숫자에서 약수와 배수, 최대공약수와 최소공배수를 구할 수 있었죠?
다항식에서도 약수와 배수, 최대공약수와 최소공배수를 구할 수 있어요. 다항식은 인수분해를 해요. 여기서 인수가 바로 약수에 해당하는 거예요. 따라서 다항식의 약수와 배수를 구하려면 인수분해를 먼저 해야 해요.
다항식의 약수와 배수, 최대공약수와 최소공배수는 어떤 걸 말하는지 또 이들 사이에는 어떤 관계가 있는지 알아보죠.
숫자에서 식으로 바꾼 것뿐 내용은 비슷하니까 금방 이해할 수 있을 거예요.
다항식의 약수와 배수
다항식 A가 A = BC로 인수분해 될 때, A를 B, C의 배수라고 하고, B, C는 A의 약수라고 해요.
다른 다항식 D가 B를 약수로 가지면 이 다항식 D와 A 둘 다 B를 약수로 가지므로 B를 공약수라고 합니다.
서로 다른 두 다항식이 같은 배수를 가지면 이 공통된 배수를 공배수라고 부르고요. 모든 게 숫자랑 똑같아요.
숫자에서 숫자가 가장 큰 공약수를 최대공약수, 숫자가 가장 작은 공배수를 최소공배수라고 하죠? 다항식에서는 차수가 가장 큰 공약수를 최대공약수, 차수가 가장 작은 공배수를 최소공배수라고 해요. 최대공약수는 영어로 하면 Greatest Common Divisor(GCM)인데, 첫 글자를 따서 알파벳 G로, 최소공배수는 Least Common Multiple(LCM)의 첫 글자를 따서 L로 표시해요.
또 두 숫자의 공약수가 1뿐일 때를 서로소라고 하죠? 두 다항식의 공약수가 1, 2, 3, … 등 상수일 때를 서로소라고 합니다. 2(x + 1), 2(x + 2)
최대공약수, 최소공배수 구하는 방법
거듭제곱 형태로 되어 있는 수에서 최대공약수 구하는 방법은 밑이 같은 것 중에서 지수가 작은 걸 선택했어요. 다항식에서도 마찬가지예요. 여기서는 소인수가 아니라 다항식이 밑이라는 차이만 있을 뿐이죠.
A = 3(x + 1)(x + 2)(x + 3)과 B = (x + 1)(x + 2)2의 최대공약수를 구해보죠.
공통으로 들어있는 인수는 (x + 1)과 (x + 2)네요. (x + 1)은 둘 다 지수가 1이고요. A의 (x + 2)는 지수가 1, B의 (x + 2)는 지수가 2니까 더 작은 1을 선택해요. 따라서 최대공약수는 (x + 1)(x + 2)이에요.
최소공배수 구하는 방법은 일단 모든 밑을 쓰고, 밑이 겹치면 지수가 큰 걸 선택했어요. 물론 다항식에도 똑같아요.
A = 3(x + 1)(x + 2)(x + 3)과 B = (x + 1)(x + 2)2의 최소공배수를 구해보죠.
일단 인수에 해당하는 다항식을 다 써보죠. 3(x + 1)(x + 2)(x + 3) 인데, A의 (x + 2)의 지수는 1인데, B에서 (x + 2)의 지수가 2니까 지수가 큰 2를 선택해야 해요. 따라서 두 다항식의 최소공배수는 3(x + 1)(x + 2)2(x + 3)이에요.
다음 다항식들의 최대공약수와 최소공배수를 구하여라.
(1) A = ab3c, B = a2bc, C = abcd
(2) A = x3 - 3x - 2, B = 2x2 - 4x - 6
최대공약수는 공통인수 중에서 지수가 작은 것들의 곱이고, 최소공배수는 모든 인수를 다 쓰고, 공통인 경우에는 지수가 큰 걸 쓰는 거예요.
(1)번은 항이 세 개예요. 세 항 모두에 a, b, c가 들어있는데, 지수가 가장 작은 건 모두 1이에요. 따라서 최대공약수는 abc예요.
최소공배수는 일단 인수를 다 써요. 그리고 인수의 지수를 비교해야 하는데 a는 지수가 가장 큰 게 2, b는 3, c와 d는 1이네요. 최소공배수는 a2b3cd
(2)번은 인수분해가 안 돼 있죠? 인수분해를 먼저 해야 해요.
인수정리를 이용해서 인수분해를 하면
A = x3 - 3x - 2 = (x + 1)(x2 - x - 2) = (x + 1)2(x - 2)
B = 2(x - 3)(x + 1)
(x + 1)이 공통인데, A는 지수가 2, B는 지수가 1이네요. 최대공약수는 (x + 1)이고 최소공배수는 2(x - 3)(x - 2)(x + 1)2
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