집합의 포함관계 - 부분집합에서 부분집합의 뜻에 대해 알아봤어요. 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 포함될 때 집합 A를 집합 B의 부분집합이라고 하고, 기호로는 A ⊂ B로 나타낸다고 말이죠.

이글에서는 부분집합의 성질에 대해서 자세히 알아보죠.

부분집합의 성질

집합의 분류 - 원소 개수에 따른 분류(무한집합, 유한집합, 공집합)에서 이야기한 공집합과 부분집합의 관계에 대해서 알아보죠.

어떤 학교가 있어요. 학교에는 교실이 있겠죠? 총 10개의 교실이 있는데, 9개 교실에는 학생이 20명씩 공부하고 있어요. 나머지 한 교실은 사용하지 않고 비여 있어요. 여기서 학생을 원소라고 하고, 교실과 학교를 집합이라고 해보죠.

9개의 교실은 원소가 20개인 유한집합이고, 빈 교실은 유한집합 중에서도 원소가 0개인 공집합이죠?

학생이 20명씩 있는 9개의 교실은 학교의 일부분이니까 학교라는 집합의 부분집합이겠죠? 빈 교실에는 학생이 한 명도 없지만, 이 역시 학교라는 공간 안에 있으니까 학교의 부분이에요. 따라서 이 빈 교실이라는 집합도 학교라는 집합의 부분집합인 거죠.

즉, 원소가 하나도 없는 공집합도 전체의 부분집합이라는 거예요.

이번에는 학교 전체를 보죠. 학교의 모든 학생은 학교 안에 있죠? 학교 바깥에 있는 학생은 없잖아요. 학교의 모든 학생(원소)이 학교에 있으니까 학교라는 집합은 학교라는 집합의 부분집합이라고 할 수 있죠?

집합 A의 모든 원소가 집합 A에 들어있으면 부분집합의 정의에 따라 집합 A는 집합 A의 부분집합이에요.

위 두 가지에서 부분집합의 성질을 알 수 있어요.

  1. 공집합은 모든 집합의 부분집합이다. -> 공집합 파이 ⊂ A
  2. 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이다. -> A ⊂ A

진부분집합

진부분집합은 부분집합 중에서 자기 자신을 제외한 부분집합을 말해요.

엄밀히 말해서 자기 자신은 자기 자신의 부분이라고 할 수 없잖아요. 그래서 진짜 부분집합을 진부분집합이라고 해요.

기호로 표현하면 A ⊂ B이고 A ≠ B일 때, A를 B의 진부분집합이라고 해요.

서로 같은 집합

부분집합의 관계를 이용해서 두 부분집합이 같은지를 알 수도 있어요.

집합 A의 모든 원소가 집합 B에 들어있을 때 집합 A는 집합 B의 부분집합이에요. 이때, 집합 B의 모든 원소가 집합 A에 들어있다면 어떨까요? 집합 B는 집합 A의 부분집합이겠죠.

서로가 서로의 부분집합일 때, 두 집합은 서로 같은 집합이에요. A의 모든 원소가 B에 들어있고, B의 모든 원소가 A에 들어있으려면 둘이 서로 같을 때 빼고는 없거든요.

서로 같은 집합은 수에서와 마찬가지로 A = B라고 써요. A ⊂ B이고 B ⊂ A이면 A = B

정리해볼까요
  • 모든 집합은 공집합을 부분집합으로 가진다. = 공집합은 모든 집합의 부분집합. 공집합 파이 ⊂ A
  • 모든 집합은 자기 자신을 부분집합으로 가진다. A ⊂ A
  • 진부분집합: 자기 자신을 제외한 다른 모든 부분집합. A ⊂ B이고 A ≠ B
  • 두 집합이 서로가 서로의 부분집합이면 두 집합은 같다. A ⊂ B이고 B ⊂ A이면 A = B
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