항등식의 성질에서는 항등식의 기본 꼴인 0x + 0 = 0을 이용해서 모르는 계수를 구했는데요. 이제는 조금 다른 방법을 이용해서 항등식의 계수를 구하는 걸 알아볼 거예요.
항등식의 계수를 구하는 걸 미정계수법이라고 하는데, 계수비교법과 수치대입법의 두 가지가 있어요. 어떤 방법을 이용하더라도 결과는 같아요. 하지만 문제에 따라서 편한 방식이 있으니까 어떤 문제에서 어떤 방법을 사용하는 것이 조금이라도 더 쉽게 푸는 건지 알아두었다가 상황에 맞게 잘 선택하세요.
특히 계수비교법보다는 수치대입법으로 풀어야 하는 문제가 조금 어렵게 나오는 경향이 있으니까 수치대입법에 대해서는 조금 더 신경을 쓰세요.
미정계수법
미정계수법은 이름에서 알 수 있듯이 항등식에서 미정인 계수를 찾아내는 방법이에요. 미정은 아직 정해지지 않았다는 뜻으로 모른다는 거죠. 즉, 구해야 하는 거예요. 계수비교법과 수치대입법의 두 가지가 있어요.
계수비교법
항등식에서 차수별로 각 항의 계수들을 비교해서 모르는 계수를 찾아내는 방법이에요. 항등식의 성질에서 했던 내용을 떠올려 보세요.
ax + b = cx + d가 x에 관한 항등식 ⇔ a = c, b = d
ax2 + bx + c = a'x2 + b'x + c'x에 관한 항등식 ⇔ a = a', b = b', c = c'
좌변과 우변에 있는 동류항끼리 계수가 같으면 항등식이라는 걸 이용하는 게 바로 계수비교법이에요.
ax + 3 = 2x - b가 x에 관한 항등식일 때, a, b를 구해보죠.
좌변의 x항과 우변의 x항의 계수가 같아야 하고, 좌변의 상수항과 우변의 상수항이 같아야 하므로 a = 2, -b = 3에서 b = -3이에요.
계수비교법은 차수별로 계수를 비교해야 하기 때문에 괄호가 있으면 모든 괄호를 풀고, 좌변, 우변에서 동류항 정리를 한 다음에 비교해야 해요.
수치대입법
수치대입법은 식의 x에 임의의 숫자를 대입하는 거예요. 항등식은 모든 x에 대해서 성립하니까 아무 숫자나 넣어도 식이 성립하잖아요. x에 임의의 값을 넣은 다음에 남는 문자들을 연립방정식으로 풀어내는 방법이에요. 수치대입법은 괄호를 풀 필요가 없이 바로 계산할 수 있는 장점이 있어요.
예를 들어 (x + 1)10같은 항이 들어있다면 이걸 전개해서 풀 수는 없겠죠?
x에 값을 대입할 때는 아무 값이나 넣는 게 아니라 모르는 계수가 있는 항을 없앨 수 있는 x값을 대입하는 게 좋아요.
a(x + 1)2 + bx - 3 = 4x2 + 2x + 1를 수치대입법으로 풀어보죠.
모르는 계수는 a, b인데, 첫 번째 a가 있는 항을 0으로 만드는 x는 -1이죠. x = -1이면 a(x + 1)2 = 0이 돼요. x = -1을 대입해보죠.
a(-1 + 1)2 + b × (-1) - 3 = 4 × (-1)2 + 2 × (-1) + 1
-b - 3 = 4 - 2 + 1
b = -6
bx = 0이 되도록 x = 0을 대입해보죠.
a(0 + 1)2 + b × 0 - 3 = 4 × 02 + 2 × 0 + 1
a - 3 = 1
a = 4
a = 4, b = -6이 되었네요.
계수비교법으로 풀어볼까요? 식을 전개해보죠.
a(x + 1)2 + bx - 3 = 4x2 + 2x + 1
a(x2 + 2x + 1) + bx - 3 = 4x2 + 2x + 1
ax2 + 2ax + a + bx - 3 = 4x2 + 2x + 1
ax2 + (2a + b)x + a - 3 = 4x2 + 2x + 1
x2의 계수: a = 4
x의 계수: 2a + b = 2 → b = -6
상수항: a - 3 = 1 → a = 4
계수비교법으로 풀어도 a = 4, b = -6이 나와요.
계수비교법, 수치대입법 중 어느 방법을 선택해서 값을 구해도 결과는 같아요. 문제에 따라서 좀 더 쉬운 방법을 선택해서 값을 찾으면 돼요.
때에 따라서는 계수를 없애지 못할 수도 있는데, 이때는 계수에 곱해지는 수가 1, -1 등 크기가 작은 숫자가 되도록 넣으면 돼요. 예를 들어 위 식에서 x = -2를 넣으면 a(x + 1)2 = a가 되고, x = 1을 넣으면 bx = 1b가 되니까 계산하기가 편해지겠죠?
계수비교법: 괄호를 모두 전개 → 차수별로 계수가 같음을 이용해서 모르는 계수를 구함.
수치대입법: 모르는 계수가 있는 항을 0으로 하거나 가능한 한 작은 수로 만드는 x를 식에 대입하여 모르는 계수를 구함.
다음 식이 x에 관한 항등식일 때, a, b를 구하여라.
(1) a(x + 2)2 - b(x + 3) - c + 1 = 2x2 + 5x + 6
(2) a(x - 1)2 + b(x - 1) + 2c = 3x + 5
(1)번은 계수비교법으로 풀어보죠. 일단 전개를 해서 동류항 정리를 해야겠죠?
a(x + 2)2 - b(x + 3) - c + 1 = 2x2 + 5x + 6
a(x2 + 4x + 4) - bx - 3b - c + 1 = 2x2 + 5x + 6
ax2 + 4ax + 4a - bx - 3b - c + 1 = 2x2 + 5x + 6
ax2 + (4a - b)x + 4a - 3b - c + 1 = 2x2 + 5x + 6
양 변에서 차수가 같은 미지수의 계수가 같아야 하므로 a = 2, 4a - b = 5, 4a - 3b - c + 1 = 6이에요.
a = 2이므로 4a - b = 5에서 b = 3
4a - 3b - c + 1 = 6에 a = 2, b = 3을 대입하면 c = -6
(2)번은 수치대입법으로 풀어보죠. 모르는 계수가 0이 되도록 하는 x = 1이에요. x = 1 대입
a(1 - 1)2 + b(1 - 1) + 2c = 3 + 5
2c = 8
c = 4
그 다음에는 모르는 계수를 0으로 만드는 x는 없어요. 이럴 때는 계산을 쉽게 할 수 있게 계수에 곱해지는 숫자가 작아지도록 x를 대입하는 거예요. x = 0을 대입해보죠. c = 4라는 건 위에서 구했어요.
a(0 - 1)2 + b(0 - 1) + 2 × 4 = 3 × 0 + 5
a - b = -3
이번에는 x = 2를 대입해보죠.
a(2 - 1)2 + b(2 - 1) + 2 × 4 = 3 × 2 + 5
a + b = 3
a - b = -3과 a + b = 3을 연립방정식으로 풀면 a = 0 , b = 3
a = 0, b = 3, c = 4네요.
함께 보면 좋은 글
항등식과 항등식의 성질
나머지정리, 인수정리
방정식 ax + b = 0의 풀이, 부정, 불능
비밀댓글입니다
그냥 오타만 생각했었는데, 맞춤법, 띄어쓰기가 틀린 표현들도 많이 있군요. 고칠 게 많아지겠어요. ㅠㅠ
계수비교법과 수치대입법에 대한 예시 문제의 경운데요.
a(x+1)^2+bx-3=4x^2+2x+4에서
문제가 모순되는 것 같습니다.
수치대입법으로 구했을 경우에는 구하기 쉬운 b, 이를 통한 a의 수를 구하면 되는 문제지만.
계수비교법의 응용을 통한다면, x^2을 결정지을 요소가 a 하나밖에 없으므로 자동적으로 a는 4이외의 어떠한 수도 될 수 없는데,
수치대입법에서는 7이 나온 것처럼..
계다가 수치대입법의 7을 바로 a에 집어넣어서 검산을 한다해도
바로 x^2의 계수는 7이 되어버리더군요.
저도 문제를 검산하다가 처음 깨달았는데
모순이 존재할 수도 있는 것 같아 이렇게 글을 남깁니다.
좋은 지적 고맙습니다. 문제가 잘못되어있어서 고쳤어요.
숨마쿰라우데 라는 책을 공부하고 있는데 "다항식을 전개하여 얻은 등식은 항등식이 된다." 라는 문장이 있는데요 이해가 가지 않습니다. (48p)
방정식과 항등식(http://mathbang.net/230)
참고하세요.
다항식과 방정식의 차이가 뭐죠? 다항식으로 방정식이나 항등식을 구성하고 있는것 아닌가요?
아직도 잘 모르겠습니다. 그리고 다항식의 덧셈과 뺄셈 쪽에도 질문을 했는데요 그것또한 이해가 가지 않네요..
다항식은 기본적으로 등식이 아닙니다. 항이 한개 이상인 식, 예를 들면 x, x+2 와 같은 식입니다. 방정식은 등식의 일부분으로, 등호가 반드시 포함되며, 미지수에 따라 등식의 참, 거짓이 판별되는 등식을 방정식이라고 합니다. 항등식 또한 등식의 일부분이지만 방정식과는 다르게 미지수가 어떤 값이든지 항상 참인 등식입니다.
질문할게 너무 많은데 물어볼 사람이 없네요..
수치 대입법을 이용할 때 '대입하는 수' 의 개수는 '계수에 포함된 문자'의 개수와 같다. 무슨말이죠?
기다리고있습니다^^
바쁘신가봐요 질문을 올렸는데 답변이 안오네요
항과 다항식, 항등식의 개념을 먼저 이해하면 궁금증이 금방 해결될 겁니다.
http://mathbang.net/227
http://mathbang.net/230
비밀댓글입니다
마지막문제요.ㅜㅜ
수치대입법으로 풀어주심 안될까요?
-b-c=3이 나오는데 그뒤론 어케 풀면되요?.ㅜㅜ
수치대입법으로 하려면 미지수가 3개가 나오는데, 이건 따로 방법을 알아야 해요.
x = -2, -3, 0 등을 대입해보면 구할 수는 있어요.
미지수가 3개인 연립일차방정식
http://mathbang.net/352
저 수치대입법에서 모르는 계수를 0으로 만드는 x는 없어요 이럴떄는 계산을 쉽게 할수 있게 계수에 곱해지는 숫자가 작아지도록 x를 대입하는거다라고 하셨는데 숫자가 작아지도록 x를 대입하는거다라는 말이 몬말이에요? 그리고 x에 2를 왜 대입한거에요..ㅠㅠ?
마지막 예제에서 a, b가 계수잖아요. 그 계수에 곱해지는 수가 a는 (x - 1)^2이고 b는 (x - 1)이잖아요.
x - 1 = -1이 되는 x = 0
x - 1 = 1이 되는 x = 2
0과 2가 a, b에 곱해지는 수 (x - 1)^2과 (x - 1)이 가장 작아지는 x의 값이에요.
미지수나 미정계수나 같은 말인가요?
아니요. 미지수는 그냥 모르는 수를 통칭하는 거고, 미정계수는 계수 중에서 정해지지 않은 계수에요.
선생님 안녕하세요 ♥️ 제가 알아내보려 했는데 도저히 답이 안 나와서요 ㅠ. ㅠ 문자 위에 a' 모바일에선 작지만 책에선 큰따옴표에요 ! 이 기호 무슨 뜻인가요?!
a, b, c 처럼 그냥 계수를 나타내는 미지수예요. 특별한 의미는 없어요.
a'로 써도 되고, d로 써도 되고, k로 써도 되고 아무런 상관없어요.
감사합니다 ♥️ 너무 자주 물어보러 오죠 ㅜㅠ 제 머리로 힘써보다가 안되겠으면 선생님께 도움 좀 빌리러 오겠슴당 ♥️🥰
수치대입법을 풀때 2x제곱+x-1=ax(x+1)+b(x+1)(x-1)+cx(x-1) 일때
i x=1양변에 을대입하고
ii x=0을 양변에 대입하고
iii x=-1을 양변에 대입하라는데 이유가 뭔가요?
본문의 수치대입법 부분에 설명되어 있어요.