현에 대한 두 번째로 현의 길이에 대한 내용입니다.

현의 수직이등분선에서 두 가지 성질을 알아봤는데, 첫 번째는 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직이등분한다였죠. 두 번째는 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다였고요. 이 글에서도 이 두 가지 성질을 그대로 이용합니다. 따라서 잘 기억하고 있어야 해요.

이 글에서 배울 내용도 그다지 어렵지 않아요. 증명도 쉬울 뿐 아니라 증명만 제대로 이해한다면 문제도 쉽게 풀 수 있어요. 그냥 쭉 한 번 읽어만 봐도 쉽게 알 수 있을 겁니다.

현의 길이

현의 길이도 두 가지 성질이 있어요. 하나는 명제이고 다른 하나는 그 명제의 역이에요. (명제, 명제의 가정과 결론, 명제의 역)

하나라고 해도 상관없으니까 한 가지만 제대로 알면 다른 건 그냥 자연스럽게 따라서 이해하게 되어 있어요.

한 원에서 원의 중심에서 같은 거리에 있는 현의 길이는 같다.

원의 중심에서 현까지의 거리가 같으면 두 현의 길이가 같아요.

현의 길이 1

점 O에서 점 A와 점 C에 선을 그어보죠.

 

현의 길이 1 증명

직각삼각형이 두 개 생겼어요.

△OMA와 △ONC에서

=     (원의 중심에서 같은 거리에 있는 현, 가정)
∠AMO = ∠CNO = 90°
= = 반지름 r

직각삼각형에서 빗변의 길이가 같고, 한 변의 길이가 같은 RHS 합동이에요. △OMA ≡ △ONC

대응변의 길이는 같으므로  = 죠. 현의 수직이등분선에서 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직이등분한다고 했어요. = 2, = 2

따라서  =      (증명 끝.)

다음 그림을 보고 △OCD의 넓이를 구하여라.
현의 길이 1 예제

삼각형의 넓이를 구하려면 밑변의 길이, 높이를 알아야 하는데, 높이는 4cm라고 나와 있네요.

밑변의 길이는 인데, 는 이 원의 현이고, 원의 중심으로부터 거리가 4cm에요. 도 원의 중심에서 4cm 떨어진 현이고요. 원의 중심에서 같은 거리에 있는 현의 길이는 같으므로  = 에요. 의 길이를 구해보죠.

원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직이등분하므로  = 이에요.  = 2 = 8cm이죠.

△OCD = ½ × 4 × 8 = 16cm2

한 원에서 길이가 같은 현은 원의 중심에서 같은 거리에 있다.

이번에는 위와 반대에요. 현의 길이가 같으면 원의 중심으로부터의 거리가 같아요.

현의 길이 2

점 O에서 점 A와 점 B에 선을 그어보죠.

 

현의 길이 2 증명

△OMA와 △ONC에서

 =     (가정에서  = 이고, = 2, = 2현의 수직이등분선)
∠AMO = ∠CNO = 90°
= = 반지름 r

직각삼각형에서 빗변의 길이가 같고, 한 변의 길이가 같은 RHS 합동이에요. △OMA ≡ △ONC

대응변의 길이는 같으므로 =      (증명 끝.)

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정리해볼까요

현의 길이

  • 한 원에서 원의 중심에서 같은 거리에 있는 현의 길이는 같다.
  • 한 원에서 길이가 같은 현은 원의 중심에서 같은 거리에 있다.
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