절댓값이 들어있는 식은 기본적으로 절댓값 안의 부호가 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때의 두 가지 경우로 나눠서 문제를 풀어요. 해당 조건에 맞게 식을 전개하고 각각의 해를 찾아서 답을 구하죠.
절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이는 절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이와 거의 비슷해요. 방정식이 부등식으로 바뀐 것뿐이에요. 다만, 부등식은 해가 딱 하나로 떨어지지 않아서 방정식보다는 조금 더 어려워요. 수직선을 그려보는 것도 이해하는 데 도움이 될 겁니다.
절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 풀이
절댓값과 절댓값의 성질에서 문제를 어떻게 풀었었나요? 절댓값 안이 0보다 크거나 같을 때와 0보다 작을 때 두 가지 경우로 나눴죠? 그리고 각 조건에 맞게 식을 전개해서 해를 구했어요. 각 조건과 구해진 해의 공통부분이 답이 되는데, 조건이 두 개니까 조건별로 나온 해가 모두 답이에요.
절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이도 위와 같은 방법으로 해를 구해요. 여기에 연립부등식, 연립부등식의 풀이를 섞어 놓은 거예요.
|ax + b| > m (m > 0)의 해를 구해볼까요?
ⅰ) ax + b ≥ 0일 때 (절댓값 기호 안이 0보다 크거나 같을 때)
|ax + b| > m
ax + b > m
조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 ax + b > m이죠? (∵ 0 < m < ax + b)
ⅱ) ax + b < 0일 때 (절댓값 기호 안이 0보다 작을 때)
|ax + b| > m
-(ax + b) > m
ax + b < -m
조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 ax + b < -m이죠? (∵ ax + b < -m < 0)
결국 |ax + b| > m의 해를 구할 때는 따로 조건을 나누지 않고 ax + b < -m 또는 ax + b > m의 해를 구하면 돼요.
절댓값 기호를 포함한 일차방정식의 풀이에서도 절댓값 안의 부호의 범위와 상관없이 그냥 구했던 것처럼 여기서도 절댓값 안의 부호를 따질 필요가 없어요.
이번에는 |ax + b| < m (m > 0)일 때를 볼까요?
ⅰ) ax + b ≥ 0일 때
|ax + b| < m
ax + b < m
조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 0 ≤ ax + b < m이죠? (∵ m > 0)
ⅱ) ax + b < 0일 때
|ax + b| < m
-(ax + b) < m
ax + b > -m
조건과 그 조건에 맞게 식을 전개했을 때 ax + b의 범위를 둘 다 만족하는 건 -m < ax + b < 0이죠? (∵ -m < 0)
이 두 개를 연립해보면 -m < ax + b < m이 돼요.
여기서도 마찬가지로 절댓값 안의 부호를 따질 필요가 없어요.
절댓값 기호를 포함한 부등식의 풀이 (a, b, m은 실수, m > 0)
|ax + b| > m → ax + b < -m 또는 ax + b > m
|ax + b| < m → -m < ax + b < m
식에 있는 부등호를 잘 보세요. 이 방향에 따라 해가 달라져요.
다음 부등식의 해를 구하여라.
(1) |2x + 4| > 8
(2) |x - 2| + 4 < 6
(3) |4x - 2| ≥ 10
절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수 m보다 크면 해는 -m보다 작고 m보다 커요. 절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수 m보다 작으면 해는 -m과 m사이고요.
(1) |2x + 4| > 8
절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수보다 크네요.
2x + 4 > 8
2x > 4
x > 2
2x + 4 < -8
2x < -12
x < -6
따라서 해는 x < -6 or x > 2
(2) 좌변에 절댓값, 우변에 상수 꼴로 바꿔준 다음 계산해요.
|x - 2| + 4 < 6
|x - 2| < 2
정리했더니 절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수보다 작아요.
-2 < x - 2 < 2
0 < x < 4
(3) 부등호가 어떤 건지는 상관없어요. 절댓값이 있는 좌변이 우변의 상수보다 크거나 같으므로 클 때와 똑같은 방법으로 풀면 됩니다.
|4x - 2| ≥ 10
4x - 2 ≤ -10
4x ≤ -8
x ≤ -2
4x - 2 ≥ 10
4x ≥ 12
x ≥ 3
따라서 해는 x ≤ -2 or x ≥ 3
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너무 좋은데 고등학교 2학년것은 왜 없나요? ㅜㅜ 해주세요 정말 도움 많이되는데 ㅜㅜ
1학년 것부터 하나씩 올리는 중입니다.
위에 문제에서 -2<│x-2│<2
여기서 x-2<2인건알겠는데 왜옆에 -2가 붙는건지모르겠어요
절댓값x-2가 음수인건알겠는데...
음수면 옆에 부호를 다르게해서넣어야하나요?
본문을 다시 읽어보세요.
비밀댓글입니다
이번강의 완전이해했으면 잘한거죠?^^
네, 잘 하셨어요.^^
비밀댓글입니다
공식 말고 절대값의 성질을 이용해서 풀면 조금 헷갈리네요.
공식의 유도 과정만 이해했다면 실제 문제를 풀 때는 공식으로 풀면 되죠.
도움 되었습니다~ 이게몇학년과정인가요? 국제학교 재학중이라 여쭤봅니다.
고1 과정이에요.