무리함수의 역함수도 그냥 일반적인 함수의 역함수와 같아요. 가장 큰 차이가 있는 게 바로 정의역이죠. 다항함수는 실수 전체가 정의역이고 분수함수는 분모 ≠ 0인 x를 제외한 실수가 정의역이에요. 무리함수는 근호 안이 0 또는 양수인 x가 정의역이고요.

무리함수의 역함수는 이차함수인데, 이제까지 우리가 공부했던 이차함수는 실수 전체 집합을 정의역으로 하는 함수지만 무리함수의 역함수인 이차함수는 정의역이 실수 전체가 아니에요. 따라서 정의역을 따로 구해줘야 하고 꼭 함께 써줘야 합니다. 역함수의 정의역을 찾는 걸 놓치지 마세요.

무리함수의 역함수

무리함수, 무리함수의 그래프에서 살짝 얘기한 적이 있는데, 무리함수의 역함수에 대해서 알아보죠.

역함수를 구하는 방법은 역함수, 역함수 구하는 법에서 했던 것과 똑같아요. 식만 무리식이 된 것뿐이죠.

  1. 함수 y = f(x)가 일대일 대응인지 확인
  2. y = f(x)를 x에 대하여 푼다. → x = f-1(y)
  3. x와 y를 바꾼다. → y = f-1(x)
  4. 함수 f의 정의역과 치역을 서로 바꾼다.

무리함수  (a ≠ 0)의 역함수가 이차함수  (a ≠ 0)라는 건 구해봤으니까 이번에는  (a ≠ 0)의 역함수를 한 번 구해볼까요?

먼저 정의역을 구해야 하죠. a > 0이라면 정의역은 {x|x ≥ }이고, a < 0이면 정의역은 {x|x ≤ }가 되겠네요. 치역은 a의 부호와 상관없이 {y|y ≥ c}고요.

무리함수의 역함수가 이차함수가 되었어요. 정의역은 원래 함수의 치역과 같으므로 {x|x ≥ c}이에요.

일반적으로 이차함수의 정의역은 모든 실수인 데 비해 무리함수의 역함수인 이차함수의 정의역은 실수 전체가 아니니까 꼭 정의역을 따로 구해줘야 합니다.

무리함수 역함수의 성질

역함수를 구하는 과정에서 x, y를 바꾸는 과정이 있어요. 직선에 대하여 대칭이동(y = x, y = ax + b)에서 y = x에 대하여 대칭이동하면 x 대신 y, y 대신 x를 대입한다고 했죠? 즉, x와 y를 바꾸는 거예요. 따라서 역함수의 그래프는 y = x에 대하여 대칭이동한 것과 같죠. 이건 무리함수의 그래프에서만 아니고 모든 함수의 역함수에서 공통된 성질이에요.

의 역함수를 구하여라.

근호 안이 0 또는 양수여야 하므로 x + 5 ≥ 0에서 정의역은 {x|x ≥ -5}이에요. 치역은 {y|y ≥ 1}이고요.

역함수의 정의역은 {x|x ≥ 1}입니다.

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정리해볼까요

무리함수의 역함수

  • 무리함수의 역함수는 정의역이 실수 전체의 집합이 아니므로 꼭 구해줘야 한다.
    1. 함수 y = f(x)가 일대일 대응인지 확인
    2. y = f(x)를 x에 대하여 푼다. → x = f-1(y)
    3. x와 y를 바꾼다. → y = f-1(x)
    4. 함수 f의 정의역과 치역을 서로 바꾼다.

무리함수의 역함수의 성질

  • 무리함수의 그래프와 그 역함수의 그래프는 y = x에 대하여 대칭이동
  • 무리함수의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점은 y = x의 교점과 같다.
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