1학기 마지막이네요. 마지막이니까 짧게 한 가지만 하고 금방 끝내죠.

이번 시간에는 절대부등식 중에서 코시 슈바르츠 부등식이라는 걸 공부할 거예요. 코시 슈바르츠 부등식은 코시와 슈바르츠라는 두 사람이 만들고 발전시킨 절대부등식이에요. 두 사람의 이름을 따서 부르지요.

산술, 기하평균처럼 계산할 때 자주 사용하는 절대부등식이니까 왜 항상 성립하는지를 증명할 수 있어야 하고, 공식도 외우고 있어야 해요.

코시 슈바르츠 부등식

이게 외우기가 살짝 헷갈리는데, 문자 그대로 외우기보다는 문자의 위치와 차수를 이용해서 그림처럼 외우는 게 조금 더 잘 외워질 거예요. 부등호의 왼쪽은 모두 제곱인 항이고, 부등호의 오른쪽은 완전제곱식이에요.

코시 슈바르츠 부등식
코시 슈바르츠 부등식
(ay = bx일 때 등호 성립)

이 부등식이 진짜로 항상 참인 절대부등식인지 증명해볼까요? 양변을 전개해서 정리해보죠

(a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 ≥ a2x2 + 2abxy + b2y2
a2y2 - 2abxy + b2x2 ≥ 0
(ay - bx)2 ≥ 0

등식이 성립하니까 이 부등식은 참이에요. 그리고 ay - bx = 0일 때 즉 ay = bx이면 등호가 성립하고요.

다음을 구하여라.
(1) x2 + y2 = 5일 때, x + 3y의 최댓값과 최솟값
(2) m2 + 4n2 = 4일 때, 4m + 6n의 최댓값과 최솟값

코시-슈바르츠 부등식 (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2의 자리에 대입해보죠.

(1) a = 1, b = 3이네요.

(12 + 32)(x2 + y2) ≥ (x + 3y)2
(1 + 9)(x2 + y2) ≥ (x + 3y)2
10 × 5 ≥ (x + 3y)2
50 ≥ (x + 3y)2
-5 root 2 ≤ x + 3y ≤ 5 root 2

x + 3y의 최댓값은 5 root 2, 최솟값은 -5 root 2

(2) 4n2 = (2n)2인데, 헷갈리니까 m = x, 2n = y로 치환하죠. 식을 다시 써보면 x2 + y2 = 4일 때 4x + 3y의 최대, 최소를 구하는 문제예요. 이때 a = 4, b = 3이네요.

(42 + 32)(x2 + y2) ≥ (4x + 3y)2
(16 + 9)(x2 + y2) ≥ (4x + 3y)2
25 × 4 ≥ (4x + 3y)2
100 ≥ (4x + 3y)2
-10 ≤ 4x + 3y ≤ 10
-10 ≤ 4m + 6n ≤ 10

4m + 6n의 최댓값은 10, 최솟값은 -10이군요.

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정리해볼까요

코시-슈바르츠 부등식

  • (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2
  • ax = by 일 때 등호 성립
 
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