연립부등식의 영역은 부등식의 영역 두 개를 합쳐놓은 걸 말해요. 부등식을 두 개 이상 합쳐놓은 게 연립부등식이니까요.
연립부등식을 푸는 방법과 연립부등식의 영역을 구하는 방법은 근본적으로 같아요. 연립부등식에서는 수직선에 그렸다면 연립부등식의 영역에서는 좌표평면에 그림을 그린다는 차이가 있을 뿐이에요.
그래프를 그려야 해서 복잡해 보이지만 (연립부등식의 영역) = (부등식의 영역) + (연립부등식) 이라는 사실만 기억하고, 관련된 두 내용만 잘 기억하고 있다면 크게 어렵지는 않을 거예요.
연립부등식의 영역
연립부등식의 풀이에서는 각각의 부등식의 해를 구하고 이를 수직선에 그려서 공통인 부분의 해를 찾았어요. 연립부등식의 영역도 똑같아요. 각각의 부등식의 영역을 그린 다음 공통인 부분을 구하면 됩니다.
f(x, y) = 0은 원의 방정식, g(x, y) = 0은 직선의 방정식이라고 한다면, f(x, y) < 0, g(x, y) > 0의 그래프는 아래와 같아요.
f(x, y) < 0, g(x, y) > 0의 공통부분을 칠한 오른쪽 그림이라는 연립부등식의 영역이 됩니다.
식과 부등호의 방향은 바뀌겠지만, 그 방법은 모두 같아요.
연립부등식의 영역
각각의 부등식의 영역을 그린다.
두 부등식의 영역의 공통부분(교집합)을 구한다.
곱으로 표시된 연립부등식의 영역
이번에는 연립부등식이 조금 다른 형태인데요.
f(x, y)·g(x, y) < 0이라는 부등식이에요.
두 식을 곱해서 0보다 작다는 얘기는 부호가 서로 반대라는 얘기예요. 하나가 양수이면 다른 하나는 음수여야 하죠.
총 네 개의 부등식의 영역 그러니까 두 개의 연립부등식의 영역이 생겼어요. or이니까 연립부등식의 영역 두 개를 합한 거예요.
좀 복잡하지만, 집합으로 나타내보면 다음과 같아요.
[{f(x, y) > 0} ∩ {g(x, y) < 0}] ∪ [{f(x, y) > 0} ∩ {g(x, y) < 0}]
이번에는 f(x, y)·g(x, y) > 0을 보죠.
어떤 두 식을 곱해서 0보다 크다는 말은 두 식이 모두 양수이거나 모두 음수여야 하죠?
역시 마찬가지로 네 개의 부등식의 영역, 두 개의 연립부등식이 생겼어요. or이니까 역시 각각의 연립부등식의 영역을 구한 다음 서로 합쳐야 하죠.
부등식의 영역을 네 개가 구해야 하고, 어떤 건 교집합, 어떤 건 합집합이어서 상당히 복잡하죠? 쉽게 구하는 방법이 있어요.
곱으로 표시된 연립부등식의 영역 구하는 순서
- f(x, y) = 0, g(x, y) = 0의 도형의 방정식을 그린다.
- 경계선 위에 있지 않은 임의의 점을 처음 부등식에 대입한다. 계산이 편리한 (0, 0), (1, 0) 등
- 조건에 맞는 영역을 칠한다.
- 대입한 점이 부등식을 만족하면 그 점이 속한 영역 및 건너뛴(이웃하지 않은) 영역
- 대입한 점이 부등식을 만족하지 않으면 그 점이 속하지 않은 영역 및 건너뛴(이웃하지 않은) 영역
다음 부등식의 영역을 좌표평면 위에 나타내어라.
(1)
(2) (x + y - 1)(x2 + y2 - 4) < 0
x2 + y2 < 4의 영역은 왼쪽 그림이고 x + y - 1< 0의 영역은 가운데, 이 둘의 공통부분이 오른쪽 그림이에요.
(2) 번. (x + y - 1)(x2 + y2 - 4) < 0
두 개의 연립부등식의 영역으로 나눠서 구해도 되고, 점을 대입해서 영역을 구해도 돼요. x + y - 1 = 0과 x2 + y2 - 4 = 0의 그래프를 좌표평면에 그렸더니 네 개의 영역으로 나뉘어졌어요.
(0, 0)은 경계선 위에 있지 않으므로 점을 대입해보면
(0 + 0 - 1)(02 + 02 - 4) < 0
4 < 0
부등식을 만족하지 않으므로 (0, 0)이 포함되어 있지 않은 ①번 영역과 ① 영역의 건너뛴(이웃하지 않은) ③ 영역이 구하는 영역이 되겠네요.
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부등식의 영역 - y > f(x), y < f(x)
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[중등수학/중2 수학] - 연립부등식, 연립부등식의 풀이
[중등수학/중2 수학] - 여러가지 연립부등식
좋은 설명감사드려요~ㅎㅎ
좋은 댓글이네요. ㅎㅎ
감사요
네
좋은설명감사합니다~~~!
네, 댓글 고맙습니다. ㅎㅎ
경계선 위에 있지않은 임의의 점은 어떻게 구하나요?
특별히 구하는 건 아니고, 본문에 있는 것처럼 (0, 0), (1, 0) 등 계산이 편리한 점 아무거나 그냥 사용하면 돼요.
구역나눌때 x축 y축은 포함이 안되는건가요?
축의 일부분이 영역안에 있다면 당연히 포함되어야죠. 영역에 포함되어 있지 않은 축의 나머지 부분은 아니고요.
비밀댓글입니다
부등식의 영역을 찾는 방법은 위와 같아요. 임의의 점의 좌표를 대입해서 만족하면 칠하고 아니면 그냥 두는 거요. 다만 그래프를 그리는 방법이 조금 다르죠.
-1을 이항하면 양쪽 모두 완전제곱식으로 모두 양수죠. 양수하면 대표적인게 절댓값이에요. 따라서 위 식의 그래프를 그리는 방법은 절댓값이 포함된 식의 그래프(http://mathbang.net/448)를 그리는 방법과 비슷해요. 참고해서 그려보세요.
이해가 잘되게 글을 잘쓰시네요 감사합니다
댓글 고맙습니다. 이해하신 거 머릿속에 오래오래 담아두세요.
비밀댓글입니다
가운데 그래프입니다.
질문이 잘못됐네요...
g(x,y) 그래프에서 왜 점선이 왼쪽으로 향하는지 궁금해요
부등식의 영역(http://mathbang.net/466), 부등식의 영역 2(http://mathbang.net/467)를 참고하세요.
고맙습니다 다음장ㄱㄱ~
ㄱㄱ~
건너뛰는 방법은 연속함수일때만 가능한데...
당연히 연속이라는 전제를 갖고 풀어야 하는 내용이니 연속인지 아닌지는 고려 대상이 아니죠.