

함수 g의 정의역은 집합 Y로 함수 f의 공역과 같아요.
{함수 f의 공역} = {함수 g의 정의역}

이 둘의 의해 {함수 f의 치역} ⊂ {함수 g의 정의역}이 된다는 것도 알아두세요.

다음을 보고 물음에 답하여라.
(1) (g ο f)(3)
(2) (g ο f)(2)
(3) g ο f의 정의역, 공역, 치역
합성함수 예제

(1) (g ο f)(3) = g(f(3)) = g(ㄴ) = e

(2) (g ο f)(2) = g(f(2)) = g(ㄹ) = d

(3) 함성함수에서 정의역은 처음 함수의 정의역, 공역은 두 번째 함수의 공역이에요. 따라서 정의역은 집합 X = {1. 2, 3, 4}이고 공역은 Z = {a, b, c, d, e}에요.

치역은 함숫값들의 집합이니까 Z와 다를 수 있어요. 이 경우에는 {b, c, d, e}가 되겠네요.

f(x) = x2 + 1, g(x) = x + 3일 때 다음을 구하여라.
(1) (g ο f)(3)
(2) (f ο g)(2)
(3) (g ο f ο g)(1)

(1) (g ο f)(3) = g(f(3)) = g(10) = 13

(2) (f ο g)(2) = f(g(2)) = f(5) = 26

(3) 번은 세 개로 되어있는데, 방법은 같아요. 뒤에서부터 하나씩 해결하면 돼요.

(g ο f ο g)(1) = g(f(g(1))) = g(f(4)) = g(17) = 20

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정리해볼까요

함성함수

  • 두 함수 f: X → Y, g: Y → Z가 주어졌을 때, X의 임의의 원소 x에 대하여 Z의 원소 g(f(x))를 대응시킨 함수
  • X를 정의역, Z를 공역
  • g ο f: X → Z
  • (g ο f)(x) = g(f(x))
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