일반항이 유리식인 수열의 합, 부분분수 공식
부분분수 공식을 유도하고, 부분분수 공식을 활용하여 일반항이 유리식인 수열의 합을 구하는 방법을 실제 예제를 풀어보며 설명합니다.
부분분수
부분분수는 분수의 분모를 다항식의 곱으로 나타내고, 이를 이용해서 분수를 가르는 걸 말해요. 그냥 둬도 되는데 굳이 가르는 이유는 분자, 분모의 차수를 낮출 수 있어서예요. 차수가 낮거나 숫자가 작으면 계산하기 편리해지잖아요.
$$\frac{1}{AB} = \frac{1}{B-A} \left( \frac{1}{A} - \frac{1}{B} \right)$$
분자는 다 1인데, 좌변의 분모는 분모의 곱 AB, 우변 앞은 분모의 차 B - A, 괄호 안은 분수의 빼기에요. 빼는 순서도 잘 보세요.
부분분수 공식을 유도해볼까요? 분자, 분모에 같은 수를 곱해도 값은 바뀌지 않죠? 그걸 이용하는 겁니다.
숫자를 넣어서 좀 쉬운 걸 한 번 해보죠.
유리식 수열의 합
부분분수 공식을 이용하면 분모가 연속된 숫자나 식의 곱으로 이루어진 다항식들의 합을 구하기가 쉬워요. 다음 예제를 보죠.
다음을 간단히 하여라.
$\frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)} + … + \frac{1}{(x+9)(x+10)}$
유리식의 덧셈은 분모를 통분해서 구하는데, 문제의 식을 통분하면 분모는 10차식 분자는 8차식이 돼요. 전개하고 더할 수는 없겠죠? 이럴 때 부분분수 공식을 이용해요.
각 항을 부분분수로 바꿔보죠.
- $$\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{(x+2)-(x+1)} \left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}\right)$$
- $$\frac{1}{(x+2)(x+3)}=\frac{1}{(x+3)-(x+2)} \left(\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}\right)$$
- $$\frac{1}{(x+3)(x+4)}=\frac{1}{(x+4)-(x+3)} \left(\frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4}\right)$$
- $$…$$
- $$\frac{1}{(x+9)(x+10)}=\frac{1}{(x+10)-(x+9)} \left(\frac{1}{x+9} - \frac{1}{x+10}\right)$$
우변의 괄호 앞에 있는 분수는 1이니까 없어지고 괄호 안 부분만 남겠죠? 이걸 한 번에 쭉 써보죠.
윗줄에서 두 번째, 세 번째 항이 없어지고, 네 번째, 다섯 번째 항이 없어지고, 계속 없어지다가 결국에는 첫 번째 항과 마지막 항만 남아요. 두 항의 덧셈만 하면 끝이죠.
분자나 분모가 1이 아닐 때도 있는데, 이럴 때는 분자, 분모로 묶어서 해요.
다음 합을 구하여라.
$\frac{1}{1\times 2} + \frac{1}{2\times 3} + \frac{1}{3\times 4} + … + \frac{1}{9\times 10}$
분모가 유리식인 수열의 합이네요. 수열의 일반항을 이용해서 수열의 합으로 나타내고, 수열의 일반항인 분수를 쪼개(?) 보죠.