합성함수는 여러 가지 형태로 응용할 수 있는 문제니까 합성함수의 정의와 계산 순서, 어떻게 계산하는지를 잘 이해해야 해요. 대게 간단한 일차식과 이차식이 주어지니까 계산 자체가 어렵지는 않을 거예요.

이 글에서는 합성함수의 성질을 공부할 건데 크게 중요한 내용은 아니에요. 실제로 활용하는 경우는 거의 없으니까 그냥 이런 게 있다 정도로만 알아두세요.

실수의 성질 등에서 공부했던 결합법칙, 교환법칙이 합성함수에서도 성립하는지 알아보죠.

합성함수의 성질

합성함수의 성질은 크게 세 가지예요.

(1) f ο g ≠ g ο f
(2) (f ο g) ο h = f ο (g ο h)
(3) f ο I = I ο f = f (I는 항등함수)

(1) (f ο g)(x) = f(g(x))이고, (g ο f)(x) = g(f(x))로 서로 달라요. 이 말은 교환법칙이 성립하지 않는다는 뜻이에요. 순서가 중요하다는 얘기죠.

(2) ((f ο g) ο h)(x) = (f ο g)(h(x)) = f(g(h(x)))
f ο (g ο h)(x) = f(g(h(x)))

(f ο g) ο h = f ο (g ο h)가 되는데, 이는 결합법칙이 성립한다는 뜻이에요.

합성함수에서 계산은 제일 오른쪽에 있는 함수부터 계산하니까 어떻게 묶든 상관없어요.

(3) I는 항등함수에요. 항등함수는 f(x) = x인 함수이죠. 여기서는 I로 표시하니까 I(x) = x죠.

(f ο I)(x) = f(I(x)) = f(x)
(I ο f)(x) = I(f(x)) = f(x)
f(x)

f ο I = I ο f = f 가 성립해요. 항등함수를 포함한 합성함수는 원래 함수와 같아요.

항등함수는 숫자에서 항등원과 같은 역할을 합니다.

f(x) = ax + 1, g(x) = x - 1일 때, f ο g = g ο f가 성립한다. f(1)을 구하여라.

보통 합성함수에서 교환법칙은 성립하지 않는데, 이 경우에는 성립한다고 했네요.

(f ο g)(x) = f(g(x)) = a(x - 1) + 1
(g ο f)(x) = g(f(x)) = (ax + 1) - 1

(f ο g)(x) = (g ο f)(x)
a(x - 1) + 1 = (ax + 1) - 1
ax - a + 1 = ax
a = 1

f(x) = x + 1
f(1) = 1 + 1 = 2

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정리해볼까요

합성함수의 성질

  • f ο g ≠ g ο f : 결합법칙 성립 안 함.
  • (f ο g) ο h = f ο (g ο h): 교환법칙 성립
  • f ο I = I ο f = f (I는 항등함수)
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