중학교 수학 교육의 가장 정점에 있는 공식은 누가뭐라해도 이차방정식에서 쓰는 근의 공식이죠. 피타고라스의 정리와 함께요.

이차방정식 중 인수분해를 할 수 있는 경우라면 굳이 근의 공식을 사용하지 않아도 되지만, 그렇지 않다면 근의 공식을 필수로 써야합니다.

그런데, 인수분해되지 않는 이차방정식에서 근의 공식이 아닌 다른 방법으로 근을 구할 수 있어 소개하려고 합니다.

이차방정식을 푸는 새로운 방법

[주말N수학]'아듀~근의 공식' 2차 방정식 쉽게 푸는 새 방법

근의 공식은 완전제곱식을 이용해서 근을 구하는 방법으로 계수를 정해진 위치에 대입, 계산해서 해를 구할 수 있게 한 공식이에요.

그런데 위 글에서 소개한 방법은 두 근과 계수와의 관계, 두 근의 평균과 곱을 이용해서 푸는 방법입니다.

위 글에서 소개한 x2 - 2x - 24 = 0를 다시 한 번 풀어볼까요?

두 근을 α, β라고 해보죠.

근과 계수와의 관계에 따라 두 근의 합 α + β = -(-2) = 2예요.

두 근의 평균은 = 1이고요.

두 근은 평균에서 같은 값만큼 차이가 나므로 이 차이를 u라고 하면 α = 1 + u, β = 1 - u라고 할 수 있어요.

근과 계수와의 관계에 따라 두 근의 곱 α  × β = 24예요.

(1 + u)(1 - u) = -24
1 - u2 = -24
u2 = 25
u = ±5

1) u = 5일 때,

α = 1 + 5 = 6
α = 1 - 5 = -4

2) u = -5일 때,

α = 1 - 5= -4
β = 1 - (-5) = 6

u의 부호와 상관없이 두 근은 -4과 6으로 같아요.

x2 - 2x - 24 = 0
(x - 6)(x + 4) = 0
x = -4 or 6

인수분해해서 구한 값과 같죠? 계산을 간단히 하려고 인수분해가 되는 식을 예제로 했는데, 인수분해가 되지 않는 식도 같은 방법으로 해를 구할 수 있어요.

다시 한 번 정리해 보죠.

  1. 근과 계수와의 관계를 이용해서 두 근의 합을 구한다.
  2. 두 근의 평균을 구하고, 평균을 이용해서 두 근을 나타낸다.
  3. ②에서 구한 두 근의 곱과 근과 계수와의 관계를 이용해서 구한 두 근의 곱이 같다는 등식을 세워 푼다.
    (이 식 역시 이차방정식이긴 하지만 제곱근을 이용해서 풀 수 있습니다.)
  4. ③에서 구한 값을 ②의 근을 나타내는 식에 대입하여 두 근을 구한다.

 

위 과정을 일반적인 이차방정식에서 사용할 때 어떻게 되는지 해봤어요.

이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 두 근을 α, β라고 할 때

1. 근과 계수와의 관계를 이용해서 두 근의 합을 구한다.

근과 계수와의 관계에 따라 두 근의 합 α + β = 죠.

2. 두 근의 평균을 구하고, 평균을 이용해서 두 근을 나타낸다.

두 근의 평균은 이므로 α =  + u, β =  - u로 나타낼 수 있어요.

3. ②에서 구한 두 근의 곱과 근과 계수와의 관계를 이용해서 구한 두 근의 곱이 같다는 등식을 세워 푼다.

근과 계수와의 관계에 따라 두 근의 곱은 α + β =

α × β = 

4. ③에서 구한 값을 ②의 근을 나타내는 식에 대입하여 두 근을 구한다.

α =

β =

 

근의 공식과 다른 형태의 공식이 나올 줄 알았는데, 결과는 기존의 근의 공식과 같네요.

즉, 이 방법은 이차방정식을 푸는 새로운 방법, 근의 공식을 유도하는 새로운 방법일 뿐 근의 공식과 직접 비교할 수 있는 관계는 아니에요. 오히려 이제까지 해왔던 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이법과 비교되는 거예요.

이차방정식을 푸는 새로운 방법이 나왔으니 정말로 이 내용이 교과서에 실릴 지 지켜봐야겠어요. 당연한 얘기지만 이 내용이 실린다고 해서 근의 공식이 교과서에서 빠지는 일은 없을 거예요. 어쩌면 유도 과정이 달라질 수도 있고, 두 방법이 모두 다 실릴 수도 있고요.

두 방법을 직접 해보신 여러 분은 어떤 방법이 더 쉽나요?

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