여러가지 유리식의 풀이

유리식은 종류가 많아요. 부분분수 공식, 번분수, 가비의 리, 비례식 등이 있지요. 그 외도 여러 가지 분수식이 있는데, 여기서 다뤄볼게요.

여러 가지 유리식의 풀이에서는 그 전에 공부했던 곱셈공식, 인수분해 공식 등을 활용해야 합니다. 다 기억하고 있어야겠죠? 문제에 조건식과 답을 구해야 하는 식 두 가지가 나오는데, 조건식을 여러 공식을 이용해서 모양을 바꾸어 문제의 식에 대입해서 답을 구합니다.

모양을 바꾸는 방법은 몇 가지 유형이 있으니까 유형만 잘 알고 있으면 돼요. 문제의 유형과 풀이법을 알아보죠.

조건이 방정식일 때는 방정식의 모양을 바꿔서 분수식으로 만드는데 이때 곱셈공식이나 곱셈공식의 변형을 이용해요. 가장 많이 나오는 게 분수꼴 곱셈 공식의 변형이에요.

아래 공식을 잘 기억해두세요. 유도하는 과정은 곱셈공식의 변형에 나와 있어요.

곱셈 공식의 변형 - 분수꼴

x² + x + 1 = 0일 때 다음을 구하여라.
(1) x³
(2) x³ +

(1) 인수분해 공식 중에 a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b² ), a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)이 있어요.

x² + x + 1 = 0의 양변에 (x - 1)을 곱해보죠.
x² + x + 1 = 0
(x - 1)(x² + x + 1) = 0·(x - 1)
x³ - 1 = 0
x³ = 1

x² - x + 1 = 0이었다면 양변에 x + 1을 곱해서 같은 방법으로 풀면 돼요.

(2) 이죠? 그러니까 x² + x + 1 = 0으로 x + 의 값을 구해야 해요.

x² + x + 1 = 0
x² + 1 = -x
x + = -1 (∵ 양변 ÷ x)

좌변에 x = 0을 대입하면 식이 성립하지 않으므로 x = 0이 아니에요. 따라서 양변을 x로 나눌 수 있어요. 양변을 x로 나누면 분수꼴이 돼요.

= (-1)³ - 3(-1)
= -1 + 3
= 2

이차방정식이 조건식으로 주어졌을 때, 일차항을 이항하고 양변을 x로 나누는 방법은 자주 사용하는 방법이니까 잘 기억해두세요.

이번에도 조건식을 문제에 맞게 변형해야 해요. 조건식이 등식이면 한 문자에 대하여 정리합니다. 정리한 문자를 식에 대입해서 한 문자에 관한 식으로 바꾸면 문자는 약분돼 없어지고 숫자만 남아요.

조건식이 방정식일 때: 곱셈공식, 곱셈공식의 변형을 이용하여 방정식을 변형
조건식이 등식일 때: 한 문자에 관해 정리한 후 문제에 대입

4x = 2y일 때 을 구하여라.

4x = 2y이므로 y에 대하여 정리하면
y = 2x

y= 2x를 문제에 대입

x = 2y = 3z일 때, 을 구하여라.

x = 2y
y = x

x = 3z
z = x

y와 z에 대하여 정리했으니까 이걸 문제에 대입해보죠.

마지막에는 번분수의 성질을 이용해서 약분도 하고, 분수로 바꾼 겁니다.

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