이제 함수에 대해서는 다 알았나요? 이제는 원래 있던 함수를 이용해서 새로운 함수를 만들 거예요. 합성함수는 이름에서 알 수 있듯이 어떤 무언가를 서로 합해서 만든 함수예요. 그러니까 두 개 이상의 함수를 합하는 거지요.
함수의 정의만 제대로 알고 있다면 합성함수에 대해서도 금방 이해할 수 있을 거예요.
합성함수는 그림으로 이해해도 좋고, 식으로 이해해도 좋아요. 별로 어렵지 않은 내용으로 순서만 잘 지키면 금방 해결할 수 있는 문제들이니까 쉽게 생각하세요.
합성함수
세 집합이 있어요.
X = {유재석, 신동엽, 강호동, 김병만, 김구라}
Y = {무한도전, SNL, 우리 동네 예체능, 정글의 법칙, 라디오스타}
Z = {일, 월, 화, 수, 목, 금, 토}
집합 X의 임의의 원소인 출연자가 집합 Y의 원소인 프로그램에 출연하는 경우를 대응시켜보면 함수가 돼요. 이 함수를 f라고 해보죠.
집합 Y의 임의의 원소인 프로그램이 방영되는 요일을 집합 Z의 요일에 대응하면 이것도 함수가 되죠. 함수 g라고 할게요.
그럼 집합 X의 출연자가 TV에 나오는 날을 집합 Z에 대응시킬 수 있겠죠? 유재석, 신동엽은 토요일, 강호동은 화요일, 김병만은 금요일, 김구라는 수요일에 TV에 나와요.
이처럼 두 개의 함수를 이용해서 새로운 하나의 함수를 얻을 수 있어요.
마치 명제의 삼단논법에서 p → q이고 q → r이면 p → r이 되는 것처럼 f: X → Y이고, g: Y → Z이면 X → Z라는 새로운 함수가 되는 거지요.
두 함수 f: X → Y, g: Y → Z가 주어졌을 때, X의 임의의 원소 x에 대하여 Z의 원소 g(f(x))를 대응시킴으로써 X를 정의역, Z를 공역으로 하는 새로운 함수를 정의할 수 있어요. 이 함수를 f와 g의 합성함수라고 하고 g ο f: X → Z로 나타냅니다.
(g ο f)(x) = g(f(x))
f와 g를 합성한 합성함수는 f ο g가 아니라 g ο f 예요. 순서에 주의하세요.
함수 f에서 공역은 집합 Y에요. 치역은 공역의 부분집합이죠.
{함수 f의 치역} ⊂ {함수 f의 공역}
함수 g의 정의역은 집합 Y로 함수 f의 공역과 같아요.
{함수 f의 공역} = {함수 g의 정의역}
이 둘의 의해 {함수 f의 치역} ⊂ {함수 g의 정의역}이 된다는 것도 알아두세요.
다음을 보고 물음에 답하여라.
(1) (g ο f)(3)
(2) (g ο f)(2)
(3) g ο f의 정의역, 공역, 치역
(1) (g ο f)(3) = g(f(3)) = g(ㄴ) = e
(2) (g ο f)(2) = g(f(2)) = g(ㄹ) = d
(3) 합성함수에서 정의역은 처음 함수의 정의역, 공역은 두 번째 함수의 공역이에요. 따라서 정의역은 집합 X = {1. 2, 3, 4}이고 공역은 Z = {a, b, c, d, e}에요.
치역은 함숫값들의 집합이니까 Z와 다를 수 있어요. 이 경우에는 {b, c, d, e}가 되겠네요.
f(x) = x2 + 1, g(x) = x + 3일 때 다음을 구하여라.
(1) (g ο f)(3)
(2) (f ο g)(2)
(3) (g ο f ο g)(1)
(1) (g ο f)(3) = g(f(3)) = g(10) = 13
(2) (f ο g)(2) = f(g(2)) = f(5) = 26
(3) 번은 세 개로 되어있는데, 방법은 같아요. 뒤에서부터 하나씩 해결하면 돼요.
(g ο f ο g)(1) = g(f(g(1))) = g(f(4)) = g(17) = 20
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근데 왜 f와 g를 합성한 함수를 fοg 라고 하지않고 순서가 바뀌나요?
f가정의역이고 g가 함숫값 f(x)을 원소로 갖는 치역인 가요? ㅠㅠ
f와 g의 합성함수를 gοf라고 하는 건 연산의 순서에 맞추기 위해서예요. gοf라고 해야 f를 구하고 그 다음에 g를 구하니까요.
f, g는 특정한 값이 아니라 그 자체가 함수니까 정의역, 치역이라고 말할 수 없어요. f의 정의역이 gοf의 정의역이고, g의 공역이 gοf의 공역이에요. f(x)는 굳이 생각할 필요가 없어요. 노란박스의 그림을 보면 정의역과 공역에 대해서 이해할 수 있을 거예요.
갑자기 헷갈렷는데 깔금하게 정리되잇네요 ^^ 감사드려요
갑자기 헷갈리는 건 곰곰히 생각해보면 생각이 나죠. ㅎㅎ
원래 프린트 하면 인쇄될때는 광고같은거 없이 복사됬었는데 오늘 들어와서 프린트하니까 태터데스크 메시지도 뜨고 광고도 그대로 복사되네요ㅠㅠ왜이러는거죠
수정했어요.
와정말이해가잘되요!!이런거써주셔서감사합니다~잘보고가여ㅎㅎ
다른 것도 많이 있어요. ㅎㅎ 다 보고 가세요.
덕분에 합성함수에대해 잘 알아가요
글 잘읽었습니다 ^^
댓글 고맙습니다. 다른 글들도 많이 읽어주세요.
진짜대박대박!!!저 지금 문제풀다가 이런문제나왔는데 하나도 모르겠어서 포기할라다가 이글보면서 하니까 이해되고 맞췄어요ㅠㅠㅠ 아..감격스럽다진짜 이페이지 애용해두되지용?♥
포기하지 마세요. 포기하는 순간 끝이에요.
적분 미분 함수그래프보면서 이해하고싶은데..ㅠㅠㅠ
아직 미분, 적분은 글이 없어요. ㅠㅠㅠ
오저도 위에개념설명읽다가 명제생각났는데 하이파입!! 또 국어의 부사어도 생각납니다! 나는 달렸다 나는 빠르게 달렸다 이런식으로 ㅋㅋ
명제와 함께 생각하면 훨씬 이해하기 쉽죠. ㅋㅋ
합성함수는 정말이지 알 것 같다가도 모르겠고, 모를 것 같다가도 알게 되는 이상한(?)단원입니다. 합성함수를 이해할 만한 좋은 해법을 모르겠어요...ㅠㅠ
뭐든지 단순하게 생각하는게 이해하기 쉬워요.
합성함수는 그냥 간단하게 함수를 두 번 적용한다고 생각해버리세요.
헷갈릴 때마다 찾는 유용한 사이트에요^^ 오늘도 잘 보고 갑니다. 그런데 전자책으로 출판하실 생각은 없으신가요? 만약 나온다면 구입해서 보고싶어요.
전에는 전자책을 고려했었습니다. 어차피 종이책 낼 때 쓴 것과 같은 내용이니까 형식만 전자책에 맞게 변환하거나 화면 크기만 수정하면 되는 거라서 오래 걸리는 일은 아닙니다.
전자책에 대해서 얼마나 알고 계신지 모르겠지만 일반적인 전자책과 달리 개인출판을 하는 전자책은 크기가 고정되어 있어요. 일반적인 전자책은 문장의 길이가 길어지면 자동으로 길이 조정이 되죠. 그냥 인터넷에서 웹페이지를 보는 것과 거의 비슷해요. 그런데 개인출판에서 사용하는 전자책은 PDF파일로 크기가 고정되어 있어서 화면 크기와 상관없이 한 줄에 나오는 글자 수가 똑같아요. 표도 그래프도 마찬가지고요. 그냥 화면을 이미지로 캡쳐해서 본다고 생각하시면 쉽게 이해되실 거예요.
게다가 수학 과목 특성상 표, 그림, 그래프 등이 많이 있어서 화면의 크기가 큰 태블릿으로 봐야 제대로 볼 수 있잖아요. 스마트폰으로 보기에는 그림이나 그래프가 짤리거나 매우 작게 보이니까요.
요약하자면 태블릿으로 전자책을 보는 건 별 문제는 없지만 스마트폰에서는 전자책보다는 블로그에 직접 방문해서 보는 게 훨씬 더 보기 좋습니다.
그런데 이 블로그에 주로 방문하는 사람은 중고생인데 이들은 태블릿을 가진 경우가 많지 않아서 전자책을 내지 않았습니다. 혹여 전자책을 잘 모르는 학생들이 스마트폰에서 보려고 구입하는 경우가 생기면 책은 제대로 보지도 못하고 돈만 날리는 일이 생기는 것도 고려했고요.
일단, 위 전자책의 크기 고정에 대한 이야기는 좀 지난 이야기라서 요즘에는 다르게 바뀌었는지도 모르겠네요.
아,그렇군요 ㅠㅠ 저는 올해 고2 인데요,그래도 요즘은 태블릿이 인강때문에 예전보다는 많이 보편화된것 같아요.
책을 낸 게 2년전이니까 그때와 지금은 조금 달라졌을 수도 있겠네요.
아무리 문제를 봐도 모르겠었는데
보고나니 풀 수 있게 됐네요. 감사합니다 ㅠ
내용이 쉬우니까 쉽다고 생각하면 쉬게 풀 수 있어요.
고맙습니다~ 헷갈리는게 잇엇는데 댓글과 답글에서 확인햇네요ㅎㅎ
댓글까지 꼼꼼히 공부하시는 군요. 아주 좋은 자세입니다. ㅎㅎ
질문도 잘받아주시고 진짜 좋은 것같아요! 혹시 누가 질문했나 싶어서 봤는데 벌써 답장까지 있어서 빠르게 머리에 넣고가요! 좋은 글 감사합니다!!
머리에 넣은 거 빠지지 않게 꽉 붙잡아 두세요.
선생님 앞에 최유나 학생이 말한 프린트에 광고가 안나오게 하는 것은 어떻게 설정하면 할 수 있는 건가요??
저는 크롬으로 접속해서 상단에 있는 인쇄를 눌렀는데 광고도 동일하게 프린트되더라구요 ㅠㅠ
방법 알려주시면 정말 감사하겠습니다~~
파일을 일부 수정했습니다. 다시 한 번 해보시고 댓글 남겨주세요.
그럼 f(f(x))의 정의역은 뭐가 되는건가요?
x??
f(x)의 정의역이요.
첫번째 예제 (3)번에 있어요.
함성함수가 합성함수 오타인가요????
네, 오타예요. 합성함수가 맞아요.