현에 대한 두 번째로 현의 길이에 대한 내용입니다.
원에 대해서 계속하고 있는데, 생각보다 어렵지 않죠? 새 단원의 시작이라서 그래요. 이 글도 별로 어렵지 않아요.
이번에는 현과는 조금은 다른 접선에 대해서 알아볼 거예요. 1학년 때 원과 직선의 위치관계, 접점, 접선, 할선에서 접선이 뭔지는 공부했어요. 기억이 정확하지 않다면 얼른 읽어보고 오세요.
이 글에서는 원의 접선의 길이를 구하는 방법과 원의 접선의 성질을 알아볼 거예요.
원의 접선
원 밖의 한 점에서 직선을 그었을 때 직선과 원이 만나는 점을 교점이라고 해요. 이 교점이 하나일 때 원과 직선이 서로 접하므로 그 직선을 접선이라고 하고 이때의 교점을 접점이라고도 해요. 또 원 밖의 한 점과 접점 사이의 거리를 접선의 길이라고 합니다.
이들 사이의 관계를 알아보죠.
원의 접선은 접점을 지나는 반지름에 수직
원과 두 점에서 만나는 할선에서 두 교점 사이를 우리는 현이라고 하지요? 현의 수직이등분선에서 공부한 것처럼 반지름은 현을 수직이등분해요.
이 할선을 밑으로 계속 내려보세요. 그러면 한 점에서 만나게 되는데, 이 점이 바로 접점이자 반지름에서 내린 수선의 발이에요.
즉, 접점에서 반지름과 접선이 직교하는 거죠. ⊥
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 서로 같다.
원 밖의 한 점에서는 원에 접선을 두 개 그을 수 있는데 두 접선의 길이가 서로 같아요.
증명해볼까요?
한 점 P에서 원에 접선을 두 개 그었어요. 그리고 점 P에서 원의 중심 O에 선을 그어보죠.
△POA와 △POB라는 삼각형 두 개가 생겼어요. 원의 반지름과 접선은 서로 직교하므로 이 두 삼각형은 직각삼각형이죠.
= 반지름 r
∠PAO = ∠PBO = 90°는 공통
두 직각삼각형은 빗변의 길이가 같고, 한 변의 길이가 같은 RHS 합동이에요. △POA ≡ △POB
대응변의 길이가 같으므로 =
(증명 끝.)
위 그림에서 한 가지 추가로 알 수 있는 게 있어요. 사각형 내각의 합은 360°죠. □PAOB의 내각의 크기도 360°에요. 그런데, ∠PAO = ∠PBO = 90°이므로 남은 두 각의 합이 180°가 되어야겠죠?
접점이 아닌 두 곳의 내각의 크기의 합 = ∠APB + ∠AOB = 180°
다음 그림은 원과 그 접선들이다. x를 구하여라.
접점이 세 개가 있어요. 한 점에서 원에 그은 두 접선은 길이가 같다는 걸 이용해야겠군요.
8cm로 되어 있는 곳은 원과의 접점을 기준으로 두 부분으로 나누어지죠. 아래쪽 부분은 3cm, 위쪽 부분은 xcm입니다. x + 3 = 8이므로 x = 5(cm)네요.
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삼각형의 내접원
링크 오류
원의 접선이 반지름과 수직으로 만난다는게 현의 수직이등분선과 평행해서란걸로 증명이되나요?
그 전에 현의 수직이등분선과 접산이 평행하다는것도 어떻게 증명하나요? 갑자기 궁금해져서 모르겠어요ㅠㅠ
현의 수직이등분선이 반지름이에요. 아마 할선(현의 연장선)을 잘못 쓴 듯 하네요.
원의 접선과 평행한 현은 무조건 존재해요. 아주 많이요. 그러니까 접선과 평행한 임의의 현을 그려서 증명하는 거지요. 현과 접선이 동시에 있고 그것이 평행하다는 걸 증명한 다음에 접선과 반지름의 관계를 구하는 게 아니에요.
내일이 기말고사인데 이 부분은 하나도 공부한게 없었거든요 정말 감사합니다
벌써 기말고사가 돌아왔군요. 좋은 점수 받으세요.
AOB 각도는 어떻게 구해요? 너무 무식한 질문이라면 죄송
무식한 질문이 어디있나요? 모르는 건 언제든 물어보셔도 괜찮아요.
다른 조건들이 더 있다면 모를까 현재 내용만으로는 AOB의 크기는 구할 수 없어요.
원의 접선과 반지름이 수직이라는 것이 할선을 조금 내려서 접선으로 만들면 된다는 설명이 조금 와닿지 않아서요;;ㅠㅠ 다르게 증명하는 방법은 없을까요?
증명하려고 하면 가능은 하지요.
각 크기 비교하면서 증명하는 것보다는 이 방법이 더 쉬울 거라고 생각했는데 아닌가 봐요. ㅠㅠ
현의 수직이등분선 증명 방식이랑 원에 접선 증명방식이 같나요?
거의 대부분의 증명은 삼각형의 합동을 이용해서 하니 같다고 할 수 있죠.
다만, 합동의 종류가 달라질 뿐이죠.