항등식은 중학교 1학년 때 방정식을 배우면서 잠깐 공부했어요. [중등수학/중1 수학] - 방정식과 항등식, 등식의 뜻. 항등식이 뭔지 알아보고, 주어진 식이 항등식인지 아닌지 판단하면 됐었죠.

고등학교에서 공부하는 항등식의 뜻은 똑같아요. 다만 이제는 하나의 식을 주면서 항등식이라는 걸 미리 알려줘요. 그 대신에 주어진 식에서 여러 가지 값을 구하는 거죠.

이런 값을 구하는 방법에서 가장 먼저 생각해야 하는 게 항등식의 성질인데, 이 글에서는 항등식의 성질을 공부할 겁니다.

항등식

등식은 등호를 이용해서 등호 양쪽이 서로 같다는 걸 나타내는 식이에요. 등식에서는 미지수를 사용하기도 하는데, 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식을 방정식이라고 하죠. 미지수가 있지만 미지수에 상관없이 항상 성립하는 등식을 항등식이라고 해요.

항등식을 여러 가지 다른 표현을 사용하기도 해요. 다음은 모두 다 항등식을 나타내는 표현이니까 알아두세요.

모든 x에 대하여 … 일 때
임의의 x에 대하여 … 일 때
어떠한 x에 대하여도 … 일 때
x에 관계없이 … 일 때
x에 대한 항등식 …

항등식의 성질

ax + b = 0이라는 식이 x에 관한 항등식일 때, a, b의 값을 알아보죠.

x가 어떤 값을 갖더라도 이 등식은 참이 되므로
x = 1일 때, a + b = 0
x = 2일 때, 2a + b = 0
x = 3일 때, 3a + b = 0

세 개 중에 두 개를 선택하면 연립방정식이죠? a + b = 0, 2a + b = 0에서 a = 0, b = 0이라는 값을 구할 수 있어요.

0x + 0 = 0이라는 거죠. 이건 모든 항등식의 기본 꼴이라고 할 수 있어요. 미지수의 계수도 0, 상수항 0, 우변도 0이죠.

ax2 + bx + c = 0이 항등식일 때는 어떨까요? 이것도 마찬가지로 x2, x, 상수항, 우변이 모두 0이면 항등식이에요. 즉, a = b = c = 0이면 항등식인 거죠.

ax + b = cx + d이 항등식일 때, a, b, c, d를 구해볼까요? 우변에 있는 항들을 모두 좌변으로 이항시켜보죠.
ax + b = cx + d
(a - c)x + b - d = 0

x의 계수 a - c = 0, 상수항 b - d = 0이면 항등식이에요. 따라서 a = c, b = d에요.

ax2 + bx + c = a'x2 + b'x + c'
(a - a')x2 + (b - b')x + c - c' = 0
a = a', b = b', c = c' 이면 항등식이 돼요.

모든 항을 좌변으로 이항 → 동류항 정리 → 0x + 0 = 0이면 항등식
ax + b = 0이 x에 대한 항등식 ⇔ a = b = 0
ax2 + bx + c = 0이 x에 대한 항등식 ⇔ a = b = c = 0

좌변과 우변에서 차수가 같은 문자의 계수끼리 서로 같으면 항등식
ax + b = cx + d가 x에 대한 항등식 ⇔ a = c, b = d
ax2 + bx + c = a'x2 + b'x + c가 x에 대한 항등식 ⇔ a = a', b = b', c = c'

임의의 x에 대하여 다음이 성립할 때, a, b, c의 값을 구하여라.
(1) a(x - 2)2 + b(x + 3) + (c + 4) = 0
(2) a(x + 1)2 + bx - c - 3 = 4x2 + 2x + 4

임의의 x에 대하여 성립한다는 말은 항등식이라는 얘기죠.

(1)번은 일단 전개부터 해야겠네요. 모든 항을 좌변으로 이항했을 때, x의 계수와 상수항이 0이면 항등식이에요

a(x - 2)2 + b(x + 3) + (c + 4) = 0
a(x2 - 4x + 4) + bx + 3b + c + 4 = 0
ax2 - 4ax + 4a + bx + 3b + c + 4 = 0
ax2 + (b - 4a)x + 4a + 3b + c + 4 = 0

a = 0, b - 4a = 0, 4a + 3b + c + 4 = 0 이면 항등식이므로 a = 0, b = 0, c = -4

(2)도 전개해야 하는데, 우변에 식이 있어요. 좌변으로 모두 이항해서 x의 계수와 상수항이 0인지 확인해도 되고요. 아니면 좌변을 전개해서 우변에 있는 계수들과 같은 값을 가질 때 a, b, c를 구해도 되죠.

a(x + 1)2 + bx - c - 3 = 4x2 + 2x + 4
a(x + 2x + 1) + bx - c - 3 = 4x2 + 2x + 4
ax2 + 2ax + a + bx - c - 3 = 4x2 + 2x + 4
ax2 + (2a + b)x + (a - c - 3) = 4x2 + 2x + 4

a = 4, 2a + b = 2, a - c - 3 = 4면 항등식이에요.
a = 4, b = -6, c = -3

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정리해볼까요

항등식: 미지수 x가 들어있지만 x에 관계없이 항상 참인 등식

  • 모든 항을 좌변으로 이항하여 동류항 정리를 끝낸 형태가 0x + 0 = 0이면 항등식
  • ax + b = 0이 x에 관한 항등식 ⇔ a = b = 0
  • ax2 + bx + c = 0이 x에 관한 항등식 ⇔ a = b = c = 0
  • ax + b = cx + d가 x에 관한 항등식 ⇔ a = c, b = d
  • ax2 + bx + c = a'x2 + b'x + c'가 x에 관한 항등식 ⇔ a = a', b = b', c = c'
다항식의 나눗셈
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