역함수는 새로운 함수는 아니고 원래부터 있던 함수를 변형시켜서 얻은 함수예요. 숫자의 역수랑 비슷한 거죠.
역함수는 그 설명이 조금 어려울 수 있어요. 글로 잘 이해가 되지 않으면 그림을 통해서 이해해보도록 하세요. 개념과 달리 역함수를 구하는 방법은 상당히 쉽습니다. 순서만 잘 따르면 금방 구할 수 있어요.
일대일 대응에 대해서 알고 있어야 역함수를 이해할 수 있고, 역함수를 알고 있어야 다음에 공부할 역함수의 성질과 그래프에 대해서 이해할 수 있어요.
역함수
두 집합 X = {1, 2, 3, 4, 5}, Y = {a, b, c, d, e}가 있어요. 아래 그림 같은 x에 대한 y의 함수 f가 있다고 치죠. 함수 f는 일대일 대응이에요. y = f(x)
이때, Y를 정의역으로 하고 X를 공역으로 하는 함수도 생각할 수 있겠죠? 이 함수를 g라고 해보죠. 역시 일대일 대응이 되겠네요. x = g(y)
함수 f: X → Y가 일대일대응일 때, Y의 임의의 원소 y에 대하여 y = f(x)인 X의 원소 x는 하나만 있어요. 이 경우 y에 대하여 x를 대응시키면 Y를 정의역, X를 공역으로 하는 새로운 함수를 만들 수 있는데, 이를 f의 역함수라 하고 f-1: Y → X로 나타내요.
위 예에서는 g가 f의 역함수, f-1가 되는 거죠.
y = f(x) ⇔ x = g(y) ⇔ x = f-1(y)
역함수는 영어로 하면 Inverse Function이라서 f-1(x)를 f 역함수 x 또는 f inverse x라고 읽어요.
f와 f-1는 일대일 대응에서 정의역과 공역을 바꾼 함수이기 때문에 서로가 서로에게 역함수예요. (f-1)-1 = f
역함수 구하는 법
역함수를 구하는 방법은 생각보다 간단합니다. 정의역과 치역만 맞바꾸면 되니까요.
단 중요한 조건이 있는데, 원래 함수가 꼭 일대일 대응이어야 한다는 거예요. Y가 정의역이 되었을 때 Y의 모든 원소가 X의 원소에 대응하려면 공역 = 치역이어야 해요. 또 Y의 임의의 원소 y에 대응하는 x가 하나만 있어야 하므로 일대일함수여야하고요. 이 두 가지를 만족하는 경우는 일대일 대응밖에 없어요. 일대일 대응이 아닌 그냥 함수나 일대일함수는 역함수를 구할 수 없어요.
- 함수 y = f(x)가 일대일 대응인지 확인
- y = f(x)를 x에 대하여 푼다. → x = f-1(y)
- x와 y를 바꾼다. → y = f-1(x)
- 함수 f의 정의역과 치역을 서로 바꾼다.
3번에서 x, y를 왜 바꾸는지에 대해서 이해하지 못하는 경우가 많은데 특별한 이유는 없어요. 그냥 보통 정의역의 원소를 x, 치역의 원소를 y라고 나타내니까 x, y를 서로 바꾸는 거예요. 원래 함수의 x, y와 역함수의 x, y는 서로 다른 x, y입니다.
다음 함수의 역함수를 구할 수 있는지 보고, 역함수를 구할 수 있으면 구하여라.
(1) y = x + 1
(2) y = x2 + 1
역함수를 구하려면 먼저 일대일 대응인지 확인하고, x에 관하여 푼 다음 x, y를 바꿔주면 돼요. 그다음 정의역과 치역을 바꿔줘야 하는데, 문제에서 나오는 함수는 정의역과 공역이 모두 실수 전체의 집합이므로 여기서는 크게 신경을 쓰지 않아도 돼요.
(1) 번은 일대일 대응이 맞네요. 역함수를 구해보죠.
y = x + 1
x = y - 1
y = x - 1
(2) 번 y = x2 + 1은 일대일 대응이 아니라서 역함수를 구할 수 없어요.
x = 1일 때, y = 2
x = -1일 때, y = 2
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