우리가 그리는 좌표평면은 x, y의 값의 한계가 없어요. 끝도 없이 이어지는 영역이라서 최대, 최소를 찾는 게 불가능할 때가 많아요. 이차함수의 최대 최소에서는 최댓값과 최솟값 중 하나만 가지는 경우가 많았어요.

부등식의 영역과 최대, 최소는 일정한 한계가 있는 부등식의 영역 안에서 특정한 값과 식들의 최대, 최소를 구하는 거예요. 한계가 있는 영역이기 때문에 최댓값과 최솟값을 둘 다 구할 수 있어요.

부등식의 영역에서 최댓값과 최솟값을 구하는 방법에 대해서 알아보죠.

부등식의 영역과 최대, 최소

부등식의 영역에서 특정한 값들의 최대, 최소를 구하는 거예요.

x2 + y2 ≤ 4의 영역에서 (x, y)가 움직일 때, x + y의 최댓값과 최솟값을 구해보죠.

x + y = k라고 하면
x + y = k → y = -x + k
y = -x + k에서 k는 이 직선의 방정식의 y절편이므로 y절편의 최댓값과 최솟값을 구하면 돼요.

x2 + y2 ≤ 4의 부등식의 영역과 x + y = k의 그래프를 좌표평면 위에 그려보죠.

부등식의 영역과 최대, 최소

y = -x + k는 기울기는 -1로 일정하고 y절편만 바뀌는 직선이니까 m과 n 사이의 직선이에요. m일 때, y절편 즉 k가 최대가 되고, n일 때 k가 최소가 되죠.

k값의 의미는 이해했죠? 그럼 k를 어떻게 구할 거냐? 경계선 x2 + y2 = 4와 직선 y = -x + k가 만나는 점이 있죠? 접점이 있으니까 y = -x + k는 x2 + y2 = 4의 접선의 방정식이에요.

기울기를 알 때 원의 접선의 방정식에서 기울기가 m이고 원에 접하는 방정식은 y = mx ±r이었어요.

이 경우에는 기울기가 -1이고 반지름은 2네요.

y절편이 k이고, k는 x + y이니까 x + y의 최댓값은 2 root 2, x + y의 최솟값은 -2 root 2가 되겠네요.

부등식의 영역에서 최대, 최소를 구하는 방법

  1. 주어진 부등식의 영역을 좌표평면에 그린다.
  2. 최대, 최소를 구하는 식 f(x, y) = k로 놓고 이 그래프를 부등식의 영역 안에서 움직여본다.
  3. k가 최대, 최소일 때의 값을 구한다.

k를 구하는 방법은 여러 가지가 있어요. 하지만 대게 최대, 최소인 값은 접점이나 교점 등에서 생기므로 교점의 좌표를 이용하거나 접점의 성질을 이용하면 k를 구할 수 있어요. 위 경우에서는 접점일 때 최대, 최소가 되었죠?

x ≥ , y ≥ 0인 실수 x, y가 x + y ≤ 1을 만족할 때, x - y의 최댓값 최솟값을 구하여라.

x ≥ , y ≥ 0, x + y ≤ 1의 세 부등식으로 된 부등식의 영역을 좌표평면 위에 그려보죠. 그리고 x - y = k라고 놓으면, y = x - k가 되니까 이 그래프도 그려보고요.

부등식의 영역과 최대, 최소 - 예제

x - y = k의 그래프는 m과 n 사이의 직선으로 교점인 (1, 0)을 지날 때와 (0, 1)을 지날 때 최대, 최소를 가져요.

(1, 0)을 지날 때: x - y = 1 - 0 = 1
(0, 1)을 지날 때: x - y = 0 - 1 = -1

따라서 x - y의 최댓값은 1, 최솟값은 -1입니다.

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정리해볼까요

부등식의 영역에서 최대, 최소를 구하는 방법

  1. 주어진 부등식의 영역을 좌표평면에 그린다.
  2. 최대, 최소를 구하는 식 f(x, y) = k로 놓고 이 그래프를 부등식의 영역 안에서 움직여본다.
  3. k가 최대, 최소일 때의 값을 구한다.
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