우리가 지금까지 공부했던 방정식에서는 미지수의 개수와 식의 개수가 같았어요. 차수와 상관없이 미지수가 x 하나이면 식은 한 개만 있어도 됐어요. 연립방정식에서 미지수가 x, y 두 개면 식은 두 개, 미지수가 x, y, z 세 개였다면 식은 세 개였고요. 식이 더 많은 건 상관없어요. 식을 골라서 사용하면 되니까요.
그런데 이글에서 공부할 부정방정식은 미지수의 개수가 식의 개수보다 많아요. 미지수는 x, y 두 개인데, 식은 한 개밖에 없지요. 이처럼 미지수의 개수가 식의 개수보다 많은 부정방정식을 어떻게 풀어야하는지 알아보죠.
부정방정식
부정방정식은 미지수의 개수보다 식의 개수가 적어 근이 무수히 많아 근을 정할 수 없는 방정식을 말해요. 방정식 ax + b = 0의 풀이, 부정과 불능에서 부정은 근이 무수히 많을 때라고 했어요.
해가 무수히 많으면 딱 찍어서 '이게 해입니다.' 할 수 없잖아요. 부정방정식의 부정은 '아니다'는 뜻의 부정(不正)이 아니라 '일정하지 않다'는 뜻의 부정(不定)이라는 거 잊지 마세요.
따라서 부정방정식의 해를 딱 정해서 얘기하려면 식이 아닌 다른 조건이 더 주어져야 하는데 그게 바로 근의 종류예요. 근이 실수인지 정수인지 알려주는 거죠.
부정방정식
(식의 개수) < (미지수의 개수)
근에 대한 자연수, 정수, 실수 조건
정수 조건이 주어진 부정방정식
방정식이 주어지고, 해가 정수라는 조건이 있다면 그 방정식을 (일차식) × (일차식) = (정수) 꼴로 바꿔서 풀어요. 어떤 두 수를 곱해서 정수가 되는 경우를 순서쌍으로 나타내고 각 일차식이 순서쌍의 숫자에 해당할 때 미지수의 값을 구하는 거죠.
곱의 형태로 바꿀 때는 대부분 인수분해를 이용하면 돼요. 하지만 때에 따라서는 주어진 식을 그대로 이용하면 안 되고, 숫자를 더하거나 빼서 변형해야 하는 경우도 있어요. 인수분해가 바로 되지 않을 때는 이런 것도 고려하세요.
정수 조건이 주어진 부정방정식
(일차식) × (일차식) = (정수)로 변형
순서쌍을 만들어 미지수의 값을 구함
다음 식을 만족하는 정수 x, y를 구하여라.
(1) xy = 1
(2) xy + x + y + 1 = 2
(3) xy + x + y = 1
(1)은 이미 곱의 형태로 되어 있네요. 어떤 두 수를 곱해서 1이 되는 순서쌍은 (1, 1), (-1, -1)이에요. 따라서 해는 x = 1, y = 1 or x = -1, y = -1이에요.
(2)번은 곱의 꼴로 바꿔야 해요. 인수분해를 해보죠.
xy + x + y + 1 = 2
x(y + 1) + y + 1 = 2
(x + 1)(y + 1) = 2
순서쌍을 구해보면 아래 표처럼 나타낼 수 있어요.
x + 1 | 1 | -1 | 2 | -2 |
y + 1 | 2 | -2 | 1 | -1 |
x + 1 = 1일 때, y + 1 = 2이므로 x = 0, y = 1이에요.
이런 식으로 구해보면 (0, 1), (-2, -3), (1, 0), (-3, -2)가 해입니다.
(3)은 좌변이 인수분해가 되지 않아요. 그래서 인수분해가 되도록 숫자를 더해주거나 빼줘야 하죠.
xy + x + y = 1
x(y + 1) + y = 1
x(y + 1) + y + 1 = 2 (∵ 양변 + 1)
(x + 1)(y + 1) = 2
(2)번과 똑같죠? 여기서는 숫자를 더해주고 빼주고 하는 게 중요해요. 하나 더 해보죠.
xy - 3x + y - 10 = 0
x(y - 3) + y - 10 = 0
x(y - 3) + (y - 3) - 7 = 0 (∵ -10 = -3 - 7)
(x + 1)(y - 3) = 7
이렇게 바꾸는 연습을 좀 많이 하세요.
실수 조건이 주어진 부정방정식
실수 조건이 주어진 경우에는 단순 곱으로는 해결이 안 되요. xy = 1을 만족하는 실수는 너무 많아요. 그래서 단순히 곱이 아닌 제곱의 합으로 나타내야 해요.
실수 조건이 주어진 부정방정식
a2 + b2 = 0의 꼴로 변형
a = 0, b = 0을 만족하는 미지수 구하기
실수는 제곱하면 무조건 0보다 크거나 같아요. 순허수는 제곱하면 0보다 작죠. 이걸 이용하는 거예요. 어떤 실수를 제곱해서 더했더니 0이 되었다는 말은 두 실수가 모두 0이라는 거예요. 0보다 크거나 같은 두 수를 더해서 0이 되려면 둘 다 0일 때 빼고는 없으니까요.
a, b는 숫자일 수도 있고, 완전제곱식일 수도 있어요.
a2 + b2 = 0 ⇔ a = 0 and b = 0
다음 식을 만족하는 실수 x, y를 구하여라.
(1) (x - 2)2 + y2 = 0
(2) x2 + 5y2 - 4xy - 2y + 1 = 0
실수 조건이 주어진 부정방정식은 문제를 완전제곱식 또는 숫자의 제곱의 합으로 바꿔서 풀어야 해요.
(1) 이미 완전제곱식의 합꼴로 되어 있네요.
x - 2 = 0이므로 x = 2
y = 0
(2)번은 식이 조금 복잡한데요. x에 대해서 내림차순으로 정리해보죠.
x2 + 5y2 - 4xy - 2y + 1 = 0
x2 - 4xy + 5y2 - 2y + 1 = 0
x2 - 4xy + 4y2 + y2 - 2y + 1 = 0 (∵ 5y2 = 4y2 + y2)
(x - 2y)2 + (y - 1)2 = 0
x - 2y = 0, y - 1 = 0에서 x = 2, y = 1
여기서는 5y2 = 4y2 + y2으로 나누는 게 중요하네요.
다음 식을 만족하는 정수 x, y를 구하여라.
x2 - 2x + y2 - 4y + 5 = 10
좌변을 정리해보죠.
x2 - 2x + y2 - 4y + 5 = 10
x2 - 2x + 1 + y2 - 4y + 4 = 10 (∵ 5 = 1 + 4)
(x - 1)2 + (y - 2)2 = 10
일단 5 = 1 + 4로 나누어 완전제곱식의 상수로 이용했어요.
그런데, 좌변은 완전제곱식의 합이 되었는데 우변이 0이 아니에요. 우변 = 0이어야 (완전제곱식) = 0으로 해를 구할 수 있잖아요.
문제에서 x, y가 정수라고 했어요. (정수)2은 자연수죠? 어떤 두 자연수를 더해서 10이 되어야하는데, 이 두 자연수는 제곱인 수예요. 따라서 이 두 자연수는 1, 9일 수밖에 없어요.
(x - 1)2 = 1, (y - 2)2 = 9 or (x - 1)2 = 9, (y - 2)2 = 1이에요.
x - 1 = ±1, y - 2 = ±3 or x - 1 = ±3, y - 2 = ±1
x - 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | 3 | 3 | -3 | -3 |
y - 2 | 3 | -3 | 3 | -3 | 1 | -1 | 1 | -1 |
x - 1 = 1 일 때, y - 2 = 3이므로 x = 2, y = 5
이렇게 다 풀어보면 (2, 5), (2, -1), (0, 5), (0, -1), (4, 3), (4, 1), (-2, 3), (-2, 1)이 되네요.
함께 보면 좋은 글
방정식 ax + b = 0의 풀이, 부정, 불능
연립방정식 - 미지수가 3개인 연립일차방정식
연립방정식 - 연립이차방정식의 풀이
연립방정식 - 연립이차방정식의 풀이 2
안녕하세요 수학방님의 블로그를 보고있는 중3학년인데요
고1과정을 지금보지는 않지만 나중에 고1되면 필요할꺼같네요 정말열심히 고1과정을 올려주셔서 매번 정말 감사합니다^^~!!
수학방님 부탁할게있는데요 초등과정도 올려주시면 안될까요?
초등기본이 안잡혀져있어서요
너무 어렵게 생각할 필요없어요.
중3이면 초등과정정도는 서점같은데 가서 책 하나 잡고 한 시간만 읽어보면 다 이해돼요.
친절한 답변 정말 감사합니다 수고하세요^^
수학방님 블로그는 정말 이해가 잘되어서 좋아요~ ^_^
감사합니다.
네, 댓글 고맙습니다. 다른 글들도 많이 읽어주세요.
마지막 문제요..x,y가 정수라고 조건이 주어졌을때는 항상 완전제곱형태로 변형하나요??아니라면 어떤 상황일때 그렇게 생각하나요?ㅠㅠ
본문에 나온 것처럼 정수라는 조건이 주어지면 두 수(또는 두 식)의 곱으로 바꿔야해요. 하지만 마지막 문제의 식은 곱으로 표시할 수 없죠. 그래서 완전제곱식으로 바꿔서 푸는 거예요. 게다가 완전제곱식으로 바꾸었을 때, 우변이 특별한 형태의 수라서 풀 수 있는 문제입니다.
이런 유형의 문제에서만 사용할 수 있는 풀이법이에요.
안녕하세요 수학방님
기본적인 질문드려서 죄송해요..
중간에 (2) 번문제에서
x(y+1) + y+1 = 2 에서
(x+1)(y+1) = 2 식으로 되는지 잘 이해가 안됩니다.
설명 부탁드려도 될까요??
(y + 1)로 묶어서 인수분해했어요.
네 감사 합니다~
항상 잘보고 있습니다~~
너무 어렵게 생각하지 말고 가장 쉬운 것부터 생각해 보세요. 질문 있으면 또 올리고요.
감사합니다 고1 독학하는데 몰랐던개념을 이해할수있어서다행이네요 ㄱㅅ
독학은 힘들죠. 하지만 나중에 보면 독학으로 공부하는 게 훨씬 더 이익이에요. 모든 내용, 모든 문제를 선생님이 풀어줄 수는 없거든요. 누군가가 가르치는 내용만 공부하는 학생은 처음 보는 걸 이해하기가 힘들지만 독학을 하면서 연습하면 처음보는 내용과 문제를 봤을 때 스스로 해결할 수 있는 능력이 생기니까요.
아주 어려운 내용이 아니라면 혼자서 계속 공부하는 것도 좋아요.
감사합니다
이해가 쉽게 되네요~
원래 쉬운 내용이라서 쉽게 이해할 수 있는 거예요.~
마지막 x-1=1 일 때 y-2=3 이므로 x=0 이 아니라
x= 2 아닌지요?
x = 2네요.
나같은 사람도 이해햇으니 다른분들은 더 쉬웟겟네요 고맙습니다~
이 내용을 이해할 수 있는 수준의 사람인거죠. 그럼 대단한 수준인데요. ㅎㅎ
부정방정식은 정수일 때만 이러한 방법으로 풀 수 있는 건가요?
허수여도 가능한 건가요??
기본적으로 허수는 복소수 단원, 근의 공식으로 나오는 허수 정도만 사용하고 나머지 내용에서는 사용하지 않아요. 모두 실수 범위 내에서 생각하시면 됩니다.
재수생입니당...많이 배워갑니다 ㅌㅋㅋㅋㅋ
더 배울 게 많으니 또 오세요. ㅌㅋㅋㅋ
와!
확실히 조금 어렵네요.
저 중1 이거든요
당연히 어렵죠. ㅎㅎ
부정방정식을 풀때 팁좀 주시길 바랍니다. :)
710x+68y=6은 어떻게 푸나요? 부탁드립니다~
이 글이 부정방정식 푸는 팁을 소개한 글이에요.
다른 조건없이 위 식만으로는 풀 수가 없어요.
저는 초5인데 중3 최상위를 풀다가
중3에 없는 다항식 공식의 변형 증명과정.
부정방정식등 고등 상에 있는 개념들이 들어가있어서 조금 헤매다가 수학방앱에 개념과 증명이 친절하고 깔끔해서 큰 도움 받아서 무사히 중등 심화끝내고 고등상을 진행중이에요.
학원안가고 혼자푸는데 인강보다도 수학방이 아주 큰 도움됩니다. 필요한 개념 군더더기없이!! 최고최고!!!
감사합니다!!! 학원보다도 나으세요^^
덕분에 5학년이지만 필요한 증명을 스스로 해나가서 재밌게 하고 있어요. 개념을 잘 이해하니 인강없이 심화도 할수있게 된거같아요.. 그래서 말인데요.
고등1.2는 혹시 볼수 있을까요? 미적분 기하.도 개념이 있으면 너무 좋겠습니다.
정말 정말 감사합니다^^