유리식은 종류가 많아요. 부분분수 공식, 번분수, 가비의 리, 비례식 등이 있지요. 그 외도 여러 가지 분수식이 있는데, 여기서 다뤄볼게요.
여러 가지 유리식의 풀이에서는 그 전에 공부했던 곱셈공식, 인수분해 공식 등을 활용해야 합니다. 다 기억하고 있어야겠죠? 문제에 조건식과 답을 구해야 하는 식 두 가지가 나오는데, 조건식을 여러 공식을 이용해서 모양을 바꾸어 문제의 식에 대입해서 답을 구합니다.
모양을 바꾸는 방법은 몇 가지 유형이 있으니까 유형만 잘 알고 있으면 돼요. 문제의 유형과 풀이법을 알아보죠.
유리식의 계산
조건식이 방정식일 때
조건이 방정식일 때는 방정식의 모양을 바꿔서 분수식으로 만드는데 이때 곱셈공식이나 곱셈공식의 변형을 이용해요. 가장 많이 나오는 게 분수꼴 곱셈 공식의 변형이에요.
아래 공식을 잘 기억해두세요. 유도하는 과정은 곱셈공식의 변형에 나와 있어요.
x2 + x + 1 = 0일 때 다음을 구하여라.
(1) x3
(2) x3 +
(1) 인수분해 공식 중에 a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2 ), a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)이 있어요.
x2 + x + 1 = 0의 양변에 (x - 1)을 곱해보죠.
x2 + x + 1 = 0
(x - 1)(x2 + x + 1) = 0·(x - 1)
x3 - 1 = 0
x3 = 1
x2 - x + 1 = 0이었다면 양변에 x + 1을 곱해서 같은 방법으로 풀면 돼요.
(2) 이죠? 그러니까 x2 + x + 1 = 0으로 x +
의 값을 구해야 해요.
x2 + x + 1 = 0
x2 + 1 = -x
x + = -1 (∵ 양변 ÷ x)
좌변에 x = 0을 대입하면 식이 성립하지 않으므로 x = 0이 아니에요. 따라서 양변을 x로 나눌 수 있어요. 양변을 x로 나누면 분수꼴이 돼요.
= (-1)3 - 3(-1)
= -1 + 3
= 2
이차방정식이 조건식으로 주어졌을 때, 일차항을 이항하고 양변을 x로 나누는 방법은 자주 사용하는 방법이니까 잘 기억해두세요.
조건식이 두 문자가 있는 등식일 때
이번에도 조건식을 문제에 맞게 변형해야 해요. 조건식이 등식이면 한 문자에 대하여 정리합니다. 정리한 문자를 식에 대입해서 한 문자에 관한 식으로 바꾸면 문자는 약분돼 없어지고 숫자만 남아요.
조건식이 방정식일 때: 곱셈공식, 곱셈공식의 변형을 이용하여 방정식을 변형
조건식이 등식일 때: 한 문자에 관해 정리한 후 문제에 대입
4x = 2y일 때 을 구하여라.
4x = 2y이므로 y에 대하여 정리하면
y = 2x
y= 2x를 문제에 대입
x = 2y = 3z일 때, 을 구하여라.
x = 2y
y = x
x = 3z
z = x
y와 z에 대하여 정리했으니까 이걸 문제에 대입해보죠.
마지막에는 번분수의 성질을 이용해서 약분도 하고, 분수로 바꾼 겁니다.
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가비의 리, 비례식 푸는 법
곱셈공식, 곱셈공식 유도
곱셈공식의 변형, 곱셈공식의 변형 유도
비밀댓글입니다
계속계속 올리고 있어요. ㅋ
*블로그이벤트*
(1)에 인수분해 공식이 두개나 잘못 됐어요.
맨 첫줄 a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 + ab +^2 )이렇게만 되어 있는데
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 + ab +b^2) b가 빠졌네요.
두번째 이것도 이 공식에서 잘못 된건데요
a^3 + b^3은 (a + b)(a^2 - ab +b^2 ) 가운데가 -랍니다^^
네, 확인했습니다. ㅎㅎ
마지막 파란문제.에서요
문제의 주어진 식이
풀이에서의 식과 달라요
풀이에선 분자의 y^3과 z^3앞에 2, 3이라고 계수가 생겼어요.
네.
유리식의 계산
조건이 방정식일때
밑에요 a3제곱b3제곱 옆에 풀이 식에 b제곱인데 제곱만잇고 b가 빠져잇어요 ㅎㅎ 친구들이 헷갈릴까봐 말씀드려여
네, 수정했습니다. ^^
조건식이 두 문자가 있는 등식 예제2개에서요...
1번 문제. y에 관해(대해)서 정리하면 (y=2x)
2번 문제. y과z 를 x에 관해(대해)서 정리했으니까 (y=1/2x , z=1/3x) <-- x에 관해(대해)서 정리면
x=아무개 이런식으로 나오지 않나요 'x에 관한(대한)식'이라고 고쳐야 맞는거죠?
네, 그게 맞네요.
비밀댓글입니다
비례식은 아니고, k를 이용해서 비례식 푸는 것처럼 풀 수도 있는데, 식이 틀렸네요.
x = 2y = 3z를 굳이 바꾼다면 모든 변을 6으로 나눠서 x/6 = y/3 = z/2 = k가 되죠.
그럼 x = 6k, y = 3k, z = 2k가 되고요.
마지막 문제 : 주어진 조건을 이용 3X^3 /XYZ = 3X^2/YZ) => X,Y관계에 따라 3*4Y^2 / YZ = 3*4Y/ Z = (3*4*3/2*Z)/ Z = 18 아닌가요?
주어진 조건으로는 3X^3/XYZ 가 나오질 않죠.