역함수는 새로운 함수는 아니고 원래부터 있던 함수를 변형시켜서 얻은 함수예요. 숫자의 역수랑 비슷한 거죠.
역함수는 그 설명이 조금 어려울 수 있어요. 글로 잘 이해가 되지 않으면 그림을 통해서 이해해보도록 하세요. 개념과 달리 역함수를 구하는 방법은 상당히 쉽습니다. 순서만 잘 따르면 금방 구할 수 있어요.
일대일 대응에 대해서 알고 있어야 역함수를 이해할 수 있고, 역함수를 알고 있어야 다음에 공부할 역함수의 성질과 그래프에 대해서 이해할 수 있어요.
역함수
두 집합 X = {1, 2, 3, 4, 5}, Y = {a, b, c, d, e}가 있어요. 아래 그림 같은 x에 대한 y의 함수 f가 있다고 치죠. 함수 f는 일대일 대응이에요. y = f(x)
이때, Y를 정의역으로 하고 X를 공역으로 하는 함수도 생각할 수 있겠죠? 이 함수를 g라고 해보죠. 역시 일대일 대응이 되겠네요. x = g(y)
함수 f: X → Y가 일대일대응일 때, Y의 임의의 원소 y에 대하여 y = f(x)인 X의 원소 x는 하나만 있어요. 이 경우 y에 대하여 x를 대응시키면 Y를 정의역, X를 공역으로 하는 새로운 함수를 만들 수 있는데, 이를 f의 역함수라 하고 f-1: Y → X로 나타내요.
위 예에서는 g가 f의 역함수, f-1가 되는 거죠.
y = f(x) ⇔ x = g(y) ⇔ x = f-1(y)
역함수는 영어로 하면 Inverse Function이라서 f-1(x)를 f 역함수 x 또는 f inverse x라고 읽어요.
f와 f-1는 일대일 대응에서 정의역과 공역을 바꾼 함수이기 때문에 서로가 서로에게 역함수예요. (f-1)-1 = f
역함수 구하는 법
역함수를 구하는 방법은 생각보다 간단합니다. 정의역과 치역만 맞바꾸면 되니까요.
단 중요한 조건이 있는데, 원래 함수가 꼭 일대일 대응이어야 한다는 거예요. Y가 정의역이 되었을 때 Y의 모든 원소가 X의 원소에 대응하려면 공역 = 치역이어야 해요. 또 Y의 임의의 원소 y에 대응하는 x가 하나만 있어야 하므로 일대일함수여야하고요. 이 두 가지를 만족하는 경우는 일대일 대응밖에 없어요. 일대일 대응이 아닌 그냥 함수나 일대일함수는 역함수를 구할 수 없어요.
- 함수 y = f(x)가 일대일 대응인지 확인
- y = f(x)를 x에 대하여 푼다. → x = f-1(y)
- x와 y를 바꾼다. → y = f-1(x)
- 함수 f의 정의역과 치역을 서로 바꾼다.
3번에서 x, y를 왜 바꾸는지에 대해서 이해하지 못하는 경우가 많은데 특별한 이유는 없어요. 그냥 보통 정의역의 원소를 x, 치역의 원소를 y라고 나타내니까 x, y를 서로 바꾸는 거예요. 원래 함수의 x, y와 역함수의 x, y는 서로 다른 x, y입니다.
다음 함수의 역함수를 구할 수 있는지 보고, 역함수를 구할 수 있으면 구하여라.
(1) y = x + 1
(2) y = x2 + 1
역함수를 구하려면 먼저 일대일 대응인지 확인하고, x에 관하여 푼 다음 x, y를 바꿔주면 돼요. 그다음 정의역과 치역을 바꿔줘야 하는데, 문제에서 나오는 함수는 정의역과 공역이 모두 실수 전체의 집합이므로 여기서는 크게 신경을 쓰지 않아도 돼요.
(1) 번은 일대일 대응이 맞네요. 역함수를 구해보죠.
y = x + 1
x = y - 1
y = x - 1
(2) 번 y = x2 + 1은 일대일 대응이 아니라서 역함수를 구할 수 없어요.
x = 1일 때, y = 2
x = -1일 때, y = 2
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x*x+1이 왜 1;1 대응이안돼나여??
일대일대응, 일대일함수(http://mathbang.net/474)를 참고하세요.
선생님 어느 문제집에서요
f(x)=x^2-2(x>=0) 이 일대일대응이라 역함수가 존재한다고했는데요 이게 왜 일대일 대응인 것이죠?? 치역과 공역이 같지않은데요??
특별한 얘기가 없었다면 공역은 실수 전체의 집합이고, 치역은 y>=-2니까 공역과 치역이 다르죠.
하지만 역함수 단원의 취지에 맞게 생각해보면 정의역이 x>=0일 때, 공역을 실수 전체의 집합이 아니라 y>=-2로 봐서 치역과 공역이 같다고 한 것 같네요.
정말 감사합니다. 진짜 명쾌하게 딱 찝어주시네. 최고의 선생님이십니다^^
이런 댓글을 남져주다니 최고의 학생이네요.^^
이해안되던게 정확하게 됐어요! 감사합니다^^
이해되지 않는 게 생기면 언제든지 찾아오세요.
지수 함수는 일대일 대응이 아닌 일대일 함수 인데 왜 역함수인 로그 함수가 존재 하나요?
지수함수(y = a^x, a > 0, a ≠ 1)도 공역을 실수 전체가 아닌 0보다 큰 실수로 잡으면 일대일 대응이죠. 그러면 역함수를 구할 수 있어요.
로그함수와 로그함수의 그래프(http://mathbang.net/602)를 참고하세요.
비밀댓글입니다
그건 저도 정확히는 몰라요. 차단하지 않은 아이디나 아이피가 차단되기도 합니다. 아마도 시스템 오류인 것 같아요.
궁금한점이 해결되었습니다. 감사합니다.
댓글 고맙습니다. 다른 궁금증 생기면 언제든 찾아오세요.
x 와 y를 바꾸는 과정이 헷갈리네요.. 문제(1)에서 보면 y=x+1 을 x=y-1로 바꿔서 y=x+1 함수의 역함수꼴로 만드셨는데 거기까지는 이해가 가는데요 왜 x를 y로 바꾸고 y를 x로 바꿔야하나요? x=y-1을 그래프상에 나타내려면 x축이 y축이되고 y축이 x축으로 바뀌나요? 그래도 될려나..
x, y를 바꾸는 이유는 두 번째 노란상자 아래에 설명이 되어 있어요.
그리고 역함수는 완전히 새로운 함수니까 그래프 상에서 x, y를 다시 바꾸지는 않아요.
그동안 쭉 보기만 해오다가 댓글 남겨요 ^^ 매번 너무 설명을 잘해주셔서 이해가 잘 되네요 정말 감사합니다 수학이란 게 기본이 중요한 것 같은데 도움 많이 되었습니다
수학은 그냥 공식만 달달 외워서 문제만 풀면 된다고 생각하는 경향이 있어서 기본에 충실하기가 더 어렵죠. 앞으로도 기본기를 잘 다지는 방향으로 공부하시면 다른 사람 도움받지 않고 혼자서도 공부할 수 있는 능력을 갖추게 될 거예요.
교과서 애찬론가이지만
그럼에도 역시 수학방은 훨씬훨씬 교과서보다 좋아요 ㅠㅠ
감사합니다~
아닙니다.
교과서가 수백만배는 더 좋아요.
수학방님 일반적으로 정의역X에 x를 사용하고 공역Y에 y를 사용하는 거죠??
네, 그래요.
x*x +1이 역함수가 안된다고 하셨는데 이 함수에 특정한 범위가 붙여진다면 역함수가 성립하지 않을까요???
네, 범위가 주어진다면 역함수가 가능합니다.
역함수라는게 쉽게말해서 x구간과 y구간이 서로 바뀌는 건데 일대일대응 함수 말고는 왜 안되는거죠? 다른 성질이 또 있나요?
역함수 구하는 법 아래 두 번째 단락에 그 설명이 있습니다.
역함수 구할 때 y=f(x)를 x에 대하여 풀지 않고 자리만 바꿔도 되나요?
아니요. x에 대해서 풀어야해요.
질문이 하나 있는데요. 역함수의 정의가 공역과 치역이 같은 함수라고 써있는데 결국 문제 풀어주는걸 보면 정의역이 치역과 같은 함수로 많이 풀더라고요...? 왜 그런건지 알 수 있을까요?
일단, 원래 함수의 공역과 치역이 같아야 해요.
문제를 보지 않아서 정확하게 답을 드릴 수는 없지만, 원래 함수의 정의역이 역함수로 바뀌면 치역이 된다는 뜻으로 문제를 푼 게 아닐까 생각합니다.
X제곱/x제곱+2x+4 의 역함수는 어떻게 쉽게 구하나요???
x와 y를 서로 바꾸는 건 마치 f의 여친이 x에서 y로 바꿔치기 당하는 것과 같군요. 그래프를 그리면 마치 좌표평면 전체를 y=x를 기준으로 대칭이동해서 y가 독립변수, x가 종속변수가 된 것 같은 착시(?)가 생기겠네요!
역함수 구하는 법에서 y=f(x)를 x에 대하여 푸는 이유는 무엇인가요??
f(x)=y^5+y+1 의 역함수는 어떻게 구하나요?
1/x 나 x제곱 x세제곱은 어떻게 풀어야되나요ㅜㅜ