분수함수의 역함수를 구하는 방법이에요. 분수함수에 대해서 공부했고요, 역함수에 대해서도 공부했어요. 분수함수의 역함수는 이 두 가지를 섞으면 돼요. 새로울 건 없어요.

분수식이기 때문에 계산이 조금 복잡할 수 있는데, 이를 해결하기 위한 공식도 있어요. 공식을 외우면 계산을 하지 않고 역함수를 구할 수 있죠. 어려운 공식은 아니니까 금방 외울 거예요.

분수함수의 역함수도 분수함수인 경우가 많으니까 이 역함수에서 분수함수의 특징인 점근선을 찾는 것, 정의역과 치역을 구하는 것도 해볼 거예요.

분수함수의 역함수

역함수를 구하는 방법은 일반적인 역함수 구하는 법과 같아요.

  1. 함수 y = f(x)가 일대일 대응인지 확인
  2. y = f(x)를 x에 대하여 푼다. → x = f-1(y)
  3. x와 y를 바꾼다. → y = f-1(x)
  4. 함수 f의 정의역과 치역을 서로 바꾼다.

다만 문제에서 알려주는 함수는 모두 일대일대응이기 때문에 따로 확인할 필요는 없으니 1단계는 그냥 건너뛰어도 되죠.

분수함수의 기본형의 역함수를 한 번 구해볼까요?

2단계인 y = f(x)를 x = f-1(y)로 풀어보죠.

3단계는 x, y를 서로 바꾸는 거예요.

4단계는 정의역과 치역을 서로 바꾸는 거죠.

y = f(x)의 정의역은 {x|x ≠ 인 모든 실수}, 치역은 {y|y ≠ 인 모든 실수}
→ y = f-1(x)의 정의역은 {x|x ≠ 인 모든 실수}, 치역은 {y|y ≠ 인 모든 실수}

원래 함수와 역함수를 잘 비교해보세요.

잘 보면 분모의 상수항인 b와 분자의 일차항인 c가 자리를 바꿨고 부호도 반대로 바뀌었어요. 공식처럼 사용하면 되겠죠?

다음 분수함수의 역함수와 역함수의 점근선의 방정식을 구하여라.

(1) 번부터 해볼까요?

공식으로 한번 해보죠. 분모의 상수항과 분자의 일차항의 계수의 자리를 바꾸고 부호도 반대로 해볼게요.

결과가 같네요.

점근선은 x = (분모 = 0인 x값), y = (일차항의 계수비)니까 역함수의 점근선은 x = 3, y = -2가 되겠네요.

(2) 번은 바로 공식으로 역함수를 구해보죠.

점근선의 방정식은 x = 1, y = -1이네요.

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정리해볼까요

분수함수 분수함수의 기본형의 역함수

  • 역함수 구하는 방법 이용
    1. 함수 y = f(x)가 일대일 대응인지 확인
    2. y = f(x)를 x에 대하여 푼다. → x = f-1(y)
    3. x와 y를 바꾼다. → y = f-1(x)
    4. 함수 f의 정의역과 치역을 서로 바꾼다.
  • 공식이용
    • 분모의 상수항과 분자의 일차항의 자리를 바꾼 후 부호를 반대로
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