유리함수 2, 분수함수

분수함수의 모양을 바꾸어 그래프의 특징(정의역, 치역, 점근선, 대칭축)을 구하는 방법을 알아보고 공식을 유도합니다.

유리함수 두 번째로 좀 더 어려운 분수함수를 공부해보죠. 분수함수는 분수식이 나와서 식이 복잡해요. 따라서 원리를 잘 이해해야 복잡한 식을 조금이라도 더 쉽게 파악할 수 있어요. 그리고 마지막에 나오는 결론을 공식처럼 외워두세요. 그래야 답을 구하기 편합니다.

그래프의 특징에 대해서 알아볼 건데, 이건 평행이동으로 이해하면 쉬워요. 평행이동, 점과 도형의 평행이동에서 했던 핵심을 잘 기억하고 있으면 좋지요.

분수함수

분수함수   의 그래프

점과 도형의 평행이동에서 x축 방향으로 p만큼 평행이동하면 x 대신 x - p, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 y 대신 y - q를 대입한다고 했어요

의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동해보죠. x대신 x - p, y 대신 y - q를 대입하고 정리하면 가 돼요.

의 그래프는 어떤 특징이 있을까요?

중학교 때 공부했던 이차함수 그래프, y = (x-p)² + q에서 y = ax²의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 y = ax²의 특징 중 x와 관련된 모든 항목은 p로, y와 관련된 모든 항목은 q로 바뀐다고 했어요. 여기서도 마찬가지예요

의 그래프

점근선	x축 (y = 0), y축 (x = 0)	x = p, y = q
대칭점	(0, 0)	(p, q)
정의역	{x|x ≠ 0인 모든 실수}	{x|x ≠ p인 모든 실수}
치역	{y|y ≠ 0인 모든 실수}	{y|y ≠ q인 모든 실수}
	|k|가 커질수록 대칭점에서 멀어진다.

분모가 0이 될 수 없으므로 x ≠ p인 모든 실수가 정의역이에요. k ≠ 0이니까 y = q가 될 수 없어요. 따라서 치역은 y ≠ q인 모든 실수예요.

분수함수   의 그래프

a = 0, b ≠ 0이면 가 되죠. 이건 분수함수가 아니라 계수가 분수인 다항함수예요. 그래서 a ≠ 0이라는 조건이 붙어요.

또, ad - bc = 0이면 분수함수가 아니라 그냥 상수함수라서 ad - bc ≠ 0이라는 조건이 붙습니다. (분수함수에서 ad - bc ≠ 0인 이유 자세히 보기)

의 그래프는 꼴로 바꿔서 풀어요.

분수함수 모양 바꾸는 과정 열기/닫기

모양을 바꿔보면 가 되는데, 의 그래프를 x축 방향으로 만큼, y축 방향으로 만큼 평행이동한 걸 알 수 있어요.

정의역은 {x|x ≠ 인 모든 실수}, 치역은 {y|y ≠ 인 모든 실수}예요.

점근선은 x = , y = 예요

대칭점은 (, )예요

모든 성질이 , 와 관련이 있는데, 는 분모 = 0이 되게 하는 x값이고, 는 일차항 계수의 비예요. 식에서 바로 구할 수 있겠죠?

의 그래프

• 꼴로 바꾼다.
  →
• 정의역은 {x|x ≠ 인 모든 실수}, 치역은 {y|y ≠ 인 모든 실수}
• 점근선: x = (분모가 0이 되는 x값), y = (일차항 계수의 비)
  x = , y =
• 대칭점: (분모가 0이 되는 x값, 일차항 계수의 비)
  (, )

함수 의 점근선의 방정식을 구하여라.

의 점근선은 x = (분모가 0이 되는 x값), y = (일차항 계수의 비)에요.

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정리해볼까요

의 그래프

의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동

• 점근선은 x = p, y = q
• 점 (p, q)에 대하여 대칭
• 정의역 = {x|x ≠ p인 모든 실수}
• 치역 = {y|y ≠ 0인 모든 실수}

의 그래프

• 꼴로 바꾼다.
• 점근선: x = (분모가 0이 되는 x값), y = (일차항의 계수비)
• 대칭점: (분모가 0이 되는 x값, 일차항의 계수비)

유리함수, 다항함수, 분수함수, 점근선

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분수함수의 역함수