제곱근의 뜻과 표현에서 새로운 용어와 새로운 기호를 공부했어요. 의미가 헷갈리니까 잘 이해할 수 있도록 하시고요.
이 글에서는 제곱근의 성질과 근호를 없애는 방법에 대해서 공부할 거예요. 제곱근의 성질을 알아야만 제곱근 기호(근호)를 없앨 수 있어요. 그러니까 처음부터 차분히 잘 따라오세요.
무작정 근호를 없애려고 하면 안 돼요. 원리와 방법이 어렵지 않으니까 잘 읽어보면 쉽게 계산할 수 있어요. 근호를 없애는 건 나중에 제곱근의 사칙연산할 때 아주 중요하니까 연습을 많이 해두세요.
제곱근의 성질
제곱근과 제곱은 서로 반대의 의미를 지녀요.
어떤 수의 제곱근을 제곱하면 원래 수가 돼요. 4의 제곱근은 ±2인데 이걸 제곱하면 22 = (-2)2 = 4가 되잖아요.
이때 어떤 수는 제곱근을 구할 수 있는 수니까 양수거나 0이에요. 제곱근의 뜻과 표현에서 음수의 제곱근은 생각하지 않는다고 했었죠?
반대의 경우를 생각해보죠.
어떤 양수를 제곱해서 근호를 씌우면 원래 수가 돼요. 22 = 4에 근호를 씌우면 
어떤 음수를 제곱해도 같은지 해볼까요? (-2)를 제곱해서 근호를 씌워보면 (-2)2 = 4고,
근호를 씌우는 건 그냥 제곱근을 구하는 게 아니라 양의 제곱근을 구하는 거예요. 그러니까 결과는 무조건 양수로 나올 수밖에 없어요. 음수를 제곱해서 양의 제곱근을 구하니까 원래 수와 부호가 다른 건 당연하지요.
근호를 씌운다 = 양의 제곱근을 구한다.
근호를 씌운다 ≠ 제곱근을 구한다
정리해보면 어떤 수를 제곱해서 근호를 씌웠을 때, 어떤 수가 양수면 원래 수 그대로, 어떤 수가 음수면 원래 수에서 부호만 바뀐 수가 나와요.
근호 풀기
근호 안에 어떤 수의 제곱이 있을 때를 보죠. 위 제곱근의 성질을 이용하면 근호와 제곱을 지울 수 있어요. 마치 약분하는 것처럼요.
일단 제곱과 근호를 지우고 나면 숫자는 그대로 쓰니까 상관없어요. 문제는 부호에요. 부호는 위의 성질을 이용해서 구하는데 이게 정말 헷갈리거든요.
하나만 기억하세요. 근호 앞의 부호와 같게 만들어 주면 돼요. 근호 앞에 부호가 (+) 또는 생략이면 근호를 없앤 결과도 (+), 근호 앞의 부호가 (-)면 근호를 없앤 결과도 (-)에요.
위에서 a > 0일 때 
b < 0일 때 
근호 안에 어떤 수의 제곱이 있을 때 근호 풀기 → 숫자는 그대로, 부호는 근호 앞의 부호
다음을 간단히 하여라.
근호 안에 제곱인 수가 있을 때 일단 숫자는 그대로 쓰고, 근호 앞의 부호가 양수이면 결과도 양수, 근호 앞의 부호가 음수이면 결과도 음수에요.
(1) 근호 앞의 부호가 양수네요. 25 = 52이므로
(2) 근호 앞의 부호가 음수네요.
(3) 근호 앞의 부호가 양수예요.
(4) 근호 앞의 부호가 음수예요.
다음을 간단히 하여라.
각 항을 하나씩 따라 떼서 생각하면 쉬워요.
(1)에서는 두 항 모두 근호 앞의 부호가 양수네요.
(2)에서는 근호 앞의 부호가 하나는 양수, 하나는 음수네요.
안영하세요 선생님 문제가 잘 몰라서 어떻게 푸는지 알고 싶어요
루투(루투(루투(루투(3)-5))의2제곱+루투(11+루투(3))의2제곱문제가 있는데 간단헤 게산하려요 답은 2인데 왜 그런지 모르겠어요 ㅠㅠ
근호 안에 근호가 계속 들어있는 거네요. 이럴 때는 가장 안쪽에 있는 근호부터 바깥쪽으로 차례차례 하나씩 풀어야해요.
가장 안쪽의 근호를 풀면 다시 근호 안이죠? 근호 안의 숫자니까 0보다 크거나 같아야해요. 가장 안쪽 근호 안의 수 root(3) - 5는 음수이므로 앞에 (-)가 붙어서 -(root3 - 5)여야 양수가 되겠죠?
뒤에 있는 11 - root3은 양수니까 그대로 풀어지고요.
근호를 풀어서 이 두 값을 계산하면 -(root3 - 5) + 11 + root3 = 16이므로 이 16 = 4^2을 이용해서 계속해서 근호를 풀면 2가 나옵니다.
정말 감사해요 ㅠ 이해가 잘되요
이 사이트를 좀더 일찍 알았더라면 ㅠ
이제라도 알았으니까 됐죠. ㅎㅎ
√64 - √(-4)^2
=√8^2 - √(-4)^2
=8 - 4
=4
이렇게 나오는데
√(-4)^2 →여기서 어떻게 4가 나오는거죠?
(-4)^2 = 8
8→4
이렇게 4가 나온건가요?
그런거라면
√64 - √(-4)^2
=√8^2 - √(-4)^2 이 식에서
√64 이건√8^2 이렇게 바꿨지만
√(-4)^2 이것만 8로 바꾸지 않고 그대로 놔둔 이유는 무엇인가요
(-4)^2 = 16인데요.
제곱근의 성질 위에서 4번째 줄에
제곱근의 뜻과 표현과 표현 -> 제곱근의 뜻과 표현
고쳤어요. ㅎㅎ
무리수와무리수를더하면 무리순가요?
무리수일 수도 있고, 유리수일 수도 있죠.
루트(2) + 루트(2) = 2루트(2)
루트(2) + {-루트(2)} = 0
아 그러면 위에서 b문자 자체가 -3인 존재가 되어서
-(-3)으로 하면 양수가 되니까 어쩔 수 없이
-b로 문자로 해논거군요?
그러면 나중에 루트 -3제곱 하면 그냥 +3으로 쓰라는거죠?
차피 +3은 -(-3)과 같으니까..?
-b= +3 , b= -3 맞죠.?
네, 맞아요.
근데 거의 맨 윗부분에서 (첫 보기(?)부분)
"음수의 제곱근"을 구하지 않는다고 생각한다 했었죠, 라고 말한게 이해가 안갑니다.
왜냐하면, "음수의 제곱근" 이라는 말은 ( 루트(제곱근)-
마이너스의 수 )일때 말하는거 아닌가요?
그런데 위 보기에서는 갑작스럽게 루트에서 내부 수를
플마로 제곱근을 나타내는 말인데,
먼저 a란수가 그자체에서 음수일때, 이a의 제곱근을
나타낸다 치면, 생각하지 않는다고 하는말인데
밑에서 보기와,
보기를 지나 글이 적힌 의미들을 해석하면,
어떤수 b의 제곱근을 구한다, 라고 제곱근을 구하는데에서
양수 음수는 플마로 근호앞에 적어, 나중에 계산결과로 b의 제곱근이 나오는것인데,
여기 보기위에서는 "음수의 제곱근"을 생각하지얺는다고 했었는데.....
(그리고 그 밑에서) a의 양수의 제곱근을 구한다...
완전 의미가 다른것 아닌가요?
위에선 음수를 제곱근으로 가룰때 얘기고 밑에서는 제곱근을 구할때는 양수음수로 나타내서 .. 라는의미인데..?
제곱근의 뜻과 표현 ( https://mathbang.net/254 )
위 글의 아랫부분에 보면 a의 제곱근과 양의 제곱근 a의 차이를 설명한 부분이 있어요.
그곳을 참고하시면 음수의 제곱근과 음의 제곱근의 차이를 이해하실 수 있을 겁니다.
잘 이해하지 못하는 사람의 입장에서 생각해주시면서 설명 해주셔서 감사합니다.
잘 배우고 있습니다! 감사합니다!
댓글 고맙습니다.
이해를 잘 못하는 사람은 없습니다. 요령이 없을 뿐이죠. 공부를 하다보면 요령도 생기고 더 빨리 이해하는 감을 잡을 수 있어요.
저기 제가 진짜 이해가 안되서 그런데요
루트 a 더하기 루트 b가 무조건 양수인가요?(물론 a, b가 실수일때요)
루트 앞의 부호를 잘 보세요.
루트 a 앞에는 부호가 없으므로 양수죠.
루트 b 앞에 역시 부호가 + 이므로 양수고요.
양수 둘을 더하면 당연히 양수겠죠.
양수인 무리수를 제곱할때 꼭 괄호를 표기해야 하나요?
예를 들어 (루트 2)의 제곱이 아니라 괄호를 생략한 채 루트 2의 제곱으로 표현하는게 가능한가요? 그 어디에도 표기체계가 정리되어 있는 곳이 없어 헷갈리네요
어차피 양수고 항이 하나니까 없어도 상관없어요.
근데, 그러면 근호 안이 제곱인지 근호 바깥이 제곱인지 헷갈릴 수 있으니 괄호를 넣는 게 좋죠.
분수꼴의 제곱근에서 분모와 분자중 하나가 음수이면 루트 밖으로 마이너스가 빠져나올수 있는걸로 아는데 정확한 개념을 알려주실수 있으신가요
음수의 제곱근의 성질에 설명되어 있어요.
https://mathbang.net/308
선생님 제가 지금 문제를 풀고있는데 이 풀이과정이
맞나요? a<0일 때, 루트(-3a)^2 = 루트(-3a×-3a)
=루트9a =-3
그리고 이 문제의 해설을 보면
-3a>0이므로 루트(-3a)^2 = -3a 인데 여기서
-3a이 어떻게 0보다 클 수 있는 건가요?
만일 a의 부호가 - 이기 때문에 -3×-a = 3a라면
루트 (-3a)^2 는 괄호 안에서 3a의 상태여야 하는거 맞나요? 그래서 루트(-3a)^2 = 루트(3a)^2 = -3a로 나온다는 말인가요?
본문에 설명되어 있는 것처럼 근호 앞의 부호만 신경쓰면 됩니다.
루트((-3a)^2)
루트 앞의 부호가 생략되어 있으므로 양수잖아요. 그러니까 근호를 푼 값도 양수여야 해요.
a < 0이므로 -a > 0이잖아요. -3a > 0이고요.
루트((-3a)^2) = -3a
근호를 씌운다 = 양의 제곱근을 구한다라고
말씀하셨잖아요. 이게 무슨 의미인지 모르겠어요.
-루트(-5a)^2은 앞에 부호가 -이니까 근호를 없앤 결과도
음수가 되어야하는데 음수가되면 안되는거 아닌가요?
모든결과가 양의 제곱근으로 나와야하는데 앞이 -가 되면
음수니까 음의 제곱근을 구하는 건데 너무 헷갈려요.
모든 결과가 양의 제곱근으로 나오는 게 아니에요. 근호가 씌워진 그 부분만 생각하는 거예요.
근호 안에 어떤 수의 제곱이 있을 때
근호를 풀고 숫자는 그대로 둔 다음에
부호는 앞의 부호를 써준다고 하셨잖아요.
근데 왜 앞의 부호를 써야하는 건가요?
이유가 무엇인가요..글을 아무리 읽어도 못 찾겠어요.
근호를 풀기 전후의 값이 같아야 하니까요.
500이하의 자연수n에 대하여 루트n, 루트2n, 루트3n, 루트5n 이 모두 무리수가 되도록하는 n은 모두 몇개인가?
선생님.
이문제는 어떻게 접근해서 풀어야하나요?
-1<a<b<0 일때, 루트(1-a)^2 와 루트(a+1)^2 의 대소관계좀 알려주세요
부등식의 성질을 생각해보세요.
-1 < a
1 > -a
2 > 1 - a
a < 0
-a > 0
1 - a > 1
따라서 1 - a 는 1 보다 크고, 2보다 작아요.
-1 < a
0 < a + 1
a < 0
a + 1 < 1
a + 1은 0보다 크고 1보다 작아요.
둘 중 제곱했을 때 어떤 게 큰지는 금방 확인할 수 있죠?
3일째 제곱근 때문에 진도를 못나가는 학생입니다.
2 을 제곱라면 4
4의제곱근 은 +-2 애를 제곱근이라고부를려면 근을붙혀야하니까 플마 루트2 잖아요 그럼
루트 49 는 루트가 씌어져있다는건 제곱이있다는거고
그럼 49곱하기 49 해야하는건가요 그래서 답은 백자리수
2.(루트7)지수 2 하면 지수가있으니가 루트 떼어져나가고 답은 49 맞나요 ?
1. 루트 49는 그냥 7이에요. 부호없이
아직 제곱근의 의미에 대해서 제대로 이해하지 못한 것 같아요. 제곱근의 뜻을 한 번 더 읽어보세요.
http://mathbang.net/254
2. 아니요. 역시 7이에요.
이 글이 질문에 대한 설명이에요. 앞의 글과 이 글을 다시 천천히 읽어보세요.
안녕하세요 선생님!!
수나 문자가 (×+3)^2 돼있으면 x^2 9^2 이렇게 다 거듭제곱에 지수까지 써주는데
예를 들어서 루트는 왜 (3루트 2)^2라고 돼있으면
원래 제곱이었던 3을 제곱하고 3^2×2 다 같이 곱해서
18이라고만 쓰나요?ㅠㅠ 그리구 왜 루트와 제곱이 만나면 루트와 제곱이 둘 다 사라지는지 이해가 안되요ㅠㅠㅠ헝
이 글이 루트와 제곱이 만날 때를 설명하는 글이에요.
제곱근의 의미를 잘 이해하면서 글을 읽어보세요.
선생님 '근호를 씌운다'가 왜 제곱근을 구한다 일 수 없는지, 왜 무조건 '양의 제곱근만 구한다'가 되는지 자세히 설명해주실 수 있을까요? 그냥 약속이라 생각하고 받아들여야 하는 건가요?
제곱근의 뜻과 표현 중 '제곱근의 표현' 부분에 설명되어 있어요.
https://mathbang.net/254
선생님, 혹시 이 블로그의 수학 개념들은 출처가 어디신가요? 수학방 내용과 학교에서 가르치는 내용이 조금 다른 곳도 있어서요
다른 곳을 알려주시면 참고해서 수정하도록 하겠습니다.