우리가 그리는 좌표평면은 x, y의 값의 한계가 없어요. 끝도 없이 이어지는 영역이라서 최대, 최소를 찾는 게 불가능할 때가 많아요. 이차함수의 최대 최소에서는 최댓값과 최솟값 중 하나만 가지는 경우가 많았어요.
부등식의 영역과 최대, 최소는 일정한 한계가 있는 부등식의 영역 안에서 특정한 값과 식들의 최대, 최소를 구하는 거예요. 한계가 있는 영역이기 때문에 최댓값과 최솟값을 둘 다 구할 수 있어요.
부등식의 영역에서 최댓값과 최솟값을 구하는 방법에 대해서 알아보죠.
부등식의 영역과 최대, 최소
부등식의 영역에서 특정한 값들의 최대, 최소를 구하는 거예요.
x2 + y2 ≤ 4의 영역에서 (x, y)가 움직일 때, x + y의 최댓값과 최솟값을 구해보죠.
x + y = k라고 하면
x + y = k → y = -x + k
y = -x + k에서 k는 이 직선의 방정식의 y절편이므로 y절편의 최댓값과 최솟값을 구하면 돼요.
x2 + y2 ≤ 4의 부등식의 영역과 x + y = k의 그래프를 좌표평면 위에 그려보죠.
y = -x + k는 기울기는 -1로 일정하고 y절편만 바뀌는 직선이니까 m과 n 사이의 직선이에요. m일 때, y절편 즉 k가 최대가 되고, n일 때 k가 최소가 되죠.
k값의 의미는 이해했죠? 그럼 k를 어떻게 구할 거냐? 경계선 x2 + y2 = 4와 직선 y = -x + k가 만나는 점이 있죠? 접점이 있으니까 y = -x + k는 x2 + y2 = 4의 접선의 방정식이에요.
기울기를 알 때 원의 접선의 방정식에서 기울기가 m이고 원에 접하는 방정식은 y = mx ±r
이 경우에는 기울기가 -1이고 반지름은 2네요.
y절편이 k이고, k는 x + y이니까 x + y의 최댓값은 
부등식의 영역에서 최대, 최소를 구하는 방법
- 주어진 부등식의 영역을 좌표평면에 그린다.
- 최대, 최소를 구하는 식 f(x, y) = k로 놓고 이 그래프를 부등식의 영역 안에서 움직여본다.
- k가 최대, 최소일 때의 값을 구한다.
k를 구하는 방법은 여러 가지가 있어요. 하지만 대게 최대, 최소인 값은 접점이나 교점 등에서 생기므로 교점의 좌표를 이용하거나 접점의 성질을 이용하면 k를 구할 수 있어요. 위 경우에서는 접점일 때 최대, 최소가 되었죠?
x ≥ , y ≥ 0인 실수 x, y가 x + y ≤ 1을 만족할 때, x - y의 최댓값 최솟값을 구하여라.
x ≥ , y ≥ 0, x + y ≤ 1의 세 부등식으로 된 부등식의 영역을 좌표평면 위에 그려보죠. 그리고 x - y = k라고 놓으면, y = x - k가 되니까 이 그래프도 그려보고요.
x - y = k의 그래프는 m과 n 사이의 직선으로 교점인 (1, 0)을 지날 때와 (0, 1)을 지날 때 최대, 최소를 가져요.
(1, 0)을 지날 때: x - y = 1 - 0 = 1
(0, 1)을 지날 때: x - y = 0 - 1 = -1
따라서 x - y의 최댓값은 1, 최솟값은 -1입니다.
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